книги из ГПНТБ / Проворов К.Л. Радиогеодезия учеб. пособие

Если функция (368) однозначна и непрерывна в рассматриваемой области, то при некотором значении щ — const мы получим множе­ ство точек, составляющих линию положения, уравнение которой в прямоугольных координатах будет

положения точки М, можем считать (369) уравнением линии положе­ ния, проходящей через эту точку. Так как уравнение имеет два неизвестных, то для определения положения точки необходимо не менее двух линий, принадлежащих к двум скалярным полям. Поля могут быть одинакового или различных свойств. Так, за первое можно взять поле и (например, направление, измеренное на исходной точке), а за второе — поле г- (например, расстояние от той же или от другой исходной точки). Тогда для определения неизвестных координат полу­ чим два уравнения:

Графическое изображение этих полей дает сетку линий положе­ ния, по которой можно находить местоположение точки в пересе­ чении соответствующих линий.

Расстояние AN между смежными линиями положения, считае­ мое по нормалям к ним, будет определять густоту линий, а.следо­ вательно, и точность графического получения координат точек. Величина AN зависит от разности скаляров Au, принятой при по­ строении сетки, и от градиента. Градиент скалярного поля и (grad и) является вектором, направленным по нормали к линии положения в сторону возрастания скаляра и. Градиент определяется по формуле

330

Здесь Î и / — единичные векторы координатных осей, a ѵ — еди­ ничный вектор нормали. Из формулы (371)-видно, что при малых приращениях

т. е. модуль градиента можно рассматривать как коэффициент про­

вполне допустимо всякую поверхность рассматривать как плоскость, а все линии положения величины щ считать параллельными между собой прямыми, расстояния между которыми пропорциональны соответствующим значениям Дц.

Точность местоопределения по линиям положения зависит как от точности измеренных величин, точности построения и густоты линии сетки, так и от масштаба, в котором она составлена. Так как ошибки построения линий положения, интерполирования и измере­ ния координат будут выражаться десятыми долями миллиметра, то ошибки графических координат даже при пользовании крупно­ масштабными картами составят несколько единиц и даже десятков метров.

Поэтому при обработке опорных геодезических сетей линии положения можно использовать только для получения приближенных координат пунктов для вычисления различных поправок. Основное применение линии положения находят в радиолокации и радиона­ вигации для быстрого определения местоположения движущихся объектов (самолета, корабля). В этом случае ошибки определения местоположения в несколько десятков, а иногда и сотен метров можно считать допустимыми. Линии положения, построенные на крупномасштабных картах, можно использовать также при привязке маршрутов аэротопографических, аэрогеофизических и гравиметри­ ческих съемок в необжитых районах и на море и при решении других аналогичных задач.

В качестве величин и при построении линий положения можно принимать или измеренные величины, редуцированные на поверх­ ность эллипсоида, или проекции этих величин на поверхность шара или на плоскость. Наиболее просто строить сетку на плоскости в проекции Гаусса—Крюгера в случае, если измеренные величины редуцированы на эту же плоскость. Положение точки будет опре­ деляться также в системе координат Гаусса—Крюгера. Как указы­ валось в § 41, в этом случае можно одной координатной зоной ох­ ватить территорию до 1000 км с востока на запад и неограниченно с севера на юг.

Для определения положения точек по двум измеренным с изве­ стных точек азимутам строят азимутальную (гномоническую) сетку.

331

где Т[ — дирекционный угол линии положения, хх и ух — коорди­ наты исходной точки, а х и у — текущие координаты линии поло­ жения. Придавая различные значения дирекционному углу Tt в уравнении (373), например 0, 5, 10° и т. д., получим семейство линий положения, представляющее пучок полупрямых, построен­ ных в исходной точке под углами Г, к оси абсцисс (см. рис. 178). Азимутальную сетку на плоскости можно построить при помощи

Азимутальную сетку в системе географических координат, если величинами и являются направления (азимуты) на сфере или на эллипсоиде, наиболее удобно строить по координатам отдельных точек. В этом случае сетка будет представлять собой цучок геодези­ ческих линий. Координаты точек Мх, М2 и т. д. (рис. 180), необхо­ димых для построения данного луча, можно найти путем последо­ вательного решения прямой геодезической задачи, начиная от дан­ ной точки А. Расстояние s между смежными точками назначается из расчета необходимой частоты для построения линии. Прямой

В большинстве случаев точность вычисления координат, необ­ ходимых для построения сеток, может быть сравнительно невысокой. Ошибки определения широт 8В и долгот 6L нетрудно рассчитать по формулам

332

где Ьх — необходимая точность графического построения, которую примем равной 0,1 мм; m — знаменатель масштаба основы, на ко­ торой строится сетка; M vi N — радиусы кривизны меридиана и первого вертикала эллипсоида для данного района. Положив M — = N = 6,4 • 106 м, получим следующие простые соотношения:

6,4 и 12,8". Вычисление географических координат с такой точ­

можно при расстояниях до 60 км получить географические коорди­ наты на эллипсоиде с ошибками 0,1". В формулах (374) Вт и Ат — средние значения азимута и широты. Вычисление по этим формулам производится методом приближений. Географические координаты, отнесенные к поверхности шара, можно получить также по форму­

Линии положения для расстояний представляют собой концент­ рические окружности (см. рис. 179), поэтому сетку таких линий называют круговой или стадиметрической. Графическое построение

Т — текущий параметр, который можно рассматривать как дирек-

333

координат (на сфере или на эллипсоиде) можно находить (как и при построении азимутальной сегки) путем последовательного вычисления точек, расположенных вдоль линии заданного азимута (дирекционного угла). Расстояние s в этом случае назначают равным разности радиусов смежных окружностей. Соединив плавной линией точки, равноотстоящие от центра, получим искомые линии положения, ко­ торые, в общем случае называют геодезическими окружностями.

Этот же способ можно применить для построения сетки гипербол, являющихся линиями положения разностей расстояний, измерен­

системе плоских или географи­ ческих координат) на каждой известной точке круговую сетку, соединим плавной линией точки

ная этим методом, для исход­ ных точек А и В. Гиперболы изображены на рисунке жирными линиями; окружности, по которым

строились гиперболы, показаны тонкими линиями.

Для построения по точкам, прямоугольные координаты х, у

Здесь за ось ординат принята линия, соединяющая исходные точки А и В, а за начало координат — середина этой линии. Полу­ оси гиперболы находятся по формулам

1

а = = 2 Г < >

334

где

X0 — — (xx -|- x2)

tgO: У2 — Vi

х2 — хг

Географические координаты точек гиперболы нетрудно получить путем перевода прямоугольных координат по соответствующим формулам сфероидической геодезии, а именно

ток можно распространить на построение сеток эллиптических, рас­ считанных на случай, когда измеренной величиной является сумма расстояний от определяемой до двух известных точек. Уравнение эллипса в прямоугольных координатах, отнесенное к его большой

Азимутальную, круговую, гиперболическую или эллиптическую сетку в любой проекции эллипсоида можно построить, если предва­ рительно на соответствующую основу (или карту) нанести достаточно частую сетку координатных линий в системе прямоугольных ко­ ординат Гаусса—Крюгера. Вершины сетки можно наносить по гео­ графическим координатам, найденным с помощью таблиц, пред­ назначенных для расчета координат вершин съемочных трапеций. Линии положения наносятся в этом случае или по прямоугольным

335

координатам относительно построенной сетки, или при помощи фототрансформатора в пределах каждого квадрата. В последнем случае предварительно их строят на отдельной основе в системе Гаусса— Крюгера. Прямоугольные координаты вычисляют обяза­ тельно по азимутам и расстояниям, редуцированным на плоскость.

Можно построить сетку в проекции Гаусса—Крюгера так, что местоположение точки можно определять величинами, не реду­ цированными на плоскость. Например, построив азимутальную сетку в системе прямоугольных координат, как описано выше, повернем ее на основе (или карте) на угол сближения меридианов у в начальной точке, взятый с обратным знаком. Оцифровка линий сетки при этом не изменяется. Поправка за кривизну изображения геодезической линии ô искривит линию положения незначительно, поэтому в большинстве случаев нет необходимости ее учитывать.

Для построения аналогичной круговой сетки в расстояния от исходной точки по линии положения с номером st (s, — расстояние нередуцированное на плоскость) вводится поправка As по формуле

As = slVm

2 Я 2

По исправленным расстояниям или по прямоугольным коорди­ натам, найденным по этим расстояниям, и строится линия поло­ жения. В этом случае круговая сетка изобразится псевдоокружно­ стями, вытянутыми по направлению оси Y.

Для построения гиперболической сетки в системе Гаусса—Крю­ гера, рассчитанной на определение точек по разностям, не редуци­ рованным на плоскость, при построении линии сетки в каждую раз­ ность расстояний г вводится поправка Ar, которая находится по формуле

различной, поэтому сетка изобразится некоторыми псевдогипербо­ лами.

Вообще, для любой сетки, строящейся в проекции Гаусса— Крюгера, параметрические уравнения линий положения можно за­

значения, которыми будут оцифрованы линии положения, то место­ положение определяемой точки на сетке следует определять по изме-

336

ренным величинам, редуцированным на плоскость. Если же аргу­ ментом уравнений (384) считать измеренные величины и (редуциро­ ванные только на поверхность эллипсоида), которым придаются целые равноотстоящие значения, при вычислении координат х и у, то положение точки по линиям положения, построенным на плоскости, следует определять по величинам и, не редуцированным на плоскость.

В литературе описано много других способов построения линий положения.

§ 47. О Ш И Б К А О П Р Е Д Е Л Е Н И Я П О Л О Ж Е Н И Я Т О Ч К И

При помощи линий положения нетрудно найти общие формулы ошибок уравненных координат определяемой точки. На основании формул (371), а также, согласно рис. 182, коэффициенты а и Ъ в урав­ нениях погрешностей (364) можно записать в виде

Как известно, вес последнего неизвестного в системе нормальных уравнений равен коэффициенту при этом неизвестном после исклю­ чения из уравнений всех других неизвестных. Полагая рх = р% и ру = рц, из уравнений (386) найдем

Отсюда

дТ

дх

и начала координат, то формула (389) будет справедлива для любых