книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

стемы отсчета. Это означает относительность длительности: про­ должительность данного процесса различна в разных инерциаль­ ных системах отсчета. Она минимальна, если измеряется часами, неподвижными относительно места процесса, и имеет большую длительность, если измеряется такими же часами, движущимися относительно места процесса. Это же положение можно выразить другими словами. Если одни из часов считать условно неподвиж­ ными, а место события с «его» часами — движущимися, то соглас­ но (2.11) движущиеся часы (движущиеся относительно непод­ вижных, но неподвижные относительно места события) покажут меньшую длительность данного процесса (ДГ), чем неподвижные часы (АV < Д^). Коротко говорят, что движущиеся часы отстают от неподвижных или что в движущейся системе отсчета время течет медленнее, чем в неподвижной. Поэтому часто говорят о релятивистском замедлении времени в движущихся системах от­ счета. Чтобы лучше понять, в чем здесь дело, полезно рассмот­ реть следующий конкретный пример.

Представим себе источник света (точка А на рисунке 8) н зер­ кало на некотором расстоянии от него. В качестве процесса рас­ смотрим распространение света от А до зеркала; задача состоит в сравнении времен распространения света от А до зеркала в «нёподвижной» и «движущейся» системах отсчета К и К'. Как и при выводе формулы (2.11), системы К' и К выберем так, что отно­ сительно К' источник и зеркало неподвижны, а относительно К — движутся.

Время распространения света от источника до зеркала в каж­ дой системе отсчета равно, очевидно, длине пути, пройденного светом в этой системе от источника до зеркала, деленному на ско­ рость света в этой системе. Но согласно второму постулату Эйн­ штейна скорости света в обеих системах одинаковы и равны с. А вот длины путей разные: I' в системе К' и I в системе К. Это обусловлено тем, что в системе К' свет распространяется по пер­ пендикуляру к Ох', а в системе К, вследствие движения К' вместе с источником и зеркалом относительно К — по наклонной прямой.

50

(Конечно, лоренцево сокращение здесь ни при чем: длина I', пер-

пендикулярная скорости ѵ, сокращения не претерпевает.)

Для количественной оценки различия между АС и At восполь­ зуемся теоремой Пифагора. В системе К можно записать:

ЛВ2= В С 2+Л С 2.

Но в этой системе ВС — AB' — l', так как лоренцево сокращение длины в направлении, перпендикулярном скорости, не происходит. Кроме того, АС = ѵ • At, так как АС — это расстояние, на которое переместятся источник и зеркало относительно К за время, в тече­ ние которого свет пройдет путь от источника до зеркала в систе­ ме К. Следовательно, можно написать:

At)*,

или

с2 • At2— с2 • ДГ2+ о 2 • At2,

откуда

где

Мы пришли к формуле (2.11),' полученной ранее из преобра­ зований Лоренца. Пусть в точках А и В расположено зеркало. Тогда луч света, поочередно отражающийся от двух параллель­ ных зеркал, может служить идеальными часами с равномерным хо­ дом. Можно представить двое таких часов — в системах К' и /(. И если расстояния между зеркалами будут одинаковыми, то в системах К' и К будут находиться двое одинаковых, идеально точно иду­ щих часов. Можно время распространения света «туда и обратно» между зеркалами принять за единицу. Тогда содержание формулы (2.11) можно выразить следующим образом: «величина» единицы времени в «своей» системе отсчета одинакова для всех систем от­ счета, т. е. At = At' при V = 0. («Своя» — это система отсчета, в которой часы неподвижны.)

Но вот «величина» единицы времени данных часов в разных системах отсчета будет различной: в «не своей» системе она будет длиннее, и тем длиннее, чем быстрее «чужая» система движется относительно «своей». Рассмотрим конкретный пример.

Пусть луч света в системе К' прошел, к примеру, 5 раз «туда — ■ обратно». Это значит, что в системе К' это длилось 5 условных «секунд». В .системе же К, согласно (2.11), это же путешествие света будет длиться больше, например, 7 «секунд» (в зависимости от скорости ѵ) по часам системы К. Это значит, что луч света в таких же часах, но неподвижных относительно К, пройдет «туда — обратно» 7 раз. Таким образом, длительности одного и того же

процесса — 5-кратного прохождения светом расстояния между зеркалами «туда — обратно» — оказываются различными в раз­ ных системах. И если систему К условно считать неподвижной, то движущиеся часы (в К') покажут длительность 5 «секунд», а не­ подвижные (в К) — 7 «секунд», т. е. движущиеся часы отстанут на 2 «секунды» по сравнению с неподвижными.

Причина этого, конечно, не в том, что свет в движущейся си­ стеме распространяется медленнее, чем в «неподвижной»: мы все время учитываем второй постулат Эйнштейна, согласно которому свет во всех системах распространяется с одной и той же ско­ ростью.

Нельзя считать причиной релятивистского изменения промежут­ ков времени изменение хода часов: часы в каждой из систем (К' и К) идут совершенно одинаково.

Согласно СТО нет смысла искать конкретной причины замед­ ления времени в движущейся системе. Просто длительность про­ цесса — величина сугубо относительная. Она имеет смысл лишь по отношению к определенной системе отсчета. Поэтому лучше го­

так называемое «собственное» время: это время-, показываемое часами в той системе отсчета, относительно которой они покоятся. Собственное время, очевидно, не зависит от скорости системы от­ счета.

Релятивистский эффект замедления времени, как и лоренцево

таться одинаковой во всех системах отсчета. В этих случаях можно считать, что время едино для всех систем отсчета, т. е. что оно абсолютно, как считал Ньютон. А поскольку условие і) < с часто удовлетворяется ', то понятно, почему представление Ньютона об абсолютном времени господствовало в физике в течение двух с лишним веков. В наше время формула (2.11) получила прямое подтверждение. В микромире известна частица ц-мезон (или мюон). Это нестабильная частица. Среднее время жизни ее в «соб­ ственной» системе отсчета равно примерно 2- ІО-6 сек.

На опыте замечено, что в земной атмосфере мюоны за время жизни проходят расстояния до нескольких километров. Если бы время жизни частицы по отношению к «лабораторной» системе отсчета (неподвижной относительно лаборатории) было равно

52

сительно лаборатории проходит расстояние, в несколько раз боль­ шее. Это можно объяснить тем, что частица относительно лабора­ тории живет в несколько раз дольше, чем относительно «своей» системы отсчета, в которой она неподвижна. Количественное рас­ смотрение этого вопроса приводит к хорошему согласию с фор­ мулой (2.11).

§ 5. ПАРАДОКС БЛИЗНЕЦОВ

Живой интерес учащихся вызывает так называемый парадокс близнецов, связанный с относительностью промежутков времени в СТО. Суть его в следующем.

ческое путешествие с большой скоростью, т. е. близкой к с. Каж- > дый из братьев отсчитывает время по своим часам: космонавт — по часам корабля (At'), землянин — по земным часам (АОПред­ ставим далее, что космонавт вернулся на Землю и встретился со своим братом. Взглянув на брата, космонавт воскликнет: «Как ты постарел!» Если братья захотят выяснить, сколько времени дли­ лось путешествие, то установят, что по часам космонавта оно дли­ лось, например, 3 года, а по земным часам — целых 10 лет: ведь согласно (2.11) движущиеся часы космонавта отмечают меньшее время, чем «неподвижные» часы на Земле, т. е. «движущиеся часы отстают». Итак, космонавт «помолодел» на 7 лет. Он окажется моложе своего брата-блпзнеца. Взяв скорость достаточно боль­ шой, можно в принципе получить, что при At' = 30 годам At со­ ставит 1000 лет, и космонавт, вернувшись на Землю, окажется в далеком будущем своего поколения, оставшегося на Земле.

Сразу отметим, что подобное путешествие в будущее других людей, а не в свое собственное будущее, не противоречит теории относительности и не является парадоксальным. Теория относи­ тельности, наоборот, показывает, как этого достичь: чтобы At было значительно больше At', нужны скорости, близкие к скорости света в вакууме. Но это, как говорится, дело техники, в принципе же СТО не запрещает космическим кораблям двигаться с подобными скоростями. Ведь нельзя согласно СТО двигаться со скоростью, большей с. С любой же скоростью, меньшей с, двигаться можно. Действительный парадокс близнецов состоит в следующем. Со­ гласно СТО, да и не только СТО, но и ньютоновской механике, можно высказать два следующих физически равноправных утвер­ ждения: 1) космонавт движется, землянин неподвижен; 2) космо­ навт неподвижен, а землянин движется относительно него с той же скоростью, но в противоположном направлении. Согласно СТО «молодеет» движущийся наблюдатель, и получается действительно парадоксальная ситуация: с одной стороны, космонавт должен быть моложе землянина, а с другой — землянин моложе космо­ навта.

53

Этот парадокс разрешается следующим образом. Выводы СТО, в том числе и формула (2.11), относятся только к инерциальным системам отсчета, т. е. к системам, движущимся все время равно­ мерно и прямолинейно друг относительно друга. Два брата, на­ ходящиеся в различных инерциальных системах, могут встретиться «с глазу на глаз» только один раз, пролетая один мимо другого; затем они навсегда разойдутся. Чтобы братья смогли снова встре­ титься, один из них, а именно космонавт, должен -повернуть об­ ратно. Это неизбежно вызовет необходимость ускоренного движе­ ния корабля: чтобы повернуть назад, надо сообщить кораблю ус­ корение, направленное тоже назад. Однако корабль, движущийся с ускорением, уже не является инерциальной системой (см. гла­ ву 5), п к данному случаю неприменимы выводы специальной теори относительности. Ускоренно движущаяся система отсчета (ко­ рабль) уже не является физически равноправной с системой, не имеющей ускорения (с Землей). Согласно общей теории относи­ тельности в системе отсчета, движущейся с ускорением, время те­ чет медленнее. Поэтому останется молодым именно космонавт, так как из двух братьев только он движется с ускорением.

Правда, практически остаться молодым’таким образом очень трудно: чтобы приобрести скорость, близкую к с, нужно долго раз­ гоняться при старте, гасить и снова набирать большую скорость при повороте назад и, наконец, снова гасить ее при посадке на

. Земле.

§ 6. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ОДНОВРЕМЕННОСТИ

Представим себе поезд, равномерно проходящий мимо плат­ формы со скоростью и относительно нее Пусть в середине од­ ного из вагонов вспыхнула лампочка. Рассматриваются два со­ бытия: достижения светом передней и задней стенок вагона. Эти события относятся к двум системам отсчета: «неподвижной» К (платформа) и «движущейся» /(' (вагон). Выясним, одновременно, ли свет достигнет передней (по ходу поезда) и задней стенок вагона.

Попытаемся ответить на этот вопрос сначала качественно, без расчетов, а затем и количественно. Рассмотрим эти события по­ очередно в обеих системах отсчета.

В движущейся системе К' луч света должен пройти одинаковые расстояния (половину длины вагона) в противоположных направ­ лениях. Но скорость света по всем направлениям одинакова, и, следовательно, свет будет идти до передней и задней стенок одно и то же время. Таким образом, в системе «вагон» свет достигнет обеих стенок одновременно.

В неподвижной системе К источник света движется. Но со-1

1 Это так называемый «поезд Эйнштейна», с помощью которого создатель СТО популярно разъяснял различные выводы своей теории.

54

X

Рис. 9.

гласно второму постулату Эйнштейна скорость света не зависит от движения источника. Следовательно, в системе К скорость света тоже равна с, как и в К'. Но в системе К передняя стенка вагона «убегает» от света вследствие движения вагона, а задняя движется навстречу свету. Поэтому свет достигнет передней стенки позже, чем задней. В системе К, таким образом, рассматриваемые собы­ тия не являются одновременными.

Рассмотренный пример иллюстрирует утверждение СТО о том, что одновременность двух событий 1 — понятие относительное: оно зависит от системы отсчета. События, одновременные в одной си­ стеме отсчета, могут быть неодновременными в другой.

Этот вывод, к тому же с количественной оценкой, автоматиче­ ски вытекает из преобразований Лоренца.

На рисунке 9 5 — источник света, А и В — точки, стенок ва­ гона, которых достигает свет. В системе К' по условию задачи

стенки свет достигает в более поздний момент времени, чем задней. Как видно из (2.12), Ь Ф t\ только при условии, что х'2 ф х 'и т. е. если события происходят в разных точках пространства, или,

одноместные события, одновременные в одной системе отсчета, будут одновременными и в любой другой системе.

1 Имеются в виду разноместные события, т. е. события, происходящие в разных точках пространства (см. ниже).

55

Как и ранее рассмотренные релятивистские эффекты, относи­ тельность одновременности практически проявляется только при скоростях, сравнимых со скоростью света. При в < с согласно (2.12) одновременность будет всеобщей, или абсолютной, как при­ нималось в ньютоновской механике.

Оба рассмотренных релятивистских эффекта — замедление времени и относительность одновременности — являются частными

«неподвижной» системе отсчета между двумя событиями, коорди­ наты которых в «движущейся» системе равны х'2, t'2 и х'\, і\.

Положив в (2.13) х'о — х'і, получим формулу (2.11) для реля­ тивистского замедления времени. В случае же t'2 — t’\ получим формулу (2.12), характеризующую относительность одновременно­ сти разноместных событий.

§ 7. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СКОРОСТЕЙ

Галилеев закон сложения скоростей (1.4') не может быть спра­ ведлив в СТО, так как согласно ему скорость света различна в разных системах отсчета, а это противоречит второму постулату Эйнштейна. Получим релятивистский закон сложения скоростей, исходя из преобразований Лоренца.

Как обычно, движение одной и той же материальной точки рассматривается относительно двух систем отсчета: «неподвиж­ ной» К и «движущейся» относительно нее со скоростью ѵ си­ стемы К'. Скорость V считаем направленной вдоль осей абсцисс обеих систем. Пусть координаты движущейся точки в два доста­ точно близких момента времени в системах К и К' равны соот­

ветственно: Х и ti, Х% t2, х'и t'ь х'2, і'2.

Скорости точки и и и' в системах К и К' будут равны соответ­ ственно ’:

1 Строго говоря, вместо конечных приращений координат и времени сле­ дует брать бесконечно малые и заменить отношения конечных приращений

не будем применять более сложный аппарат высшей математики, хотя он — язык современной физики.

56

через штрихованные величины, исходя из преобразований Лоренца (2.5) и (2.7):

( x 'z — х'і) -j-ü (t'z — t' і)

Разделив первое равенство почленно на второе, получим искомое соотношение:

c*

Это и есть релятивистский закон сложения скоростей для данного частного случая — движения вдоль осей абсцисс '. Из него можно получить ряд важных следствий.

Она отличается от (2.15) только изменением знака у скорости ѵ. Это обусловлено тем, что системы К и К' физически равноправны, а факт движения систем К я К' друг относительно друга можно сформулировать двумя эквивалентными выражениями: система К' движется относительно К в положительном направлении оси Ох

1 Это, собственно, закон не сложения, а преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой (см. ниже).

57

ростыо, то и в любой другой системе отсчета его скорость не может превысить и даже достичь скорости света.

3. Если и' = с, то и и — с: скорость света одинакова в различ­ ных системах отсчета. Это есть второй постулат Эйнштейна. Но не следует думать, что мы вывели его из (2.15). Ведь закон пре­ образования скоростей (2.15) сам получен из преобразований Лоренца, при выводе которых был использован второй постулат Эйнштейна.

Формула (2.15) относится к тому частному случаю, когда ско­ рость тела параллельна скорости относительного движения систем отсчета К и К'. В этом случае вектор скорости точки имеет лишь одну компоненту — по оси абсцисс: их в системе К и и'х в К'. Преобразование (2.15) относится именно к этой компоненте:

Вобщем случае вектор скорости может иметь три компоненты

—составляющие по осям X, Y, Z системы К (их, иу, иг) и по осям

X, Y, Z системы К' (и'х, и'у, u'z). При этом

Аналогично тому, как была получена формула (2.15), можно

получить следующие формулы преобразования других компонент скорости:

Формулы (2.16) и (2.16') решают вопрос о преобразовании скорости точки от одной системы отсчета к другой. Как видим, компонента их, с одной стороны, и компоненты иѵ и uz> с другой стороны, преобразуются различным образом. Это затрудняет пред­ ставление трех формул (2.16) и (2.16') в виде одного векторного соотношения, играющего в СТО такую же роль, как и закон сло­ жения скоростей Галилея (ІА"') в ньютоновой механике. Тем не менее в СТО такое векторное соотношение имеется. И выводится оно для совсем общего случая: когда не только скорость точки, но и относительная скорость систем отсчета имеет тоже три компо­ ненты. Соотношение имеет вид:

58

Здесь и и и' — векторы скорости точки соответственно в систе-

жения» скоростей и' и ѵ: это закон преобразования скорости од­ ного и того же тела от одной системы, отсчета (К') к другой (/().

О«сложении скоростей» в СТО не говорят; речь в ней идет именно

опреобразовании скорости при переходе от одной системы отсчета

к другой.

работа силы: она равна скалярному произведению вектора силы F и вектора

перемещения s:

А = Д • s = Fs cos(F, s) ^ F ss.

( = означает: тождественно равно).

59