книги из ГПНТБ / Шумоподобные сигналы в системах передачи информации

чае повторяющихся одинаковых ШПС их называют двумерными перио­ дическими функциями автокорреляции (ДПФАК). Понятие двумер­ ных функций может быть распространено также на ФВК, которые, кроме того, могут быть апериодическими (ДАФВК)для одиночных сиг­ налов при их сдвиге но частоте и задержке и периодическими (ДПФВК) — для двух последовательностей, каждая из которых со­ стоит из одинаковых сигналов. Обычно рассматриваются огибающие этих функций, но для краткости это в названии и обозначениях не ого­ варивается. Для боковых выбросов этих функций будем использовать обозначение %ö . Не будем рассматривать эти функции, так как для наиболее широко используемых сигналов они даны в гл. 3.

2.7. Особенности спектра шумоподобных сигналов.

Остановимся на важной принципиальной особенности спектров ШПС, ко­ торая состоит в том, что их амплитудно-частотный и энергетический спектры сравнительно равномерны и мало изменяются от одного вида ШПС к другому. Индивидуальные особенности каждого ШПС заключены в их фазо-частотных спектрах . Равномерность амплитудно-частотного спектра имеет большое значе­ ние в оценке свойств ШПС, так как при этом в используемом сигналом диапазоне частот нет характерных точек, где сигнал в большей степени проявляется .

Д л я общей оценки спектральных свойств удобно воспользоваться тем, что амплитудно-частотный спектр связан с энергетическим спектром, а энергети­ ческий спектр с Ф А К сигнала. Поскольку функции автокорреляции ШПС имеют общие свойства, то и их энергетически еспектры должны иметь общие особенно­ сти.

Согласно известному соотношению

О" —"оо

Следовательно, размерностьЖ8 (со) соответствует корню квадратному из плот­ ности энергии сигнала на единицу полосы (в герцах). Тогда спектр плотности мощности в пределах частот от 0 до оо

Часто Gs (со) называют энергетическим спектром. Использование понятия энер­ гетического спектра удобно в том отношении, что позволяет с общих позиций оце­ нивать спектральные свойства и детерминированных (или квазидетерминированных) и случайных процессов. Известно, что энергетический спектр и ФАК связаны между собой через преобразование Фурье:

90

Если использовать огибающую функции корреляции, то получим

пользуется такой закон внутриимпульсной модуляции (манипуляции), при ко­

ла) используется такая внутриимпульсиая модуляция (манипуляция), при которой спектр сигнала, расширяясь, более или менее равномерно занимает полосу частот. Практически обычно ШПС не имеют идеальной Ф Л К и идеаль­ но равномерного спектра. Функция корреляции имеет, кроме основного вы­ броса, еще боковые выбросы и в спектре имеются участки с несколько большей или меньшей интенсивностью. Теория и практика показывают, что чем относи­

как они известны. Чем больше будет взято членов разложения, тем точнее ряд

в пределах которого функция раскладывается в ряд Фурье, чтобы период выс­ шей гармоники соответствовал длительности элемента сигнала Та. Очевидно, что более детальное описание ФАК нецелесообразно. Если подвергнуть (2.7.5) преобразованию Фурье, то будет получено приближенное выражение для энер­

значений g; (СО) образует точки практически непрерывного спектра. Если функ­ ция корреляции имела бы один основной выброс, форма которого близка к тре­

91

боковые выбросы разной интенсивности, максимальное значение Который состав^ ляет ( 1 — 3 ) / І / Б 8 . При этом коэффициенты составляющих разложения огибающей Ф А К будут иметь разную величину. Следовательно, в энергетическом спектре сигнала будут участки, имеющие несколько отличающуюся интенсивность.

Д л я примера на рис. 2.7.1 приведена огибающая ФАК для М-последо- вательности с УѴЭ = 15 и рассчитанные по ней дискретные точки энергетического спектра. Д л я наглядности они соединены пунктирной линией. Результаты рас­ чета хорошо согласуются с результатами, получаемыми другими методами.

\\

1111

Рис. 2.7.1.

Сказанное выше позволяет сделать некоторые выводы. Чем более «медлен­ но» изменяется уровень боковых выбросов, тем ближе к несущей расположены участки спектра с увеличенной интенсивностью. «Быстрые» изменения боковых выбросов означают наличие участков спектра с увеличенной интенсивностью на частотах, существенно отличающихся от несущей. Поскольку, как правило, в оги­ бающих Ф А К часто чередующиеся изменения интенсивности боковых выбросов невелики, интенсивность составляющих спектра, расположенных от несущей более чем на BS/2TS герц, обычно незначительна. Ширина участков с различаю­ щейся интенсивностью равна примерно \I2TS герц.

92

Амплитудно-частотные и энергетические спектры ШПС мало отличаются для сигналов с разными базами и при использовании разных кодов, причем эти спектры значительно более равномерны, чем у других сигналов, при тех же

длительности элемента Т3). Во многих случаях в первом приближении считают, что ШПС имеют равномерные спектры с шириной полосы bs/Ts и с плотностью мощности

разделены, так как при соответствующем выборе законов формирования они являются квазиортогональными. Очевидно, что это может быть объяснено только

93

где т2 ( ) — второй (начальный) момент случайной величины. Оги­ бающая выбросов отклика, т. е. модуль огибающей ФАК, кроме мо­ мента согласования, и ФВК, имеют случайную величину, распределен­ ную по закону Релея, причем из (2.8.5) следует, что параметр этой функции oR6 та 0,65/і Б~ .

Рассмотрим теперь особенности сигналов в виде реализаций шума с точки зрения законов их «формирования». Из (2.8.1) следует, что шум можно рассматривать как гармоническое колебание с модулированны­ ми по случайному закону амплитудой и фазой (или частотой). Вероят­ ностное описание этих случайных функций хорошо изучено и подроб­ но рассмотрено в ряде работ, например в [2.31. Это дает возможность

воспользоваться выражениями, опустив их вывод. Функции распреде­ ления амплитуды, фазы и отклонений частоты (производной начальной фазы) для узкополосного шума имеют вид

где

dx2 т - о

Вид функций распределения w (cp;i) и w (Ап) не требует пояснений. Функция распределения отклонений частоты шума от средней w (dtpjdt) дана на рис. 2.8.1 для случая шума с равномерным спектром в полосе частот 2AÙV При этом

ôw = 2A<an/\/"Ï2 fa 0,7Acon.

Для выявления законов формирования случайного сигнала имеет зна­ чение не только характер отклонений, но и их быстротечность, описы­ ваемая, например, энергетическим спектром. Энергетические спектры

огибающей, фазы и частоты выражаются сложно, поэтому ограничимся рис. 2.8.2, заимствованным из [2.3], где приведены указанные энерге­ тические спектры в относительных координатах для случая шума с равномерным спектром в полосе частот 2Аып.

Как видно из результатов, шум можно рассматривать как колеба­ ние с наиболее вероятной амплитудой, равной ап, сложно модулиро­ ванное по фазе или по частоте. Если рассматривать его как колебание, модулированное по фазе, то, пренебрегая высокочастотными состав­ ляющими энергетического спектра фазы, можно считать, что через интервалы времени т^ф œ 1/А/„ осуществляется манипуляция фазы, при которой она принимает равновероятные значения в пределах от О до 2я. Если рассматривать его как колебание, модулированное по час­ тоте, то можно считать, что частота колебания принимает значения в определенной области частот, зависящей от Ао)п . Энергетическому спектру изменений частоты, приведенному на рис. 2.8.2, соответствует в первом приближении нормированная функция корреляции значений частоты, имеющая вид [2.3]

— средний интервал времени изменений частоты.

Следовательно, манипуляция частоты шума происходит неболь­ шими сравнительно с Л/„ «шагами» со случайной величиной интервала.

В рассмотренных выше сигналах в виде реализаций шума нежела­ тельным фактором является наличие случайных изменений амплиту­ ды, так как обычно это связано с уменьшением средней мощности пере­ датчика. Можно показать, что случайные изменения амплитуды не являются обязательными для обеспечения необходимых свойств сиг­ нала. В связи с этим рассмотрим свойства случайного процесса, про­ шедшего через идеальный ограничитель. При этом сохраняются слу­ чайные изменения только фазы или частоты (амплитуда становится постоянной). Ограничимся рассмотрением ФАК идеально «ограничен­ ного» шума при очень продолжительной реализации. Для этого вос­ пользуемся известным выражением для ФАК случайного процесса, подвергнутого нелинейным преобразованиям [2.7]. Рассматривая слу­ чай прохождения через идеальный ограничитель нормального узкопо­

98

В выражении (2.8.11) учтены только члены, группирующиеся около несущей частоты сол „. Ряд в выражении (2.8.11) быстро сходящийся, тогда

Найдя В~(т), легко получить G~(co), применив преобразование Фурье.

ми можно сформировать, изменяя по слож­ ному закону только его фазу или частоту. Однако такой метод форми­

рования ШПС не получил распространения. При этом в передатчике и в генераторе копии сигнала приемника должен формироваться сигнал, модулированный по сложному закону, заложенному в память аппара­ туры. Причем объем этой памяти должен быть не менее чем Б~ = Б 8 . Реализация таких устройств при больших базах связана со значитель­ ными техническими трудностями. Формируя ШПС, можно имитиро­ вать неполностью сложные законы изменения фазы или частоты, ха­ рактерные для шума, а приближаться к ним, применяя такие псевдо­ случайные законы модуляции (манипуляции) фазы или частоты, при которых аппаратура формирования сигнала упрощается. Например, у генерируемых с помощью простых устройств (см. гл. 4) ФМн сигналов фаза принимает в простейшем случае два значения: ± л / 2 в соответст­ вии с псевдослучайным кодом. Очевидно, что особенности формиро­ вания ШПС должны вызвать некоторое отличие свойств случайных и псевдослучайных сигналов. Свойства ШПС определяются двумер­ ными функциями авто- и взаимокорреляции, которые могут быть вы­ числены точно, а для сигналов, сформированных из реализаций шума без их отбора, можно оперировать только с оценками авто- и взаимо­ корреляции, и уровень боковых выбросов является случайным. Од­ нако, как правило, свойства ШПС необходимо оценивать при наличии