книги из ГПНТБ / Шумоподобные сигналы в системах передачи информации

где kn = TJrKn = 2Тп[пв — объем выборки; Тп — время наблюде­ ния; /пв — высшая частота в спектре помехи; Nn — плотность мощ­

функция распределения значений смеси при условии, что параметры

Тогда многомерная функция распределения для смеси при условии

Интегрируя многомерные плотности вероятности по областям приня­ тия решений о наличии или отсутствии сигнала, подставив результат и выявив условия получения минимума среднего риска, получаем, что принятие гипотезы Г8 или принятие решения о наличии сигнала со­ провождается минимальным средним риском, если выполняются сле­ дующие действия [2.1—2.3]:

где П = гарР («)/гЛ 0 Р (0) — порог; / (х) — отношение правдоподобия.

20

Во многих случаях удобно перейти от отношения правдоподобия к его логарифму, тогда минимальный средний риск обеспечивается, если:

Анализируя математические операции, предусмотренные выра­ жением (2.2.7), можно синтезировать оптимальную схему обнаружителя дискретного радиосигнала. Для решения этой задачи нужно иметь конкретные математические выражения, описывающие функции рас­

ми, так как радиосигнал имеет обычно случайные параметры и тре­ буется провести интегрирование согласно (2.2.5).

Различие в математических выражениях для / (х) или In / (х), получающееся при принятии разных моделей сигнала, т. е. в предпо­ ложении о наличии у сигнала разных случайных параметров, приво­ дит к тому, что и схемы оптимальной обработки или оптимальных об­ наружителей, синтезируемые на основе этих выражений, получаются разными.

Порог П определяется априорными сведениями Р (0), Р (s), г п р , г л о и не зависит от свойств сигнала. Зависимость порога П от априор­ ных сведений играет важную роль в теории обнаружения. Часто воз­ никают трудности с выбором или вычислением Р (0), Р (s), г п р и гло, как это имеет место, например, при поиске. Тогда реализация опти­ мального обнаружителя, обеспечивающего минимум среднего риска, оказывается невыполнимой из-за невозможности установить опти­ мальный уровень порога. Схема оптимальной обработки смеси не за­ висит от указанных априорных сведений, она остается одной и той же для любых их значений, поэтому для реализации обнаружителя при отсутствии априорных сведений необходимо только выработать другие правила выбора порога.

Вуказанных условиях широко используется правило выбора порога по допустимой вероятности ложных обнаружений (ложных тре­ вог), известное как критерий Неймана—Пирсона. Смысл этого крите­ рия и его использование при анализе систем связи будут подробнее рассмотрены ниже.

Внекоторых случаях под термином «оптимальная обработка» понимают и вычисление I (х) или In / (х) и сравнение с порогом. Одна­ ко, вероятно, удобнее разделить их на операцию оптимальной обра­ ботки смеси и операцию сравнения, или принятия решения. Их соче­ тание дает оптимальный прием.

2.2.3. Двоичное распознавание

При распознавании также наблюдается реализация х (t). Пред­ полагается, что сигнал обязательно есть и нужно принять решение, какой из сигналов sx (t) или sa (t) действует.

21

Выполнив преобразования, аналогичные использованным при получении выражения (2.2.7), можно получить следующие результаты. Если имеется реализация смеси х (t) или выборка из нее хххг •••Xk

то минимальный средний риск при принятии гипотезы Г6 ± обеспечи­ вается, если выполняется следующее условие [2.1—2.3]:

сопровождается минимальным средним риском, если выполняется сле­

ненулевых сигналов нужно вычислить не одно отношение правдоподо­ бия (или его логарифм), как это имело место при обнаружении, а два (для обоих используемых сигналов) и производить сравнение с поро­ гом In П разности логарифмов отношений правдоподобия этих сигна­ лов.

Важно заметить, что оптимальное распознавание, по сути, при­ водит к тем же оптимальным процедурам обработки смеси, что и оп­ тимальное обнаружение.

При решении задачи распознавания радиосигналов применитель­ но к системам радиосвязи, когда рассматриваются их свойства по пе­ редаче полезной информации, обычно можно ввести некоторые упро­ щения в понятие среднего риска и перейти к более простому понятию полной вероятности ошибок и критерию идеального наблюдателя.

При передаче информации двоичным кодом сообщение отображает­ ся набором знаков: 0 и 1. Вероятности 0 и 1 обычно одинаковы. Тогда одинаковыми оказываются и вероятности Р (Sj) и Р (s2) [или Р (s) и Р (0)]. В двоичном коде информационное содержание 0 и 1 одинако­ вое, т. е. цены ошибочных решений также должны быть одинаковыми.

22

При этом оптимальная процедура обработки и правило принятия решения будут следующими: принимается гипотеза Г 8 1 , если In Іг (х) —

— In /2 (х) > 0.

Критерий идеального наблюдателя очень широко используется при анализе систем радиосвязи.

2.2.4.Распознавание многих сигналов

Вреальных условиях часто встречаются более сложные случаи распознавания многих радиосигналов. При этом наблюдается смесь сигнала и помехи и должно быть принято решение, какой из сигналов действовал в течение времени наблюдения.

Согласно основным выводам теории решений в общем случае ми­ нимальный риск обеспечивается, если выбирается гипотеза о действии того сигнала, для которого апостериорная вероятность максимальна [2.1].

В случае, представляющем наибольший интерес в системах пере­ дачи информации, когда сигналы равновероятны, имеют одинаковые

при всех k, причем k Ф і. Однако нахождение максимума такого от­ ношения требует большого количества каналов или (и) сложного ал­ горитма принятия решения. Поскольку распознавание всегда осу­ ществляется в присутствии помех, то вместо нахождения максимума (2.2.14) можно вычислить отношение правдоподобия каждого из сиг­ налов при их выделении из гауссовых помех и искать максимум этого отношения.

Используя методику, аналогичную той, которая была применена при получении приведенных выше выражений, можно показать, что минимальный средний риск или минимальная вероятность ошибки обеспечиваются, если выбирается гипотеза Tsi о действии і-го сигнала, для которого соблюдаются условия

подобия для всех возможных сигналов (или логарифмы отношения правдоподобия) и принимается гипотеза о действии того сигнала, для которого выход (отклик) соответствующего канала в конце времени наблюдения больше, чем у остальных каналов.

23

Следовательно, во всех случаях обнаружения и распознавания оптимальные схемы должны вычислять отношения правдоподобия (или логарифмы этих отношений) и сравнивать их с порогом либо между собой и принимать соответствующую гипотезу (решение).

2.3. Оптимальные алгоритмы и схемы обнару­ жения и распознавания шумоподобных радиосиг­ налов. Достоверность приема

Модели сигналов, для которых в настоящем параграфе будут рас­ смотрены оптимальные алгоритмы и схемы, обоснованы в § 2 . 1 . Пред­ полагается, что сигналы имеют случайную или известную фазу. Ам­ плитуда сигнала будет рассматриваться как известная, неизвестная и случайная величины. Частота и задержка рассматриваются как из­ вестные. Незначительные изменения (или отклонения) частоты и за­ держки учитываются в модели сигнала со случайной фазой и не тре­ буют отдельного рассмотрения.

Будем предполагать, что никаких ограничений на функцию вре­ мени, описывающую сигнал, и на его спектр не накладывается. Такой общий подход необходим, так как позволяет получить результаты, пригодные для разных радиосигналов, включая ШПС.

Сигнал с известной фазой при обнаружении практически не встре­ чается. Но рассмотрение этого случая полезно в методическом отно­ шении. Многомерная условная функция распределения смеси будет иметь вид

Поскольку наблюдение смеси целесообразно вести в течение всего вре­ мени действия сигнала, то приняты пределы интегрирования от 0 до Ts, rs полагаем равной нулю. Логарифм условного отношения правдо­ подобия будет равен

Т8

где Es — энергия сигнала.

24

может превысить порог и будет принято ошибочное решение о дейст­ вии сигнала. В свою очередь, при действии сигнала за счет влияния по­ мех отклик гх может не достигнуть порога и будет принято ошибочное решение о том, что сигнала нет. Поскольку в дальнейшем будут ис­ пользоваться результаты, получающиеся при применении критерия идеального наблюдателя, то результаты работы схемы могут характе­ ризоваться не риском, а вероятностью ошибок. Также вероятностями ошибок характеризуется работа схемы при использовании критерия Неймана—Пирсона.

Для вычисления вероятности ошибок нужно осуществлять ин­ тегрирование функции распределения величин гп и zx, сравниваемых с порогом, в пределах, определяемых порогом,

и интегрирование приводит к табулированным интегралам. После пре­ образований получим [2.3, 2.4]

—оо

Если обнаружение осуществляется в режиме приема информации, то при использовании критерия идеального наблюдателя после преобра­ зований получим

зуется в режиме поиска. В этом случае неизвестно, работает система или нет и имеется ли сигнал на проверяемых частоте и задержке. Цик-

26

лов таких проверок может быть много. Если при их выполнении про­ исходит ложное обнаружение, то это приводит к потере времени, так как последующая проверка не подтверждает правильности обнаруже­ ния, и поиск возобновляется. Количество циклов может достигать 103— 104 и более, поэтому обычно считают допустимыми незначительные вероятности ложных обнаружений при каждом цикле обнаружения. Обычно Р (ГУО) принимают равной 10~5 — 10~8. Подробно это рас­ смотрено в гл. 5. Очевидно, что модель сигнала с известной фазой не может быть применена при исследовании реальных условий обнаруже-

Рис. 2.3.2.

ния при поиске. Однако для того чтобы получить представление о тех потерях, с которыми связано обнаружение и поиск сигнала со случай­ ной фазой по сравнению с сигналом с известной фазой, который прак­ тически в случае поиска не может быть реализован, приведем основные выражения для этого случая. Если порог должен определяться исхо­ дя из Р (IVO), величина кото'грой считается заданной, то из (2.3.6) получаем

где arg F означает функцию, обратную F.

Выражение (2.3.8) подтверждает сказанное ранее о преимущест­ вах и смысле критерия Неймана—Пирсона. Как видно, порог не за­ висит от априорных сведений, необходимых при использовании кри­ терия минимума среднего риска, и от амплитуды сигнала.

Поскольку вероятность ложного обнаружения задается и исполь­ зуется для выбора порога, то основным качественным показателем об­ наружителя будет вероятность пропуска сигнала, которая получается путем подстановки порога, определяемого (2.3.8).

27

при заданной вероятности Р (IVO) дан на рис. 2.3.3 (сплошные кривые).

P(rsfs)

Рис. 2.3.3.

2.3.2. Распознавание двух ненулевых сигналов

с известной фазой(активная пауза)

Как будет показано дальше, при распознавании влияние неиз­ вестности амплитуды на оптимальные алгоритмы и схему носит со­ вершенно другой характер, чем при обнаружении.

При распознавании двух ненулевых сигналов с неизвестной ам­ плитудой имеем

28

Очевидно, что поскольку сигналы Si (t) и s2 (t) несут одинаковую информационную нагрузку, то целесообразно делать их равной энер­ гии (длительности) и амплитуды. Тогда

ls 2

Кроме того, по изложенным выше причинам обычно в системах радио­ связи, использующих распознавание двух ненулевых сигналов, можно положить, что П — 1. При этом условие принятия решения о наличии сигнала sx (t) имеет вид

сигнала) полученного ранее в общем виде выражения (2.2.12).

Рис. 2.3.4.

Следовательно, оптимальное распознавание двух ненулевых сиг­ налов на фоне помех при неизвестной их амплитуде приводит к схеме с двумя корреляторами, вычитающим устройством и нулевым порогом. Очень важно то, что порог оказывается не зависисящим от амплиту­ ды сигналов и при любом ее значении остается нулевым. Этот резуль­ тат имеет большое значение. В дальнейшем он будет подтвержден и для других моделей сигнала, более близких к реальным, т. е. имеющих слу­ чайные параметры.

У систем с активной паузой имеются еще некоторые положитель­

29