выявлять увеличивающие и уменьшающие звенья. Первые обозна чают стрелками, направленными вправо, а вторые — влево.
При размерном анализе могут встречаться взаимосвязанные размерные цепи с общими звеньями или базами, а также цепи, в которых исходным звеном является одно из составляющих звеньев основной цепи. В последнем случае цепи называются производными.
Расчет размерных цепей позволяет:
установить связь между размерами деталей машины и уточнить номинальные значения и допуски взаимосвязанных размеров исходя из эксплуатационных требований и экономической точ ности обработки деталей и сборки машины;
выявить пути сохранения точности машины в процессе эксплуа тации, а также определить, какой вид взаимозаменяемости (пол ный или ограниченный) будет наиболее рентабелен;
добиться наиболее правильной простановки размеров на рабочих чертежах;
определить операционные допуски и пересчитать конструк тивные размеры на технологические (в случае несовпадения технологических баз с конструктивными).
Расчет размерных цепей и их анализ — обязательный этап конструирования машин, способствующий повышению качества, обеспечению взаимозаменяемости и снижению трудоемкости их изготовления. Сущность решения размерной цепи заключается в установлении допусков и предельных отклонений всех ее раз меров исходя из требований конструкции и технологии. При этом различают две задачи:
1) определение номинального размера и допуска (предельных отклонений) замыкающего звена по заданным номинальным раз мерам и предельным отклонениям составляющих звеньев (такая задача возникает в тех случаях, когда требуется проверить соот ветствие допуска замыкающего размера допускам составляющих размеров, проставленных на чертеже, — проверочный расчет);
2) определение допуска и предельных отклонений составляю щих размеров по заданным номинальным размерам всех разме ров цепи и заданным предельным размерам исходного размера (такого типа задачи ставятся при проектном расчете размерной цепи).
Решая размерные цепи, исходят из предположения, что зави симость величины допуска от величины линейного размера та же, что и для диаметральных размеров. Поэтому величины допусков для линейных размеров могут быть взяты из таблиц стандартов на допуски цилиндрических соединений (интервалы диаметров по ОСТу принимают за интервалы линейных размеров).
Существуют методы решения размерных цепей, которые обес печивают полную и неполную (ограниченную) взаимозаменяе мость. Кроме того, применяют теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей.
§ 61. МЕТОД РЕШЕНИЯ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЙ ПОЛНУЮ ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТЬ
Чтобы обеспечить полную взаимозаменяемость, размерные цепи решаются но методу максимума и минимума, при котором допуск замыкающего размера определяется арифметическим сло жением допусков составляющих размеров. Этот метод обеспечи вает заданную точность сборки без какого-либо подбора или под гонки деталей.
Как говорилось выше, при расчете размерных цепей разли чают две задачи. Рассмотрим их решение на примерах.
Первая задача. У детали (рис. 177, а) вначале обрабатывается
базовая |
плоскость 1; затем по настройке от |
этой |
базы — пло |
скость 2 |
по размеру А 2 = 28 ± |
0,14 мм и плоскость 3 по размеру |
Ах — GO rt 0,2 мм. Размерная |
цепь показана |
на рис. 177, б. |
В технологической линейной размерной |
цепи |
размер А д |
является замыкающим; его величина зависит от действительных размеров At (увеличивающего) и А 2 (уменьшающего):
Аа = А х— А2 —60 — 28 = 32 мм.
Вобщем случае при п увеличивающих и р уменьшающих раз мерах уравнение размерной цепи можно представить в виде
ПV
По уравнению (186) определяется номинальный размер замы кающего звена линейной размерной цепи через номинальные размеры составляющих звеньев этой цепи. Оно будет справедливо и в том случае, когда вместо номинальных взяты значения соот ветствующих действительных размеров размерной цепи.
Следует подчеркнуть, что деталь по замыкающему размеру не обрабатывается. Он получается в результате обработки детали по другим связанным с ним размерам. В сборочных размерных цепях замыкающий размер определяется последовательностью сборки и зависит от размеров входящих в сборку деталей, а также от размеров, определяющих положение поверхностей этих деталей относительно сборочных баз.
Составляющие размеры могут изменяться в установленных допусками пределах. При сочетании наибольших увеличивающих и наименьших уменьшающих составляющих размеров замыкаю щий размер будет иметь наибольшее значение, а при сочетании наименьших увеличивающих и наибольших уменьшающих состав ляющих размеров — наименьшее значение, т. е.
Учитывая, что разность между наибольшим и наименьшим предельными размерами есть допуск, вычитая почленно равенство (188) из равенства (187), получаем
бИ д ~ |
6Лiув ~г |
A jум. |
|
< = i |
i = 1 |
Если принять общее |
количество |
звеньев в цепи равным т, |
а общее количество составляющих звеньев равным т — 1 = п+ р , то
т—1
бЛ д = 2 6 И 4, |
(189) |
i= 1 |
|
т. е. допуск замыкающего размера равен сумме допусков состав
ляющих размеров. Например (см. рис. |
177), при 6HX = |
0,40 мм |
и 6/1., — 0,28 |
мм допуск замыкающего |
размера 6/1Л = |
б 40 4- |
0.28 - 0,08 |
мм. |
|
’ |
Равенство (189) показывает также, что в каждый момент времени погрешность замыкающего звена равна алгебраической сумме погрешностей всех составляющих звеньев цепи. Поэтому чтобы обеспечить наименьшую погрешность замыкающего звена, размерная цепь должна состоять из возможно меньшего числа звеньев, т. е. необходимо при конструировании изделий соблюдать принцип кратчайшей цепи. Кроме того, порядок обработки и сборки деталей нужно строить (если это возможно) таким образом, чтобы замыкающим размером являлся менее ответственный размер (его погрешность будет наибольшей).
Выведем уравнения, необходимые для определения предель ных отклонений замыкающего размера. Для этого выразим наи больший предельный размер в виде алгебраической суммы номи нального размера и верхнего отклонения, а наименьший предель ный размер — в виде алгебраической суммы номинального раз мера и нижнего отклонения.
Из примера, показанного на рис. 177,
А Диаиб = А хнаиб " А |
2наим |
|
или, согласно принятому, |
|
|
А А+ ВОА Д = (Их + ВОАу) - |
(А2+ НОА2). |
(190) |
В то же время |
|
|
Ид = Аг— А 2. |
(191) |
Вычитая из уравнения (190) уравнение (191), получаем
BOAa = BOA l—HOA2.
В общем случае эКэ уравнение можно представить в виде
BOAa = £ |
BOAiyB— J] HOAiyw |
(192) |
i=l |
j=l |
|
и аналогично |
|
|
ПОAh = j]H O A iyB- % B O A iyM. |
(193) |
i = i |
i = i |
|
Из уравнений (192) и (193) видно, что верхнее отклонение замыкающего размера равно разности сумм верхних отклонений увеличивающих размеров и сумм нижних отклонений уменьшающих размеров, а нижнее отклонение замыкающего размера равно разности сумм нижних отклонений увеличивающих размеров и сумм верхних отклонений уменьшающих размеров.
Пользуясь уравнениями (192) и (193), определим предельные значения замыкающего размера для примера, показанного на рис. 177:
ВОAt, = 0,2—■(— 0,14) = 0,34; ЛДнаиб = 32,34 мм; НОАц,— — 0,2 — (+0,14) = — 0,34; Нднаим = 31,66 мм.
Таким образом, замыкающий размер рассматриваемой размер
ной цепи At, = |
32 ± |
0,34. |
Допуск 6Л д = А Анапб — ^днаим = |
= 32,34—31,66 = |
0,68 |
мм. |
Как видим, допуск замыкающего |
размера равен сумме допусков составляющих размеров, т. е. уравнение (189) удовлетворено.
На основании уравнения (189) напишем формулу для опреде ления допуска любого составляющего размера при условии, что известны допуски и предельные отклонения остальных размеров цепи, включая и замыкающий:
6ЛС= 6ЛД— 2 б Л 4, |
(194) |
i |
|
где суммируются допуски всех составляющих звеньев, кроме до пуска звена с.
Это уравнение читается так: допуск любого составляющего размера размерной цепи равен допуску замыкающего размера минус сумму допусков остальных составляющих размеров цепи. Для определения предельных отклонений любого уменьшающего или увеличивающего размера пользуются уравнениями (192)
и (193).
Уравнения (192) и (193) можно записать также в другом виде, более удобном при решении ряда задач по размерному анализу.
Введем |
в расчет |
координату середины |
поля допуска Д0 |
(рис. 178). |
Для любого звена А { |
|
|
|
В О А ^ А 0А {+ ^ ; |
(195) |
|
|
ПОА, = А0А , - ^ . |
(196) |
По аналогии |
^ |
(197) |
|
|
ВОА д = Д<Д д -j— ij—; |
|
|
бАл |
(198) |
|
|
НОA t, = Д0Лд -----ф-. |
Подставляя полученные значепия ВО и НО в уравнения (192)
и (193), получаем |
|
|
р / |
|
|
бЛ% |
^ ( |
6Л.\ |
бл.\ |
(199) |
Д(ц4 д Ч |
уДо-Д гЧ~V |
- 2 ( м , |
2 7 УМ: |
- 2 - 2г='1 |
^ /ув |
|
|
Д<Ид • |
бЛд |
£ |
/ |
6Л.\ |
V |
2 |
L |
(Д<И;- |
- v 1 - |
■2 |
|
|
& /ув |
|
|
i= i |
|
|
/ |
блд |
(А° ^ |
+ “2_i 1 • (200) |
* /ум |
Сложив уравнения (199) и (200) и разделив сумму на 2, полу чаем следующее выражение для определения координаты середины ноля допуска замыкающего размера:
ггр
Д0Лд = 2] До-^гУВ |
2 До-^гУМ- |
(201) |
i = 1 |
;= 1 |
|
При симметричном расположении поля допуска относительно номинального размера все величины Д0 будут равны нулю.
At=101 ,Аг=50
А&
A,=ij А„=т A£l
6)
Р и с . |
178. С хем а оп р ед е - |
Р и с . |
179. К |
р еш ен и ю р а зм ер н ой |
ц еп п : |
л ен п я |
к оор д и н а ты сер е - |
а |
— эскиз |
узла; б — размерная |
цепь |
ди н ы п ол я д о п у ск а Д0Л г- |
|
|
|
|
Пример. Определить номинальное, наибольшее и наименьшее значения и допуск замыкающего размера А д (рис. 179, а), если детали механизма по
увеличивающим размерам изготовлены по Аза, а по уменьшающим — по В3- Составляем схему размерной цепи (рис. 179, б) и выявляем по ней увели
чивающие (Аъ Л2) и уменьшающие (А3, Л4, Л6) размеры. Онределяем номинальное значение Ал по уравнению (186):
Лд = (101 + 50) - (5 +140 + 5) = 1 мм.
По таблицам ОСТа находим отклонения составляющих размеров: А, =
— 101+0’14; А2= 50+0,1; А3= 5_0,26; Л4 = 140^i08; Л6 = 5_0 025.
Наибольшее и наименьшее значения замыкающего (сборочного) размера по уравнениям (187) и (188) будут:
•^Д наиб = |
(^ ш аи б “I- ^гнаиб) (^знаим "I- ^4наим “Ь ^анаим)= |
= (101,14 + 50,1) - (4,975 +139,92 + 4,975) = 1,37 мм; |
А А найм = |
(^ш аим Ч~ ^ 2наим) — (^знаиб ^4наиб "Ь ^ананб) = |
|
= (101 + 50) — (5 -j-140-f- 5) = 1 мм. |
Н а х од и м д о п у ск |
зам ы каю щ его разм ера |
8А, |
*Д наиб" ■ЛДНаим = 1>37- 1= 0-37 'М' |
Допуск 6ЛД, определенный как разность продельных отклонений замы кающего размера, удовлетворяет уравнению (189), так как
Г)1—1
6ЛД = 2 6Д = 0,14+ 0,1+0,025 + 0,08 + 0,025 = 0,37 мм. i= t
Вторая задача. Такая задача встречается на практике чаще. Она является наиболее важной, так как конечная цель расчета допусков составляющих размеров при заданной точности сборки (величине допуска исходного размера) — обеспечить выполнение машиной ее служебного назначения. Точность составляющих размеров должна быть такой, чтобы гарантировалась заданная точность исходного (функционального) размера. Эту задачу можно решать рассмотренными ниже способами.
Способ равных допусков применяют, если составляющие раз меры являются величинами одного порядка (например, входят в один интервал диаметров) и могут быть выполнены с примерно одинаковой экономической точностью. В этом случае можно условно принять
бДх = 6Л2 ==... = б^щ- i == бСрИ4.
Тогда из уравнения (189) получим
6 ЛД= (/и — 1)6^4*,
откуда
Полученный средний допуск бсрД { корректируют для некото рых составляющих размеров в зависимости от их величины, конструктивных требований и технологических трудностей изго товления, но так, чтобы удовлетворялось уравнение (189). При этом, как правило, надо использовать только стандартные поля допусков, желательно предпочтительного применения.
Способ равных допусков прост, но недостаточно точен, так как корректировка допусков составляющих размеров произвольна. Он рекомендуется только для предварительного назначения допусков составляющих размеров.
Способ допусков одного класса точности. При таком способе предполагают, что все составляющие цепь размеры могут быть выполнены по какому-либо одному классу точности, а допуски составляющих размеров зависят от их номинального значения. Напомним, что известными являются номинальные размеры всех звеньев цепи и предельные отклонения исходного (замыкающего) звена. Требуемый класс точности определяют следующим образом.
Величина допуска каждого |
составляющего размера равна |
б ~ a i, где г — единица допуска. |
Для размеров от 1 до 500 мм i ~ |
= 0,5у/ГA iCp, где A icp — средний размер для интервала диа метров по ОСТу, к которому относится данный линейный размер. Тогда
6Л{ = аг 0,5 К A iCр,
где ai — число единиц допуска, содержащееся в допуске дапного г'-го размера.
Далее согласно уравнению (189) можно написать
бЛд = ai ■0,5 ~\fА -f- а2 ■0,5 УгАгср + ... + |
am-i •0,5 у A m _icp- |
Принимая по условию задачи ах |
— а2 = |
... ат -! = аср, полу |
чим |
____ |
|
т—1 |
|
6-4д = а ср 2 (0,5 V А{Ср), |
1=1 |
|
|
откуда |
|
|
б.4д |
|
(203) |
«ср — |
. |
Ц(0,5/ а д
?.= 1
где бЛд — в мкм, Л;ср — в мм.
По аср выбирают ближайший класс точности.
Число единиц допуска аср, полученное по формуле (203), в общем случае не будет равняться какой-либо из величин а, определяющих класс точности по ОСТу. Поэтому, выбрав ближай ший класс точности и найдя по таблицам ОСТа величины допусков составляющих размеров в соответствии с их номинальной величи ной, корректируют их значение, учитывая конструктивно-эксплуа тационные требования и возможность применения такого процесса изготовления, экономическая точность которого близка к требуе мой точности размеров. Допуски для охватывающих размеров рекомендуется определять, как для основного отверстия, а для охватываемых — как для основного вала. При этом должно вы полняться уравнение (189).
После нахождения величин допусков 6ЧХ, 6Ч2, ..., 6А т-1 по заданным величинам ВОА& и НОА д определяются величины и знак верхних и нижних отклонений составляющих размеров так, чтобы они удовлетворяли уравнениям (192) и (193). Приемлемость предельных отклонений составляющих размеров можно проверить также через величины AnA i по уравнению (201).
Решение второй задачи способом назначения допусков одного класса точности является более обоснованным по сравнению со способом равных допусков. Рассмотрим несколько примеров.
Пример. Определить допуски составляющих размеров деталей меха низма, показанного на рис. 179. Заданы номинальные значения составляющих размеров цепи и предельные отклонения исходного размера: А Лнаи0 = 1,75 мм,
4 Днаим ^ мм*
Находим номинальный размер исходного размера, На основании формулы
(186)
Л д = ( ^ + Д 2) - ( Н 3+ /14 + /15) = ( 101+ 5 0 ) - ( 5 + 140 + 5) = 1 мм.
Наименьшая предельная величина зазора совпадает с номинальной,
поэтому Лд = 1+0,75, а 6ИД = 0,75 мм.
Определяем среднее число единиц допуска в размерной цепи по формуле
(203):
= ________________750 |
__________ |
ЙСР 0,5 (>/ 100 + у'Тб + 2 |
+ уЛ15б) ^ |
При оиределении аср номинальные размеры составляющих размеров заме няют средними значениями для соответствующих интервалов размеров но ОСТу. В практических расчетах целесообразно пользоваться следующими значениями г, подсчитанными по формуле
|
|
|
|
i=0,5 V А 1ср* |
|
|
|
Интервалы |
разме |
1—3 |
3—6 |
6—10 |
10—18 |
18—30 |
30—50 |
50—80 |
ров в мм |
. . . . |
Значение единицы |
0,63 |
0,83 |
1,00 |
1,21 |
1,44 |
1,71 |
2,01 |
допуска |
в |
мкм |
Интервалы |
разме |
80—120 |
|
120—180 |
180—260 |
260—360 |
360—500 |
ров в мм |
. . . . |
|
Значение единицы |
2,32 |
|
2,66 |
3,02 |
3,38 |
3,78 |
допуска |
в |
мкм |
|
Для рассматриваемого примера найденное число единиц допуска боль ше принятого для 3 а класса, но немного меньше, чем для 4-го класса точ ности.
Устанавливаем для всех размеров цепи, кроме размера Л4, допуск по 4-му классу точности. Допуск размера /14 можно назначить несколько меньшим, так как вал по этому размеру легко обработать с большей точ ностью.
По таблице ОСТа 1014 находим допуски для размеров Av А2, А3 и Аъ. Они соответственно будут 0,23; 0,17; 0,08 и 0,08 мм. Исходя из равенства (189) на долю размера А4 остается допуск 0,19 мм, однако целесообразно принять его стандартным по За классу, т. е. равным 0,10 мм. Таким образом, назначаем следующие предельные отклонения составляющих размеров для охватыва ющих поверхностей как для основных отверстий, т. е. со знаком «плюс»; для охватываемых — как для основных валов, т. е. со знаком «минус»:
/41 = Ю1+ 0’23 мм; |
И2 = 50+0'17 мм; |
A3 = AS = 5_0,0S мм; |
Л4 = 140_0,1в мы. |
Проверка показывает, что установленные предельные отклонения удовлет воряют (с некоторым запасом из-за принятого стандартного допуска 6Л4) уравнениям (192) и (193).
Пример. Определить экономически наиболее выгодный способ проста новки размеров узла, показанного на рис. 180, а (размеры, проставленные по первому варианту, подчеркнуты). Для обоих вариантов 6Лд = 0,22 мм.
Размерные цепи по двум вариантам показаны на рис. 180, б и в. Определяем число единиц допуска для двух вариантов по формуле (203);
_______220______ «з 30; 0,5 (2 У~8 + 2 У Ш )
_______ 220______
18.
0,5 (4 |/‘4б + 2>/'15б)
Средняя точность первой размерной цепи равна 3-му, а второй — 2а классу точности. Следовательно, первый вариант простановки размеров, сделанный но принципу кратчайшей цепи, целесообразнее, так как позволяет (при одной и той же степени точности сборки) выполнять составляющие раз меры но более грубому классу точности.
|
Рис. |
180. К расчету размерной цепи узла: |
а — эскиз узла; |
б, в — варианты схем сборочных размерных цепей |
Пример. |
Определить размер для измерения -глубины внутреннего уступа |
втулки (рис. |
181, а), |
от технологической базы cd. Все размеры втулки заданы |
от конструктивной базы аЪ.
Вводим технологический размер А1 от технологической базы, определяем его отклонения и допуск. Последовательность обработки должна быть такой,
|
а) |
6) |
в) |
Рис. |
181. |
К расчету размерной цепи детали: |
а — эскиз |
детали; б, в — варианты |
схем размерных цепей |
чтобы замыкающим размером являлся конструктивный размер с наибольшим
допуском, т. е. а2 |
(рис. 181, б). |
|
|
По уравнениям (192) и (193) |
|
|
-f- |
0,1 = 0 —НОАх или |
НОА! = — 0,1мм; |
— 0,1 |
= — 0,12 —БОА] |
или |
BOAl—— 0,02 мм; |
|
-4i = 6~q’®q; |
6.4, =0,08 мм. |
Проверяем решение первой размерной цепи по уравнению (189): 6аа = 6а, -j- бА1= 0,2 мм.
От технологической базы может быть проставлен и размер А 2, по замы кающим размером будет а3 (рис. 181, в).
По уравнениям (192) и (193) для второй размерной цепи находим
П2 = 3 6 ± °;? | 8Ла = 0,18 мм.
Следует отметить, что допуск технологического размера умень шается по сравнению с конструктивным на сумму допусков осталь ных составляющих размеров, входящих в технологическую раз мерную цепь. Поэтому технологическая база должна по возмож ности совпадать с конструктивной, чтобы избежать подобных пересчетов размеров.
Расчет размерных цепей методом максимума — минимума обеспечивает полную взаимозаменяемость деталей и узлов. Однако он может оказаться экономически целесообразным лишь для машин невысокой точности или для цепей, состоящих из малого количества звеньев. В других случаях, особенно при расчете точности негеометрических параметров, допуски могут быть чрез мерно жесткими и технологически трудновыполнимыми; при уста новлении же технологически выполнимых допусков может полу читься, что
m —i |
|
2 6Л4> 6 Л Д. |
(204) |
i= i |
|
В таких случаях допуски рассчитывают теоретико-вероятност ным или другим методом, обеспечивающим неполную взаимоза меняемость, основанную, например, на групповом подборе деталей, применении компенсаторов или подгонке одной из деталей по заранее определенному размеру.
§ 62. ТЕОРЕТИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ
При 'выводе формул (187) — (189) и других для расчета раз мерных цепей методом максимума — минимума предполагалось, что в процессе обработки или сборки возможно одновременное сочетание наибольших увеличивающих и наименьших уменьшаю щих размеров или обратное их сочетание. Оба случая наихудшие в смысле получения точности замыкающего звена, но они мало вероятны, так как отклонения размеров, как было показано в гл. IV, в основном группируются около середины поля допуска. На этом положении и основан теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей.
Применение теории вероятностей позволяет расширить допуски составляющих размеров и тем самым облегчить изготовление деталей при практически ничтожном риске несоблюдения предель ных значений замыкающего размера.
Первая задача. Полагая, что погрешности составляющих и замыкающего размеров подчиняются закону нормального распре
