Таким образом, кинетическая энергия поступательно движущегося тела, как и кинетическая энергия материальной точки, равна половине произведения массы тела на квадрат скорости любой из его частиц.
Кинетическая энергия вра щающегося тела равна поло вине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:
тJw2
~2
Кинетическая энергия вращающегося тела.
Скорости частиц вращающегося твердого тела пропорциональны угловой скорости тела и расстояниям частиц от оси враще ния:
Vb=(xirb |
(90) |
Возводя это равенство в квадрат |
и под |
ставляя в (215), получим |
|
9 2
Т =••
Вынося общий множитель у за знак суммы и принимая во вни мание, что сумма произведений массы каждой частицы на квадрат расстояния этой частицы от оси выражает момент инерции (200) тела относительно оси, получаем окончательно
Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.
Эта формула применима не только в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, но и вокруг мгновенной оси. В случае плоского движения момент инерции фигуры или тела в формуле (216) надо подсчитывать относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей, перпендикулярно плоскости движения, тогда
|
|
|
|
|
|
|
т = |
|
|
|
|
|
|
(216') |
|
|
|
|
|
|
|
Формула Кёнига. Выведем формулу для |
Кинетическая |
энергия |
твер |
определения |
|
кинетической |
|
энергии |
твер |
дого |
тела |
равна кинетиче |
дого |
тела, |
совершающего |
плоское |
движе*- |
ской энергии его центра масс, |
ние. |
Для определения |
проекций скорости |
в котором |
предполагается |
были |
выведены формулы |
|
|
|
сосредоточенной масса |
всего |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тела, |
плюс |
кинетическая |
|
|
|
|
|
|
|
|
(114') |
энергия тела |
в его враща |
|
|
|
|
|
|
|
.1 |
тельном |
движении |
вокруг- |
|
|
|
|
|
|
|
|
оси, |
проходящей через |
центр |
где х1к и ylk |
— координаты |
каждой |
точки |
масс |
тела: |
|
|
|
|
тела |
относительно |
системы |
координатных |
|
|
|
Jc.®2 |
|
|
|
т = |
|
|
осей, |
параллельных |
неподвижным |
осям, |
|
|
|
2 |
|
|
|
но имеющих начало в произвольной точке |
|
|
|
|
|
|
|
Е, принятой |
за полюс. |
|
|
|
Возводя |
эти |
равенства в квадрат |
и складывая, |
найдем квадрат |
полной |
скорости |
любой |
точки |
тела: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, / |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vE |
+ |
{xik- -y\k) |
(o2 — 2vExylkti) |
+ |
2vEyxlku). |
|
|
Подставляя затем |
в (215), |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
= |
2 |
? |
[у я + |
(x\k + у\к) |
м2 |
+ 2vEya>xlk |
|
— 2і>£*сог/іА] |
|
|
|
|
|
|
|
4=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разобьем |
эту |
|
сумму |
на |
четыре |
части и |
вынесем за |
знаки |
2 |
величины, |
не |
зависящие |
от |
к: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k—n |
|
|
k = n |
|
|
|
|
k — n |
|
|
|
k = n |
|
|
k=n |
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
k=n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
mh |
= m — масса |
всего |
тела; |
^ |
mk(x\k-\-y\k) |
|
= J E—момент |
инер- |
k=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=\ |
|
Е, |
|
|
|
|
ции |
тела |
относительно оси, |
проходящей через |
перпендикулярно |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n |
|
|
|
k=n |
|
|
|
|
|
|
плоскости |
движения; |
^ |
mkxlk |
и |
2 |
ткУ\к~статические |
моменты |
|
|
|
|
|
|
|
|
ft=l ft=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
масс |
относительно |
осей |
координат, |
имеющих |
|
начало в полюсе £ . |
|
Если за полюс принять центр масс С тела, |
то последние |
два |
члена |
|
обращаются |
в |
нуль (xltC |
= 0, |
j l i C = 0) |
и |
кинетическая |
энер |
гия |
получает |
простое |
выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = - j £ + i < f - . |
|
|
|
|
(217) |
Эта |
формула |
доказана |
нами |
для |
плоского |
движения |
твердого |
тела1 . Она имеет большое применение в различных областях меха ники и, в частности, в теории механизмов и машин, где плоское движение встречается очень часто. Но формула (217) остается спра
ведливой |
при |
всяком движении |
твердого тела. Словами ее можно |
прочитать |
так: |
кинетическая энергия твердого тела равна кинети |
ческой энергии |
материальной точки, обладающей массой |
всего |
тела |
и скоростью центра масс, плюс |
кинетическая энергия |
тела |
в его |
вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс.
При |
разложении движения |
в кинематике мы могли принимать |
за полюс |
любую точку тела. |
При определении кинетической энер |
гии по формуле (217) мы обязаны принимать за полюс только центр
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
масс тела, |
иначе появятся |
члены, содержащие статические моменты |
масс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
№ |
150. |
Определить |
кинетическую |
энергию диска |
массы т = 1 0 кг и |
радиуса |
/? = 0,5 |
м, |
катящегося |
со скоростью |
vc = 2 м/сек |
по |
прямолинейному |
рельсу |
без |
|
скольжения. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Задачу |
решим |
пока двумя различными |
способами |
(система |
единиц |
физическая). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Она |
является |
частным |
случаем более общей |
формулы, доказанной |
Кёни- |
гом |
(1751 |
г.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-й |
с п о с о б . Мгновенный центр |
скоростей находится в точке касания |
(рис. 206, |
а). |
Угловая скорость диска |
|
|
|
|
: 0\5 ==4 сек-1. |
Момент |
инерции диска относительно оси, проходящей через мгновенный центр |
скоростей |
перпендикулярно диску, определим |
по теореме о параллельных осях: |
|
|
mR2 |
- | - 1 0 ~ |
= 3,75 кг-м2. |
|
|
- т Я 2 = |
Кинетическую" энергию диска определим по (216'):
_ - W ^ 2 |
3,75-16 , п |
, , . |
Т = — ^ — = — — = = 3 0 |
кг-м1!сек?. |
|
|
|
|
|
Рис. 206 |
|
|
|
2-й с п о с о б . |
Кинетическую энергию |
определяем по формуле (217) Кёнига |
(рис. 206, б): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П2 |
/ 9 |
1Л |
А |
10--Т--16 |
|
|
|
|
|
mv? |
, ^ = |
1 0 _ 4 + _ 4 _ = |
3 0 к г < ж 2 / с е / с 2 _ |
|
|
|
|
У с |
|
Теорема |
Коши**. |
Однако существуют и некоторые другие |
определенные |
точки, |
которыми в формуле (217) можно заменить |
центр масс С. Найдем эти точки. |
|
|
|
|
|
В общем случае движения тела скорости его частиц можно рас |
сматривать |
(см. § 35) |
как |
состоящие из двух взаимно перпендику |
лярных скоростей: переносной |
скорости |
vE, |
направленной по |
мгно |
венной винтовой оси, и относительной, |
вращательной вокруг |
этой |
оси (рис. 207, а). Квадрат |
скорости какой-либо точки К, отстоящей |
на расстоянии |
rk |
от |
мгновенной |
винтовой |
оси: |
|
|
|
|
|
|
f * = » B |
+ |
roV|. |
|
|
|
Подставим |
это выражение в |
(215): |
|
|
|
г - £ « = Е
Момент инерции тела относительно мгновенной винтовой оси обозначим через / в , тогда
Проведем через центр масс С ось параллельно мгновенной вин товой оси. Если расстояние между этими осями равно clt то, выра зив JЕ по (202), получим
Но VE + C\W2 = VC, И МЫ пришли |
к формуле Кёнига: |
|
|
mv'r |
Jc®2 |
.(217) |
|
|
|
|
Проведем |
через какую-либо |
точку А третью ось А А (рис. 207, б) |
параллельно |
двум предыдущим, |
обозначим через J А момент инерции |
тела |
относительно |
этой |
оси, через |
с2 |
— расстояние ее от централь |
ной оси, |
а |
через |
с3—от |
мгновенной |
винтовой оси. Согласно (203) |
подставим |
в |
(217'): |
^в = ^А + |
т{с1—с\), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m v E |
. т(с\-с\)®2 |
|
, JAm°- |
|
|
В случае, если плоскость, проведенная через эту |
ось |
А А и |
мгновенную |
винтовую ось, составляет |
с |
плоскостью, |
проведенной |
через |
эту |
ось |
А А и центр |
масс С тела, |
прямой угол |
(а = 90°), то |
по пифагоровой |
теореме |
с\ — с\ — с\ |
и v\ = v\ - f (с2 — с\) со2, а |
потому |
|
|
|
|
|
|
|
то". |
JAu>2 |
|
|
(217") |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же |
аф90°, |
то |
это равенство |
не |
выполняется. |
|
|
Для определения кинетической энергии твердого тела этим спо собом надо провести через центр масс тела ось, параллельную мгно венной винтовой оси (рис. 207, в). Приняв обе оси за диаметрально противоположные образующие, построить на них поверхность пря-
мого круглого цилиндра. Во всякое мгновение кинетическая энер гия тела равна половине произведения массы тела на квадрат ско рости любой из точек этой цилиндрической поверхности, сложенной с половиной произведения момента инерции тела относительно обра зующей, проходящей через эту точку, на квадрат угловой скорости тела1 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 151**. Решить задачу № 150, применив теорему Коши. |
|
Решение. |
Мгновенная винтовая ось существует в общем случае |
движения |
тела. При |
плоском движении она превращается в мгновенную ось |
вращения, |
проходящую через |
мгновенный |
центр скоростей |
перпендикулярно плоскости дви |
жения. Построенная на |
мгновенной винтовой оси |
цилиндрическая поверхность, |
о которой |
говорится |
в теореме |
Коши, |
в пересечении с плоскостью |
движения |
фигуры образует |
окружность, |
у |
которой |
мгновенный центр скоростей |
и центр |
масс фигуры являются диаметрально противоположными точками (см. рис. 206, в). Возьмем на этой окружности какую-либо точку А. Ее скорость
1>/4 = (оЛ£'М цС = (йС£'М дС cos •t> = 2 cos О.
Момент |
инерции |
диска относительно |
оси, |
перпендикулярной. к его плоскости |
в точке А, |
определим |
по |
(202): |
|
|
|
|
|
|
JA |
= Jc + m(ACf |
= |
^+ljsm*®. |
|
Полная |
кинетическая |
энергия |
диска |
|
|
|
|
mVA |
J я(й2 |
|
|
|
|
|
Т = -фЛ--^- |
= Ю + |
20 (sin2 # + |
cos2 Щ = 30 |
кг-м2/сек2. |
Если взять какую-либо точку, не лежащую на окружности, нанесенной на чертеже пунктиром (см. рис. 206, е), то полусумма произведений массы диска на квадрат скорости этой точки и момента инерции диска относительно проходящей через эту точку оси на квадрат угловой скорости диска не будет равна кинети ческой энергии диска. Так, например, для точки В
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
у й ш 2 |
ю-16 |
т ' 1 0 ' Т ' 1 6 |
кг-ж2/сек2. |
|
|
|
|
|
|
|
= 110 |
|
О т в е т . |
Кинетическая |
энергия диска Т ==30кг-м2 /сек2 . |
|
|
Задача № |
152. |
Определить кинетическую энергию эллипсографа в |
задаче № 116. |
Решение. |
Механическая система состоит |
из четырех тел: кривошипа, |
линейки |
и двух |
ползунов. |
Чтобы |
определить |
кинетическую энергию этих |
тел, |
найдем |
сначала |
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
Эллипсограф является |
плоским механизмом: все звенья |
его совершают |
плоские |
движения. Угловая скорость кривошипа дана. Скорость пальца равна со/. Эта же
точка |
принадлежит и линейке эллипсографа. Известны направления |
скоростей трех |
точек |
линейки. Перпендикуляры, восставленные в этих |
точках |
к направлениям их |
скоростей, пересекаются в мгновенном центре скоростей |
£ м ц с |
(рис. |
208). Опреде |
ляем угловую скорость линейки вокруг мгновенного центра скоростей. Для этого делим линейную скорость пальца на его расстояние от мгновенного центра ско ростей:
со/
1 Эта теорема доказана О. Коши (1827 г.).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
угловая скорость линейки вокруг |
мгновенного центра |
скорос |
тей равна |
угловой |
скорости |
кривошипа вокруг оси О. Для определения |
кинети |
ческой энергии линейки нам надо |
знать |
угловую скорость |
линейки вокруг оси, |
проходящей перпендикулярно |
к плоскости движения в центре |
масс. Напомним, что |
угловая |
скорость |
не зависит от |
выбора |
полюса, |
а потому искомая |
угловая |
скорость равна найденной угловой скорости относительно мгновенного центра скоростей.
Чтобы определить скорости точек А и В линейки, надо умножить угловую скорость линейки на расстояние этих точек от мгно венного центра скоростей. Если обозначим через ф угол поворота кривошипа, то
vA = со 21 cos ф, vg = со 21 sin ср.
Кинетическую энергию кривошипа опреде лим по формуле (216) как энергию вращающе гося тела:
т |
Pl* |
со' |
Р/2 |
со2 |
Рис. 208 |
|
|
~2 |
|
|
|
Кинетическую энергию линейки определим по формуле (217) Кёнига:
1 л — |
2Р |
со2 /2 |
|
, 2Р (2/)2 |
со* |
4Р/2 со2 |
g |
2 |
і |
g 12 |
~2 |
3g • |
|
|
|
|
|
|
Кинетическую энергию поступательно движущихся ползунов определим по (215):
|
|
|
|
Q |
ыЧГ2 cos2 ф |
|
|
2Q/2 w2 |
cos2 |
ф |
2 я |
2Q/2co2 sin2 |
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая |
энергия |
механизма |
равна |
арифметической |
сумме |
кинетических |
энергий |
его звеньев: |
|
|
|
|
|
|
|
•Тл + |
Тв+Т,- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к р |
|
|
|
О т в е т . |
(1.5P + 2Q) |
Рсо2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
№ |
153. |
Определить |
|
кинетическую |
энергию планетарного механизма |
(рис. |
209). Рукоятка |
Ох03 |
массы |
m и длины |
Аг вращается с угловой |
скоростью ш |
вокруг |
неподвижной |
оси Оъ |
проходящей |
через |
|
|
|
|
центр |
неподвижного |
зубчатого |
колеса |
/ . На ру |
|
|
|
|
коятке |
свободно насажены |
два |
зубчатых |
колеса |
|
|
|
|
радиуса |
г и массы m |
каждый. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Система |
состоит |
|
из |
рукоятки |
и |
|
|
|
|
двух |
зубчатых колес |
( / / |
и |
/ / / ) . |
Кинетическая |
|
|
|
|
энергия системы равна сумме кинетических |
|
|
|
|
энергий этих тел. Кинетическую энергию ру |
|
|
|
|
коятки |
определим |
по (216), |
приняв |
рукоятку |
|
|
|
|
за однородный |
стержень: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ti-- |
Jco2 |
|
m (4/-)3 |
(0" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~2~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическую |
энергию |
среднего |
колеса |
определим по формуле (217) Кёнига, |
считая |
зубчатое колесо |
круглым |
диском. Скорость центра 02 |
диска |
/ / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v02 |
= |
a2r, |
|
|
|
|
потому |
что эта точка |
принадлежит и рукоятке, |
вращающейся |
вокруг |
О х . Мгновен |
ный |
центр |
скоростей |
|
этого |
диска |
находится |
в точке |
касания |
его с |
неподвижным |
зубчатым колесом / . Угловую скорость среднего |
|
диска найдем, |
поделив |
v 0 |
i на |
расстояние |
от |
0 2 |
до мгновенного |
центра |
скоростей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со, = |
г |
= |
2со. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
m4r2 co2 . mr2 |
4со2 |
|
„ „ „ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г„ = |
л |
— |
|
|
^-==3/я/-со2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Эту |
же величину |
можно |
определить |
по (216'), |
считая, |
что колесо |
вращается |
вокруг |
мгновенного |
центра |
|
скоростей; |
в |
таком |
случае момент |
инерции |
|
колеса |
относительно |
оси |
вращения |
надо |
подсчитать |
по |
теореме |
о |
параллельных |
|
осях |
' тг2 |
|
|
3 |
|
\ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—^--\-mr2 |
—-^ |
mr2 \ . Умножив |
затем |
- у ^ г 2 на квадрат |
угловой скорости |
(2<о)2 |
и поделив на 2, получим |
Т2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы определить угловую скорость крайнего колеса, найдем скорость точки |
касания его со средним колесом. Скорости |
точек |
среднего |
колеса |
определим |
как |
вращательные |
вокруг мгновенного |
центра |
скоростей. Таким |
образом, точка |
|
каса |
ния обоих |
подвижных колес движется со скоростью со22л = 4сог, равной скорости 0 3 , |
откуда угловая скорость крайнего колеса |
со3 |
= 0, |
|
следовательно, |
крайнее |
колесо |
совершает |
поступательное |
движение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая |
энергия |
крайнего зубчатого колеса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
m (to4/-)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая |
энергия |
всего |
механизма |
равна |
сумме |
кинетических |
энергий |
его звеньев. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т . Г = ^ у + 3 + 8^ mr 2 co 2 = y m r 2 c o 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
47. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ СИЛЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Понятие работы. Энергия может перехо- |
«Работа — это |
изменение |
дить из одного вида в другие. Например, |
формы движения, рассматри- |
потенциальная |
|
энергия |
воды, |
поднятой |
ваемое |
с его количественной |
|
|
„ |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
стороны» |
(Энгельс)1 |
|
плотиной |
на гидроэлектростанции, |
перехо |
|
|
|
|
|
|
|
дит в кинетическую энергию вращающихся |
турбин, которая в свою очередь превращается в электрическую энер гию, по проводам передается на большие расстояния, чтобы опять перейти в кинетическую энергию станков, в тепловую энергию
электропечей, в |
световую, в звуковую и в прочие |
виды |
энергии. |
При всех этих |
явлениях исчезает (или возникает) |
такое |
же коли |
чество каждого вида энергии, сколько возникает (или исчезает) энергии всех прочих видов. Это изменение энергии, изменение формы движения, рассматриваемое с количественной стороны, Энгельс на зывает работой.
Из множества различных видов движения в теоретической меха нике интересуются только механическим движением. Переход механи
ческого |
движения |
в |
нёмеханическое |
или же, наоборот, |
немеханичес |
кого |
в |
механическое |
происходит на |
протяжении некоторого пути и |
1 |
К. М а р к с и |
Ф. |
Э н г е л ь с . Соч., т. 20. Госполитиздат, |
1961, стр. 419. |
|
зависит |
от |
действующих |
сил. Поэтому понятие работы в |
механике |
|
связано |
с |
понятиями |
перемещения и |
силы. |
|
|
|
|
|
|
Работу постоянной силы при |
Работа постоянной силы при прямолиней |
|
ном движении. Знакомство с понятием |
ра |
|
прямолинейном движении вы |
боты силы в механике начнем с частного |
|
ражают |
произведением |
мо |
|
дуля силы на величину пере |
случая — |
работы |
постоянной |
силы |
при |
|
мещения |
материальной час |
прямолинейном движении точки ее прило |
|
тицы и на косинус угла меж |
жения. |
|
|
|
|
|
|
|
ду направлением силы и пе |
Пусть |
к некоторой |
материальной |
ча |
|
ремещением! Л = Fs cos |
а |
|
стице приложена |
сила |
F, постоянная |
по |
|
|
|
|
|
|
величине и по направлению. Пусть |
точка |
приложения |
силы пере |
|
местилась на прямолинейный отрезок s . В таком случае |
произведение |
|
|
|
|
|
A=*Fscosa |
|
|
|
(218) |
|
выражает работу постоянной силы F при прямолинейном |
движении |
и характеризует механическое воздействие на материальную частицу
со стороны |
других материальных объектов на данном пути. |
Работа1 |
является скалярной величиной, она не имеет направления |
и вполне |
характеризуется величиной и знаком. В формуле (218) |
модуль силы F и длина пути s всегда положительны. Знак « + » или «—» определяются знаком косинуса угла а между направлением силы и перемещения или, так как при прямолинейном движении точки перемещение совпадает с направлением скорости у, косинусом угла между направлением силы и скорости. Работа положительна, если
угол (Fv) острый, и отрицательна, если он тупой. Если направление F
А. У\
совпадает с направлением перемещения, то угол (Fv) = 0, cos (Fv) = 1 и
A^Fs.
Если же сила направлена противоположно перемещению, то (ft>) = 180°, cos (Ft!) = — 1 и
|
|
|
A^—Fs. |
|
|
|
|
Сила, |
перпендикулярная |
к |
перемещению, |
работы |
не совершает, |
так как |
cos 90° = 0. |
|
|
|
|
|
|
Определим |
размерность |
работы. |
В физической системе |
единиц |
|
|
l |
^ |
= L ' № T - ' |
|
|
|
Единицей работы в СИ является джоуль* — работа силы в 1 ньютон, |
действующей по направлению перемещения на |
пути в |
1 метр |
(1 дж~ |
= 1 н-м = 1 |
кг-мг-сек~2). |
|
|
|
|
|
|
Размерность |
работы в технической |
системе |
единиц |
|
|
[Aj^UF1!0.
Термин «работа» введен в науку Кориолисом и одновременно Понселе в 1829 г. Принято на П-м Международном конгрессе электриков в 1889 г.
Если |
сила |
выражена |
в кГ, а длина —в м, |
то единицей |
работы |
является |
1 |
килограммометр1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размерности |
работы и кинетической |
энергии |
одинаковы. |
|
|
|
„ |
|
|
|
|
Элементарная |
работа |
силы. В |
общем слу- |
Элементарнои |
работой |
|
силы |
ч а е - е с |
r |
|
|
„ |
|
|
или |
|
J |
называют |
работу |
силы на |
л и |
с и л а |
|
переменна |
движение |
столь |
малом |
перемещении |
точки |
приложения |
силы |
криволинейное, |
точки |
ее |
приложения, |
при |
определять работу |
силы |
по (218) |
нельзя, |
котором изменением |
|
силы |
т_[0 ) разбив мысленно весь путь на такие |
можно |
пренег^ечь: |
|
маленькие участки, которые можно считать |
|
dA = F cos (Fv)ds |
|
|
прямолинейными и на которых можно пре |
небречь изменением |
величины и направления силы, мы определим на |
каждом из этих участков |
работу, |
называемую |
элементарной |
работой |
силы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA=Fcos(Fv)ds. |
|
|
|
|
|
|
(219) |
В этом равенстве ds выражает длину |
|
элементарного перемещения |
и является величиной всегда положительной. |
|
|
|
|
|
Зная работу силы (219) на отдельных элементах пути, можно |
определить |
работу |
на конечном участке. Докажем некоторые |
теоремы |
о работе |
силы. |
|
|
|
Теорема об элементарной работе равнодей- |
|
|
|
|
|
|
|
Элементарная |
работа |
равно- |
ств\ющей. Пусть к точке О приложен пучок |
^ Г р Т ы х |
S |
T « Г а в ! |
с и л Ч |
F „ ... , |
Fa. |
Обозначим |
равнодейст- |
|
ляющих: |
|
|
вующую |
этого |
пучка |
F. Спроецируем все |
|
dA = y\dAk |
|
|
|
сялы |
пучка и равнодействующую |
на нап- |
|
|
|
|
|
|
|
равление |
скорости |
точки |
О и |
приравняем |
проекцию |
равнодействующей сумме |
проекций |
составляющих: |
|
F cos (Fv) = Fx cos ( / > ) + F2 cos (F^v) + ... + Fn cos (/=>)•
Умножив теперь каждый член этого равенства на длину ds эле ментарного перемещения точки приложения сил, найдем, что элемен тарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:
/Ч |
|
|
/\ |
|
|
|
|
/Ч |
|
'Ч |
|
F cos (Fv)ds |
= Ft |
cos (FjV)ds + F 2 |
cos (F2v)ds |
+ ... + Fn cos |
(Fnv)ds, |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA=%dAk. |
|
|
|
|
(220) |
Под суммой следует |
понимать, |
конечно, |
алгебраическую |
сумму, |
потому что работа |
не имеет |
направления, но имеет знак. |
|
|
|
|
|
|
Выражение элементарной работы через про- |
Элементарная работа |
силы |
е к |
ц и |
и |
с и |
л ы |
н а о с и |
координат. |
Разложим |
связана с проекциями силы на |
С И Л У |
|
г, |
|
|
г |
|
коррди- |
оси координат соотношением: |
F |
н |
а |
составляющие ПО осям |
dA = Xdx+Yd |
+Zdz |
нат и определим элементарную работу |
силы |
~г |
у г |
|
п о |
С |
у |
М м е |
|
работ ее составляющих. |
Пусть |
составляющие |
силы |
направлены |
в положительном направлении |
осей |
1 Эта единица предложена Понселе в 1829 г., но Д . С. Чижов еще в 1823 г. измерял действие машин в «динамических единицах», равных 1 кГ-м.
координат. Тогда углы между составляющими силы и скоростью являются углами между скоростью и положительными направлениями осей координат, а их косинусы определяются формулами (62) на правляющих косинусов скорости. В таком случае имеем
dA — F cos (Fv)ds = X cos avds + Y cos $vds + Z cos yvds,
или, подставляя значения направляющих косинусов, |
|
dA^X^ds |
+ |
vfds+Z^ds; |
|
сокращая на ds, получаем окончательно |
|
dA = Xdx+Y |
dy + Zdz. |
(221) |
Формула (221) имеет очень большое значение в динамике. При |
выводе этой формулы мы считали X, Y и Z направленными |
поло |
жительно по осям координат. |
Если |
какие-либо из составляющих |
силы направлены в противоположные стороны, то иным станет знак соответствующего косинуса. Поэтому в (221) X, Y и Z являются не модулями составляющих, а проекциями силы на оси координат,
т.е. определяются |
не только |
величиной, |
но и знаком. Кроме того, |
в отличие от (219), где всегда ds>0, |
в |
(221) величины dx, dy и dz |
являются |
дифференциалами |
координат |
точки приложения |
силы и |
могут быть как положительными, так и отрицательными. |
|
Заметим, |
что |
в общем |
случае |
дифференциальный |
трехчлен |
X dx + Y dy + Z dz |
не является полным дифференциалом и обозначе |
ние элементарной |
работы dA |
не следует |
понимать как полный диф |
ференциал |
от |
А. |
|
|
|
|
|
Работу силы на данном пути выражают пределом суммы всех элементарных работ си лы на элементарных переме щениях, из абсолютных ве личин которых составляется
данный путь:
А--= ^ (Xdx + Ydy + Zdz)
Работа силы на данном пути. Возьмем какие-либо два положения Мх и М2 точки на ее криволинейной траектории. Работа А силы F на конечном перемещении МХМ% выразится суммой элементарных работ силы F на всех элементарных перемеще ниях, на которые разбит конечный участок пути МХМ2.
м,мг |
Эта сумма |
состоит |
из бесчисленного |
мно |
|
жества бесконечно малых слагаемых. Такую |
сумму называют криволинейным |
интегралом, |
взятым по дуге М-^М^, |
и обозначают так: |
|
|
|
|
|
|
|
А = |
\ |
F cos (Fv)ds |
|
(222) |
|
|
м,м2 |
|
|
|
|
или, если воспользоваться |
выражением элементарной работы |
через |
проекции силы на оси координат, |
|
|
|
А= |
J |
(Xdx+Y |
dy + Zdz). |
(222') |
Если на точку действуют несколько сил, то, очевидно, работа равнодействующей на конечном участке пути равна сумме работ составляющих на том же участке пути.
