книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

Г Л А В А

3 ДИНАМИКА СТО

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Как известно, Ньютон в своих «Математических началах на­ туральной философии» следующим образом формулирует второй основной закон своей динамики: «Изменение движения пропорцио­ нально приложенной внешней силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует». Мерой движения яв­ ляется импульс тела (количество движения — по старой термино­ логии), а изменение движения следует относить к единице вре­ мени, так как оно зависит не только от величины силы, но и от продолжительности ее действия (по старой терминологии — ог импульса силы). Следовательно, в современных терминах, ньюто­ новская исходная формулировка второго закона имеет следующий

вид: изменение импульса тела Др в единицу времени пропорцио-

нально действующей на это тело внешней силе /:

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения величин, входящих в этот закон. Если систему единиц выбрать таким образом, чтобы коэффициент k был равен единице, то второй закон Ньютона будет формулироваться так: изменение импульса тела в единицу времени равно действующей на это тело внешней силе:

Поскольку в механике Ньютона масса тела считается величи­

то второй закон Ньютона можно записать в другой форме:

61

p — inu,

Ap = in-Av,

А это обычная, «школьная» форма математической записи второго закона Ньютона. В рамках ньютоновской механики обе формули­ ровки (3.1') и (3.2) в математическом отношении совершенно экви­ валентны одна другой. Методические руководства и школьные учебники отдают предпочтение, вероятно, не без оснований второй формулировке.

Но здесь-то и лежит «водораздел» между школьной и совре­ менной физикой, потому что современная физика, даже нерелятнвистская, часто предпочитает первую форму закона второй, а тео­ рия относительности «знает» только одну форму второго закона Ньютона, именно первую.

Дело в том, что в современной физике, даже нерелятивнстской, важную роль играет не масса и скорость сами по себе, а величина, равная их произведению, — импульс тела. Поэтому с точки зре­ ния современной физики импульс тела должен вводиться как одна из основных динамических характеристик тела, во всяком случае не менее «основная», чем масса тела.

В физике под скоростью и ускорением понимают всегда мгно­ венное значение соответствующей величины. В левой же части (3.1') отношение конечных приращений есть средняя величина из­ менения импульса в единицу времени. Для получения соотноше­ ния (3.1'), справедливого для каждого момента времени t, а не для промежутка времени А/, необходимо совершить предельный переход при Ai“-*-0:

Ар _ dp lim—Г-7 .

Д/-Й) CLt

Этот предел, как известно, называется производной импульса по времени и, как всякая производная по времени, имеет смысл быстроты изменения импульса со временем. Тогда окончательно второй закон Ньютона записывается следующим образом:

62

В частном случае постоянной силы (по величине и направле­ нию '), как это имеет место во многих вопросах, рассматриваемых в курсе физики средней школы, форма (3.3) второго закона Нью­ тона переходит в форму (3.1'), которую можно переписать так:

Аp = f-At,

или

Рг — P i = f M .

Это значит, что изменение импульса тела равно произведению силы на время ее действия. (В средней школе это произведение называется импульсом силы. В современной же физике оно не имеет специального названия, импульсом силы обычно не называ­ ется, чтобы его не смешивали с импульсом тела.)

Очень полезно подчеркнуть, что согласно второму закону Нью­ тона совпадает по направлению с вектором силы не вектор им­ пульса, а вектор изменения импульса. Векторный характер соот­ ношения (3.1') полезно проиллюстрировать чертежом (рис. 10). На нем в некоторой системе отсчета и в некотором масштабе пред-

у

мент времени; вектор рг — импульс того же тела в последующий

момент времени; вектор Ар, равный изменению, или, как говорят математики, приращению вектора импульса, или разности векторов

-» Р2 и р,:

Ар = р 2 — Рі-

1Постоянство вектора означает неизменность как его модуля, или абсо­ лютного значения, так и направления. В дальнейшем постоянство только

модуля или только направления будет оговариваться специально.

63

У

Именно вектор Ар, а не р\ и р2 совпадает по направлению с силой.

Для решения основной задачи механики — нахождения положе­ ния и скорости движущегося тела в любой момент времени — нуж­ но знать не только силы, но и начальные условия. Поясним ска­ занное примером.

Пусть на тело (материальную точку) действует только сила тяжести. Можно ли, зная только эту силу, найти положение и скорость точки в любой момент времени. Очевидно, нельзя. Еще нужно знать начальную высоту и начальную скорость (ее модуль и направление). В зависимости от начальных условий тело может совершать движения по различным траекториям: по вертикали вверх или вниз, по различным параболам (рис. 11).

Итак, задача ставится следующим образом (рис. 12): в началь­ ный момент времени тело находится в некоторой точке простран-

-> ства с координатами А'о, Уо и имеет начальную скорость ѵ0\ на тело

все время действует постоянная сила /; требуется вычислить по­ ложение и скорость тела в любой момент времени и найти траек­ торию тела.

Для наглядности в качестве постоянной силы примем силу тя­ жести. Полученное же решение задачи будет справедливо и для случая постоянной силы любой физической природы, например для движения электрического заряда в однородном электрическом поле.

Исходим из второго закона Ньютона в нерелятивистском при­

64

Векторные соотношения в физике, как правило, непосредст­ венно не решаются. От векторных уравнений переходят к скаляр­ ным путем проецирования соответствующих векторов на оси коор­ динат. Для этого выбирают оси проекции и положительные направ­ ления на них. Пусть положительное направление оси X горизон­ тальное слева направо, оси Y — вертикальное снизу вверх. Модули векторных величин будем обозначать соответствующей буквой без стрелки, например: g, ѵ, а и т. д. Как обычно, проекцию будем считать положительной, если направление от проекции начала век­ тора к проекции его конца совпадает с положительным на­ правлением оси проекции, и отрицательной в противном случае.

В рассматриваемом примере будем иметь: gx = 0, gv = —g. Поэтому (З.З') примет вид:

Проанализируем эти соотношения. Первое из них (ах — 0) оз­ начает, что ускорение вдоль оси X равно нулю, т. е. что движение по горизонтали является равномерным. Скорость движения вдоль оси X, следовательно, остается все время постоянной и равной, очевидно, начальной скорости по оси X, т. е. равной проекции на­ чальной скорости на эту ось:

Расстояние движущейся точки от начального положения (по оси X) по смыслу равномерного движения будет расти пропор­ ционально времени:

Л' — Л'о = ѵ - і ,

Формулы (3.5) и (3.6) решают вопрос о горизонтальной про­ екции движения брошенного тела. Найдем теперь по такой же схеме вертикальную составляющую движения.

Из определения ускорения вытекает соотношение

или

ѵѵ — ѵѵ°_ ~ t

Отсюда, учтя, что начальная скорость по оси Y равна v0sin cto> найдем зависимость от времени вертикальной составляющей ско;

Р О С Т И Ѵу\

VV=Vy, — gt,

или

Как видим, скорость по вертикали ѵѵ изменяется со временем по линейному закону, т. е. движение по вертикали является рав­ нопеременным. Будет ли движение равноускоренным или равно­ замедленным, формула (3.7) сама'по себе не позволяет устано­ вить. Это зависит от значения угла ао, т. е. от направления на­ чальной скорости. Угол ао — это угол наклона вектора начальной скорости к горизонту; он отсчитывается от оси X, и положитель­ ным направлением его считается направление против движения ча­ совой стрелки. При ао = л скорость ѵу, оставаясь все время отри­ цательной, т. е. будучи все время направленной противоположно положительному направлению осп У, т. е. вниз, будет увеличи­ ваться по абсолютной величине пропорционально времени. Следо­ вательно, в таких случаях движение по вертикали будет равно­ ускоренным, без начальной скорости. При углах л < ао < 2л дви­ жение вниз будет равноускоренным с начальной скоростью; при О< ао ■< л члены в правой части (3.7) будут иметь разные знаки, причем в момент времени

tiz ѵ0- sin ао

скорость Ѵу обратится в пуль; в дальнейшем скорость изменит знак с плюса на минус. Это значит, что до момента t\ движение будет равнозамедленным, в напвысшей точке подъема вертикаль­ ная компонента скорости обращается в нуль, в дальнейшем дви­ жение по вертикали будет равноускоренным вниз без начальной скорости. Удобство такого рассмотрения вопроса о движении по вертикали (как н по горизонтали) состоит в том, что для вычис­ ления вертикальной составляющей скорости нужно пользоваться одной формулой для любых моментов времени: нужно просто зна­ чение t для соответствующего момента времени подставить в (3.7) и получить сразу скорость ѵѵ.

Координата у, т. е. высот тела над горизонтом, может быть

Заметим, что у не является путем, пройденным точкой по вер­ тикали. Это следует хотя бы из того, что в момент падения на землю координата у обратится в нуль, хотя от момента бросания до падения на землю тело пройдет, конечно, некоторый путь, от­ личный от нуля. Далее, координата у может стать отрицательной, тогда как путь отрицательным быть не может. Отрицательный же знак у говорит просто о том, что тело, продолжая двигаться, опу­ стилось бы ниже оси абсцисс (под горизонт).

66

Формулы (3.7) и (3.8) решают вопрос о вертикальной состав­ ляющей движения тела и вместе с формулами (3.5) и (3.6) для горизонтальной компоненты исчерпывающим образом решают ос­ новную задачу механики. Из этого общего решения можно найти различные величины, относящиеся к движению брошенного тела.

Например, легко найти величину и направление вектора ско­ рости для любого момента времени. Подставив значение t для данного момента времени в формулы (3.5) и (3.7), найдем состав­ ляющие скорости ѵх и ѵу для этого момента. Модуль вектора ско­ рости для этого момента найдем по теореме Пифагора:

Направление вектора скорости может быть охарактеризовано его углом с горизонтом а. Этот угол может быть найден из следую­ щего соотношения (рис. 12):

Ѵу_Dp sin ао — gt

vx VQCOS ар

(3.10)

Высота и дальность полета также могут быть легко найдены. (Вопрос о высоте подъема имеет смысл только при условии, что вертикальная составляющая начальной скорости не равна нулю и направлена вверх.)

Вершина траектории найдется из условия ѵу = 0. Сначала най­ дем момент времени, в который будет достигнута вершина:

upsin ар — gti— 0,

(3.8) у — 0, получим квадратное уравнение для нахождения про­ межутка времени tm, в течение которого тело будет двигаться до

Подставив найденное время tm в формулу (3.6), найдем макси­ мальное удаление движущейся точки от начального положения по оси X, т. е. дальность полета по горизонтали:

Хт XQ—VQCOS ар*Ітг

В частности, для случая, который обычно рассматривается в сред­ ней школе (тело бросают с поверхности Земли), следует положить Уо — 0. Тогда получим:

Из (3.12) и (3.13) следует, что при данном модуле начальной скорости максимальная высота достигается при вертикальном бро­ сании тела, а наибольшая дальность — при бросании под углом 45° к горизонту.

По изложенной схеме решается любая механическая задача: сначала записывается необходимая формула в векторной форме, затем переходят к скалярным уравнениям путем замены вектор­ ных величин их проекциями на оси координат. Далее полученные скалярные уравнения решают и находят координаты н составляю­ щие скорости по осям координат. Из этого общего решения нахо­ дят различные величины, требуемые поставленной задачей.

§ 2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМА ВТОРОГО ЗАКОНА НЬЮТОНА

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, второй закон Ньютона в СТО формально имеет тот же вид (3.3), что и в ме-- ханике Ньютона:

(Изменение импульса тела в единицу времени равно действую­ щей на тело внешней силе.)

Принципиальная разница, однако, обусловлена тем, что В нью­ тоновской и релятивистской механике в качестве импульса рас­ сматриваются различные величины. В ньютоновской механике им­ пульсом тела называется векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

причем масса тела считается величиной инвариантной, не зави­ сящей, в частности, от скорости тела.

В теории же относительности в качестве импульса приходится брать векторную величину, определяемую следующим образом:

(3.15)

68

Здесь то — масса тела в той системе отсчета, в которой тело по­ коится (масса покоя, или собственная масса тела).

Следует иметь в виду, что исходная формула (3.15) допуска­ ет две различные интерпретации. Первая, широко распространен­ ная в популярной и учебной литературе, как школьной, так п ву­ зовской, относит «релятивистский» корень в знаменателе к массе покоя т0 и получающуюся величину

называет релятивистской массой или массой движения т. Тогда импульс в СТО может быть определен формально так же, как

.и в ньютоновской механике, т. е. как произведение массы 'на ско­ рость, только в СТО масса тела принимается зависящей от скоро­ сти тела, т. е. от системы отсчета, относительно которой рас­ сматривается скорость тела, согласно (3.16).

Вторая интерпретация формулы (3.15) принята в основном в научной литературе по теоретической физике и лучше соответст­ вует «духу» самой теории относительности. Согласно ей релятиви­ стский 'корень относится к вектору скорости, а масса полагается инвариантной величиной, равной массе покоя, или,- собственной массе тела т0. Такая трактовка принята в четырехмерной форме теории относительности, в которой все векторные величины имеют не по три, а по четыре компоненты: три компоненты пространст­ венные, т. е. проекции вектора на пространственные оси коорди­ нат, а четвертая — временная компонента —• проекция вектора на ось времени. Непривычный четырехмерный математический аппа­ рат теории относительности допускает и привычную трехмерную трактовку: оказывается, три пространственные составляющие вся­ кого четырехмерного вектора соответствуют «подходящему» век-

Для средней школы может быть рекомендована только трех­ мерная трактовка соотношений теории относительности, как более

наглядная.

Здесь будут рассмотрены некоторые вопросы релятивистской динамики, которые представляют интерес для учителей средней школы.

69