книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

Выясним физический смысл каждого члена полученного соот­ ношения.

Если участок AB представляет собой однородный проводник, как это часто бывает на практике, то его постоянное во всех ме­

\стах удельное сопротивление можно вынести за знак интеграла. Если к тому же н площадь поперечного сечения проводника во всех местах тоже одинакова, то и ее можно вынести за знак инте­ грала. Тогда

сП.

в

Интеграл feil, очевидно, равен длине I участка AB, и получен­

ное выражение представляет собой произведение силы тока на сопротивление участка AB:

I • 6 £ = I R A B ■

Мы получили попутно общее определение электрического со­ противления участка цепи AB:

По этой формуле можно вычислить сопротивление прозодпика в самом общем случае: когда сечение проводника меняется вдоль него, когда удельное сопротивление тоже различно в разных его точках. Как видим, сопротивление — это суммарная, интеграль­ ная, макроскопическая характеристика проводника? Из определе­ ния сопротивления нельзя вывести непосредственных заключений о микроскопическом механизме электрического сопротивления, по­ этому следует быть осторожным при объяснении физического, смысла сопротивления. В частности, нельзя трактовать понятие сопротивления в буквальном смысле этого слова как силу сопро­ тивления, действующую на каждый носитель тока: тогда окажется совершенно непонятным, почему сопротивление зависит от длины и сечения проводника, т. е. от наличия других носителей тока. Со­ противление — это макроскопическая характеристика, и не имеет смысла относить ее к каждому носителю тока, подобно тому как бессмысленно говорить о температуре пли давлении одной моле­ кулы газа.

Выясним смысл величин, стоящих в правой части (6.14).

В частном случае, когда напряженность поля одинакова во всех точках проводника, как это имеет место при постоянстве Q и 5,

“*■ —>

т. е. практически всегда, первый член / El{dl равен произведению напряженности поля кулоновских сил на длину проводника:

2 0 0

Это произведение, в свою очередь, равно разности потенциалов начальной и конечной точек проводника:

Е ц і а в = ( Р а — Ф в -

В общем случае, когда Ек различна в разных точках провод­ ника, разность потенциалов на его концах определяется интегри­ рованием:

Фа — фв= / Ек dl — J Екіdl.

АА

Второй член правой части (6.14), по определению, называется

электродвижущей силой, действующей на участке AB:

Для выяснения смысла формулы (6.15) рассмотрим случай, когда сторонняя сила одинакова во всех точках части А'В' участка AB и ее можно вынести за знак соответствующего интеграла:

6 л , = ~ І ?-dl = U j F - d l + f P d i + j F’ M ) =

Хотя интегрирование производится по всей длине участка AB, но для участков АА' и В'В, на которых сторонняя сила не действует, т. е. равна нулю, интегрирование даст нуль, и весь интеграл све­ дется к произведению сторонней силы на длину того участка, на котором эта сила действует, т. е. к работе сторонней силы. По­ этому определение э.д.с. может быть формулировано следующим

образом:

Электродвижущая сила, действующая на участке цепи AB, — это скалярная величина, равная работе сторонних сил по пере­ мещению единичного положительного заряда из точки А в точку В.

Важно обратить внимание на следующие два обстоятельства. Вощерывх, э.д.с. — скалярная величина и характеризуется аб­ солютной величиной (модулем) и знаком, положительным или от­ рицательным, как и работа. Говорить о направлении э.д.с. бессмыс­ ленно. Хотя в термин «э.д.с.» и входит слово «сила», но его нельзя понимать буквально; сама э.д.с. никуда не направлена. Э.д.с. дан­

201

ного источника тока при вполне определенном модуле может, иметь

вектор перемещения dl или I'. Его направление ничем не обуслов­ лено: ои может быть направлен или от точки А к В, или от В к А, т. е. иметь противоположные направления. Однако направление вектора перемещения влияет на знак работы силы, и изменение его направления на противоположное изменяет знак работы. Неоп­ ределенность знака э.д.с. и является вторым обстоятельством, на которое следует обратить внимание. При решении практических задач это проявляется в том, что знак э.д.с. зависит от направ­ ления обхода контура, которое принимается за направление век-

тора dl.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть длина металлического проводника AB равна 10 см. Пусть, далее, на длине 5 мм этого участка на каждый электрон действует сторонняя сила, равная 1,6-ІО-16 н и направленная слева направо. Далее нужно выбрать направление вектора перемещения, например от В к А. Тогда ра­ бота сторонней силы будет отрицательной, так как векторы силы и перемещения взаимно противоположны. Но результат деления отрицательной работы на отрицательный заряд электрона будет выражаться положительным числом. Это значит, что э.д.с. будет положительной для выбранного направления перемещения:

Если бы мы взяли вектор перемещения направленным от точ­ ки Л к В, то получили бы такую же по модулю э.д.с., но только отрицательную по знаку. Эта неопределенность знака э.д.с. при первом знакомстве может создать впечатление некоторой неопре­ деленности, однако при решении практических задач на расчет электрических цепей, при аккуратном обращении со знаком э.д.с. в соответствии с этими замечаниями всегда получается вполне оп­ ределенный, однозначный ответ на поставленную задачу. Прежде чем показать это на конкретном примере, рассмотрим последний вопрос, касающийся э.д.с. Дело в том, что на практике источник э.д.с. характеризуется указанием модуля э.д.с. и положения его «полюсов», например: слева (на схеме) — отрицательный полюс, справа — положительный. \

Положительный полюс источника э.д.с. — это тот его электрод, потенциал которого выше потенциала другого электрода. Напри­ мер, если абсолютные потенциалы электродов источника равны 3 в и 5 в, то второй электрод будет положительным полюсом источника, а первый — отрицательным, несмотря на то, что и его потенциал тоже положителен. Если же потенциалы электродов

202

равны —2 в и —3 в, то первый электрод будет положительным полюсом, а второй — отрицательным, так как —2 больше, чем —3.

и, следовательно, правый электрод будет отрицательным полюсом, а левый — положительным. Таким образом, будет ли данный электрод источника э.д.с. положительным или отрицательным по­ люсом, зависит от направления сторонней силы и знака носителя тока. Никакого произвола здесь, как видим, нет. О знаке э.д.с. приходится говорить только при расчете электрической цепи, со­ держащей этот источник. Прежде чем пояснить это на конкрет-' ном примере, запишем окончательный результат, полученный для участка цепи, содержащего э.д.с.:

Эта формула выражает содержание закона Ома для участка цепи, содержащего э.д.с.: произведение силы тока в данном участке цепи на его сопротивление (напряжение на его концах). равно раз­ ности потенциалов его концов, сложенной алгебраически с электро­ движущей силой, действующей на этом участке. Чтобы не запу­ таться в каждом конкретном случае в том, с каким знаком нужно брать разность потенциалов (фл — фв или срв — ф а ) , полезно закон Ома записать в . несколько иной форме — в виде соотношения между потенциалами конца и начала участка цепи:

направление вектора перемещения dl совпадает с направлением тока (т. е. с направлением плотности тока). Величина — IRAB в (6.16'), отрицательная по знаку, отражает тот факт, что в направ­ лении тока происходит падение (уменьшение) потенциала на ве­ личину, равную произведению силы тока на сопротивление. Эго хорошо известно. Наличие э.д.с. приводит к дополнительному «скачку» потенциала: в зависимости от знака э.д.с. потенциал мо­ жет увеличиться или уменьшиться на величину, равную по модулю э.д.с. Это обстоятельство позволяет дать э.д.с. другую интерпре­ тацию, как скачка потенциала на полюсах источника. В зависи­ мости от включения источника — по току или противоположно ему —• скачок потенциала в источнике может быть как положи­ тельным (потенциал увеличивается на величину э.д.с. при про­ хождении источника в направлении тока), так и отрицательным (потенциал уменьшается на величину э.д.с. при прохождении ис­ точника в направлении тока). Для установления этого правила выбора знака э.д.с. обратимся к ее определению (6.15). Знак э.д.с.

203

определяется направлениями двух векторов: напряженности: поля сторонней силы

,пением F* для положительных носителей тока н противоположно

. Д

направлению F* для отрицательных носителей (например, элект­ ронов). Но, как можно убедиться на простых конкретных приме-

-Д

рах, вектор Е* всегда направлен от отрицательного полюса источ­ ника к его положительному полюсу. В действительности причиной образования полюсов является действие сторонней силы, и сле­ дует говорить «наоборот»: положительный полюс источника нахо­ дится на том его конце, к которому направлен вектор напряжен­ ности поля сторонних сил. Другими словами, направление вектора

Е* — это направление от «минуса» источника к его «плюсу». Зна­ чит, если на схеме указаны знаки полюсов источника, то тем са-

мым указано и направление вектора Е*. Но знак э.д.с. определяется ■У

еще и направлением вектора перемещения dl. Мы выбрали его

—> совпадающим С направлением тока. И если оба вектора (£ * и dl)

имеют одинаковые направления, то э.д.с. в (6.16) или (6.16') еле-

дует считать положительной. Если же векторы Е* и dl имеют противополжные направления, то э.д.с. будет отрицательной. Чтобы подчеркнуть возможность того пли иного знака э.д.с., формулу (6.16') лучше записать в следующем виде:

Таким образом, имеем следующее правило для определения

знака э.д.с.; если направление «обхода» участка цепи или замкну-

—У

того контура с током (т. е. направление вектора dl) внутри источ­ ника означает направление от «минуса» к «плюсу», то э.д.с. сле­ дует брать со знаком «плюс», если направление обхода — это направление от «плюса» источника к его «минусу» внутри него, следует брать э.д.с. со знаком «минус».

Это правило для определения знака э.д.с. можно будет форму­ лировать проще и нагляднее: э.д.с. считается положительной, если направление тока, который она создала бы сама, совпадет с на­ правлением тока, действительно текущего по проводнику; в против­ ном случае э.д.с. считается отрицательной. Рассмотрим конкретные примеры для иллюстрации обобщенного закона Ома (6.16").

204

участка цепи. А как узнать знак этого напряжения, т. е. как узнать, потенциал какой точки выше — начальной точки участка AB или конечной? Установить это помогают метки (обычно знак «+»), которые ставятся на приборах постоянного тока для их правиль­ ного включения, т. е. такого включения, при котором стрелка от­ клоняется в сторону шкалы прибора.

Вернемся к расчету участка цепи с помощью (6.16"). Подставив числовые данные, получим сразу:

Фл = фв — — I <§ і| = фв 3 • 12в — 5в = фв — 41s.

Мы нашли, что потенциал точки А ниже потенциала точки В на 41 Ö. Значит, напряжение на концах участка AB равно 41 в.

Можно, однако, при практическом применении закона Ома по­ ступать так же, как при расчете разветвленных цепей по прави­ лам Кирхгоффа. Выберем произвольно направление «обхода»

—>

участка AB, т. е. направление вектора перемещения dl. Пусть нм будет направление от А к В, противоположное направлению тока. Знак э.д.с. в данном случае будет положительным, так как обход совершается внутри источника от «минуса» к «плюсу».

Но зато теперь и произведение IR следует брать со знаком «плюс» или «минус». Дело в том, что при выводе формулы (6.16) знак произведения IR в левой части определяется знаком скаляр-

—У-

ного произведения плотности тока на вектор перемещения jdl. '•—^

Мы выбрали вектор dl направленным так же, как и ток, и полу­ чили положительную левую часть (6.16). Если теперь не связы­ вать себя направлением тока и направление обхода выбрать про­ извольно, то левая часть в (6.16) может быть или положительной, или отрицательной. Если направление обхода совпадает с направ­ лением тока, величина IR в левой части (6.16) будет положитель­ ной, а в правой части (6.16') величина —IR будет отрицательной, как мы и считали до этого. Если же направление обхода противо­

205

чении сопротивления. Точно так же, если электроды несколько вынуть из раствора, уменьшив этим сечение проводника, то сила тока уменьшится.

На первый взгляд утверждение о том, что на внутреннем сопротивлении источника э.д.с. происходит падение потенциала, т. е. что и по внутреннему сопротивлению положительные заряды перемещаются от большего потенциала к меньшему, кажется про­ тиворечащим утверждению о том, что внутри источника э.д.с. ток идет от «минуса» источника к его «плюсу». На самом деле про­ тиворечия здесь нет. Например, при опускании медного и цин­ кового электродов в раствор медного купороса (элемент Вольты) положительные ионы цинка под действием сторонней силы перехо­ дят из металла в раствор. Потенциал цинкового электрода при этом становится отрицательным относительно раствора. Этот про­ цесс идет вопреки электростатическому взаимодействию: отрица-' тельный потенциал цинка (избыток электронов в нем) препятст­ вует уходу положительных зарядов с цинка вследствие электроста­ тического притяжения разноименных зарядов. В результате одно­ временного действия противоборствующих факторов — сторонней силы и электростатического притяжения •— растворение цинка при незамкнутых электродах происходит не до полного растворения всего электрода, а до некоторого предела, при котором электро­ статическая сила уравновесит стороннюю силу. При этом потен­ циал цинкового электрода достигнет некоторого предела, который называется электрохимическим потенциалом. Для цинка он равен <§і = —0,5 в. Это и есть скачок потенциала, обусловленный сто­ ронней силой.

На другом, медном электроде происходит противоположный процесс: под действием сторонних сил положительные ионы меди выделяются из раствора медного купороса на металлическом мед­ ном электроде. Это приводит к тому, что потенциал медного элект­ рода становится положительным относительно раствора. При не­ замкнутых электродах тоже установится некоторое предельное значение потенциала медного электрода относительно раствора — электрохимический потенциал меди. Он равен: < § 2 = '+0,6 в. Это скачок потенциала на втором электроде, обусловленный сторон­ ними силами. Арифметическая сумма этих скачков потенциала, равная модулю разности электрохимических потенциалов, и пред­ ставляет собой величину э.д.с. данного источника:

I <§| — I <§і|+І <§2І = 0,5в-)-0,6в= 1,1в.

Э.д.с. равна также (по модулю) абсолютной величине разности потенциалов электродов при незамкнутых электродах:

I <§ I= ІФ+ — Ф-І= I (0 ,6 в — ( — 0 ,5 e )) I= 1,1 в.

На этом и основан один из способов практического измерения э.д.с. как разности потенциалов на полюсах источника при р а - з ом к ну той внешней цепи.

207

рого и представляет собой внутреннее сопротивление источника.

При отсутствии тока потенциал раствора электролита постоянен, а потенциалы электродов отличаются от него на величины соответ­ ствующих электрохимических потенциалов. При замыкании цепи избыточные электроны по внешней цепи будут переходить с цин­ кового на медный электрод, что приведет к уменьшению модуля заряда и потенциала цинкового электрода и к уменьшению по­ ложительного заряда и потенциала медного электрода. Это в свою очередь ослабит электростатическое противодействие сто­ ронним силам, поэтому цинк начнет растворяться, а медь, jiaоборот, будет осаждаться из раствора. Такая «работа» источника приведет к появлению разности потенциалов на концах раствора около электродов: приход дополнительных положительных ионов цинка в раствор сделает потенциал «цинкового» конца раствора более положительным, чем при равновесии. Наоборот, выделе­ ние дополнительных ионов меди на медном электроде, т. е. уход дополнительных положительных ионов из раствора сделает потен­ циал «медного» конца раствора отрицательным по сравнению с его равновесным значением. Оба эти процесса приведут к возник­ новению разности потенциалов на концах раствора электролита. В результате положительные и отрицательные ионы раствора будут двигаться в противоположных направлениях, «с целью» уменьшить эту разность потенциалов. Ионный ток в растворе и замкнет цепь.

208

Следует обратить внимание на то, что часто применяемое выра­ жение «цепь электрического тока всегда замкнута» не следует по­ нимать так, что в этой цепи одни и те же заряды непрерывно циркулируют, возвращаясь каждый раз к исходной точке. Это могло бы иметь место при условии, что проводимость всех участ­ ков цепи создается носителями заряда одного типа, например электронами. В случае металлических сопротивлений потребителей энергии электростанций так оно и есть. Но в случае химических источников тока дело обстоит по-другому: во внешней цепи, обычно составленной из металлических проводников, носителями тока яв­ ляются электроны, а внутри химического источника — положи­ тельные и отрицательные ноны. Путь конкретного носителя тока оказывается незамкнутым: электроны движутся только по внешней цепи от отрицательного полюса источника к положительному по­ люсу, внутри же источника движутся ионы. Тем не менее замкну­ тыми остаются так называемые линии вектора плотности тока, ли­ нии, смысл которых тот же, что и силовых линий электрического поля: касательная к линии тока в ка'ждой точке имеет направление вектора плотности тока в этой точке. В замкнутой цепи элект­ рического тока замкнутыми оказываются именно ’линии вектора плотности тока: они действительно нигде не обрываются, а пред­ ставляют собой «кольцевой маршрут, по которому движение осу­ ществляется различными бегунами путем передачи эстафеты».

Внутри раствора электролита ток хотя и представляется иду­ щим от отрицательного полюса к положительному, но фактически он идет в направлении от большего потенциала-раствора к мень­ шему. Не следует смешивать потенциал металлического электрода с потенциалом раствора около этого электрода — они отличаются на величину скачка потенциала — на электрохимический потен­ циал электрода.

Рассмотренные распределения потенциалов на электродах и в растворе электролита в случае неработающего и работающего химического источника тока приведены графически на рисунке 54. Скачки потенциала у электродов происходят в слое толщиной по­ рядка ІО“5 см (так называемый двойной электрический слой), ко­ торую представить на графике с соблюдением пространственных масштабов трудно. На рисунке 54,6 величина ср' — ф" представ­ ляет собой внутреннее падение потенциала внутри источника тока, т. е. внутри раствора. Видно также, что разность потенциалов полюсов источника ср+ — ср_ при замк­ нутой цепи меньше э-.д.с. (суммы <§ і

II |(§2!) как раз на величину внут­ реннего падения потенциала.

В заключение покажем на кон­ кретном примере, как следует поль­ зоваться на практике законом Ома для замкнутой цепи. Найдем ток в