книги из ГПНТБ / Проворов К.Л. Радиогеодезия учеб. пособие

новки (348) в (347), в результате необходимых преобразований полу­ чим

сторон, превышающих 500 км, как правило, производят на эллип­ соиде в системе географических координат. Однако в ряде случаев

320

обработку радиогеодезических измерений целесообразно выполнять на сфере, так как в этом случае вычисления можно производить по сравнительно несложным формулам сферической тригонометрии. Для этого необходимо перейти по какому-либо закону от элементов на поверхности эллипсоида к элементам на сфере. Методы проектиро­ вания эллипсоида на шар рассматриваются в курсах сфероидической геодезии.

Р и с . 176

Вычисление географических координат u и А по заданным ази­ муту А и расстоянию s (прямая геодезическая задача) проводится на сфере по следующим формулам, которые легко получаются из треугольника AMP (рис. 176, а):

можно решать по следующим формулам, полученным из того же тре­ угольника:

COS—(«і + м)

После этого координаты точки M найдем по формулам (352). Решение на сфере задачи фазового зонда, когда измерены разности расстояний Гі = Si — s2 и r 2 = s3 — s2 с определяемой точки до трех исходных точек А, В и С (рис. 177), выполняется по способу, анало­ гичному для этой же задачи на плоскости. Из сферических тре­

угольников АМВ и ВМС найдем

cos Оі — cos о 1 2 cos а2 4- sin а1 2 sin а2 cos а;

322

Положив

разделим первое из уравнений (355) на второе. После этого получим

I — к sin p2 —sin p b Уравнение (357) с помощью под­

становки t g ô = -^- можно привести

Теперь, зная o 2 и А из решения прямой геодезической задачи [формула (351)1, найдем координаты точки М.

Способы решения геодезических задач на поверхности эллип­ соида рассматриваются в сфероидической геодезии. Приведем один из способов. Прямоугольные геоцентрические координаты X, У, Z определяемой точки M по двум измеренным величинам — расстоя­ ниям или азимутам — от двух исходных точек А я В (см. рис. 176, б) можно найти из следующих трех уравнений:

Здесь

где а и е' — большая полуось и второй эксцентриситет земного эл­ липсоида. Коэффициенты в написанных уравнениях для расстояния (длины хорды) si от точки А или В до точки M равны

Уравнения (359) получены путем преобразования выражений для

Выразив а: и у из второго и третьего уравнений (359) через z и под­ ставив найденные выражения в первое уравнение (359), получим урав­ нение, из которого найдем неизвестное z. Если обе измеренные вели­ чины являются азимутами нормальных сечений, то полученное урав­ нение будет квадратным, решение которого не представляет затруд­ нений. Если же одна или обе измеренные величины длины хорд, то полученное уравнение будет четвертой степени. Корни его можно найти численным методом (методом хорд или касательных). Выбор необходимых корней можно производить с помощью грубого графи­ ческого построения.

При вычислении на шаре радиуса R следует во всех формулах положить

N = a = R; e's = 0.

324

и отыскание из них координат во всех случаях сведется к решению квадратного уравнения.

Приведенные выше формулы позволяют получить координаты определяемой точки при наличии только необходимого числа измере­ ний. Если для определения одной точки имеются избыточные (незави­ симые) измерения или же обработке подлежит несколько точек, соста­ вляющих геодезическую систему, то возникает необходимость урав­ нивания измеренных величин. Наиболее просто уравненные коорди­ наты определяемых точек можно получить посредственным способом уравнивания. Рассмотренные ниже методика и формулы являются общими, независимо от вида измеренных величин и от поверхности, на которой производится уравнивание. Способ сводится к отысканию из уравнивания поправок Ьх и ог/ (при уравнивании на сфере — попра­ вок ей и ÔÀ и при уравнивании на эллипсоиде — поправок 8В и 8L)

деляемой точки (на сфере или на эллипсоиде). Исходя из известных дифференциальных формул, напишем уравнения погрешностей в сле­ дующем виде:

для направления или азимута, измеренного с точки 1 на точку 2,

325

Здесь А Х и А 2 — прямой и обратный азимуты при уравнивании на сфере или на эллипсоиде, или же дирекционные углы при уравни­ вании на плоскости; £ — поправка ориентирования, общая для всех направлений на данном пункте. Если уравниваются азимуты (дирек­

углы), найденные из решения обратных геодезических задач по при­ ближенным координатам первой и второй точек, a s1 2 и A T — изме­ ренные длины и азимуты. Если измерялись направления, то для полу­ чения по ним «измеренных» азимутов достаточно к каждому направле­ нию прибавить приближенный азимут направления, принятого на станции за начальное (нулевое). Во втором уравнении (362) приведен­ ная длина геодезической линии для эллипсоида или шара заменена

обе точки являются твердыми, то при уравнивании направлений уравнение погрешности примет вид

t = vN.

Уравнения погрешностей для измеренных разностей расстояний (в способе фазового зонда) или разности направлений (в способе изме­ ренных углов) следует получать как разности соответствующих урав­ нений для расстояний и направлений. Веса для уравнений (362) следует находить по известной формуле

к

Р~ та '

где к — коэффициент пропорциональности, a m — средняя квадратическая ошибка измеренной величины: расстояния ms, направления или азимута mN, разности расстояний тг или угла та. Если уравни­ ваются однородные величины, например углы, измеренные с одина­ ковой точностью, то веса можно считать равными единице.

Составив уравнения погрешностей для всех измеренных величин, из решения соответствующих им нормальных уравнений можно найти величины I и и для всех определяемых пунктов. Тогда вероятнейшие координаты этих пунктов найдутся по формулам:

на плоскости

326

на эллипсоиде

По результатам уравнивания изложенным способом на эллип­ соиде можно найти поправки dX, dY и dZ к приближенным прямо­ угольным геоцентрическим координатам X , У и Z. Путем дифферен­ цирования выражений

dZ^^yfdB.

Заменив здесь dB и dL через £ит] [см. формулы (361)], получим

Vi

(последние два члена уравнений (362)). В этом случае будет только два нормальных уравнения, из которых -и определятся поправки g ит). Рассмотренный способ может применяться и при отсутствии избы­ точных измерений, когда для определения положения одной точки измерено только две величины и, следовательно, уравнений будет только два. Напишем эти уравнения

327

Из уравнений (365) сразу же найдем поправки £ и и . Изложенный способ целесообразен во всех случаях, когда заранее известны при­ ближенные координаты определяемой точки (например, с карты или по линиям положения).

Уравнивание радиогеодезических измерений в любых геодезиче­ ских построениях можно проводить также по методу условных изме­ рений. При работе на настольных вычислительных машинах этот метод во многих случаях будет проще. Однако при вычислении с по­ мощью ЭВМ метод посредственных измерений оказывается выгоднее из-за стандартности и общности вычислительных операций.

Рассмотренными выше способами далеко не исчерпываются суще­ ствующие, весьма разнообразные, способы решения специальных задач по данным радиогеодезических измерений, наиболее подробное изложение которых дается в специальной монографии В. А. Поле­ вого [30]. /

В процессе уравнивания и окончательных вычислений может воз­ никнуть необходимость решения треугольников. Если обработка производится в проекции Гаусса, то измеренные элементы (азимуты, углы или расстояния) предварительно редуцируют на плоскость. Решение треугольников производится по формулам плоской тригоно­ метрии. Если известны углы, то стороны находят по теореме синусов. Если даны стороны, то вычисление производят по формуле

или по формуле

где

p = j(a + b + c).

При вычислениях на сфере или на эллипсоиде решение треуголь­ ников выполняют также по формулам плоской тригонометрии (на основании теоремы Лежандра). При этом, если известны сферические (сфероидические) углы, то для вычисления сторон из каждого угла предварительно вычитают одну треть сферического избытка. Если же известны длины сторон, то, найдя плоские углы, прибавляют к каж­ дому углу одну треть сферического избытка. Сферический избыток е находят по приближенной формуле-

С вполне достаточной для радиогеодезических измерений точно­ стью решение треугольников по способу Лежандра можно выполнять для треугольников с длинами сторон до 500 км. При сторонах, пре­ вышающих 500 км, треугольники решают по формулам сферической тригонометрии, исправляя углы в необходимых случаях сфероидическими поправками.

328

§ 46. О Л И Н И Я Х П О Л О Ж Е Н И Я

ПР И РАДИОГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РАБОТАХ

Как известно, для определения точки на поверхности эллипсоида необходимо и достаточно измерить две, а в пространстве — три неза­ висимые величины. Таковыми могут быть как расстояния или напра­ вления, так и их простейшие функции, например разности. Если измерить только одну из перечисленных выше величин, то можно построить линию, для всех точек которой значение измеренной вели­ чины будет одно и то же. Такую линию называют линией положения

или линией уровня. Например, линией положения измеренного рас­ стояния является окружность с радиусом, равным этому расстоянию. Искомая точка поверхности определится только при наличии двух таких линий-, как точка их пересечения. Построив заранее сетку из двух семейств линий положения, можно определить местоположение точки и ее координаты графически, в пересечении соответствующих линий.

На рис. 178 изображена азимутальная сетка, рассчитанная на определение точек по измеренным азимутам (дирекционным углам). Линиями положения этой сетки являются лучи, проведенные от двух исходных точек через 10°. На рис. 179 показана круговая сетка, пред­ назначенная для определения точек по расстояниям до двух исход­ ных точек. Линии положения этой сетки представлены концентриче­ скими окружностями с радиусами, изменяющимися через 2,5 мм. Для лучшей читаемости каждое семейство линий положения на сетке вычерчивают различными цветами (на рис. 178 и 179 линии одного семейства показаны сплошными, а другого — пунктирными линиями).

Область определения точек на поверхности эллипсоида, или на какой-либо проекции эллипсоида, можно представить как плоское скалярное поле, каждой точке которого соответствует некоторая ска­ лярная величина и (под и можно понимать любую измеренную

329