книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

что только единственные часы системы К' — часы, находящиеся в начале координат «движущейся» системы отсчета. Дальше оста­

одного и того же события в разных системах отсчета решается преобразованиями Лоренца, к рассмотрению которых мы пере­

ходим.

§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Пусть в некоторой точке пространства в некоторый момент времени свершилось некоторое событие, например вспыхнул свет. В СТО всякое событие характеризуется четырьмя координатами: тремя пространственными х, у, г и четвертой — врейеипбй t. Для того чтобы найти координаты события, нужно прежде всего вы­ брать систему отсчета и в ней — систему координат. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью ѵ. В каждой системе отсчета введем декартову систему координат, причем для упрощения задачи оси абсцисс обеих систем направим параллельно скорости относительного дви­ жения систем отсчета. Более того, совместим оси абсцисс обеих систем, а другие оси возьмем попарно параллельными. Таким об­ разом рассматриваются две взаимно параллельные системы коор­ динат, движущиеся одна относительно другой вдоль общего на­ правления оси абсцисс. Какую из систем считать условно непод­ вижной, а какую — движущейся, конечно, совершенно безраз­ лично. Одну из систем, назовем ее системой К, будем считать неподвижной, а другую систему — К' — движущейся. Пусть си­ стема К' движется относительно К слева направо, т. е. в положи­ тельном направлении оси X системы К. Проекция скорости системы К' на ось X и системы К будет положительна: ѵх — ѵ > 0. Если же неподвижной считать систему К', а движущейся ■— систему К, то проекция скорости системы К на ось X' будет отрицательной,

роста систем отсчета. Как мы увидим, выводы, которые будут по­ лучены в дальнейшем, непременно соответствуют этому условию. ■Величины, относящиеся к «штрихованной» системе К', в даль­ нейшем будем . снабжать штрихами. Некоторое событие имеет координаты X, у, z, t в системе К и координаты x', y', z’, t' в системе К'. Требуется найти соотношение между координатами штрихованными и нештрихованными, основываясь на двух посту­ латах Эйнштейна. Другими словами, зная координаты некоторого события в одной системе отсчета, требуется найти координаты этого же события в другой системе отсчета.

40

Пусть в момент времени, когда обе системы координат совпа­ дали, в их общем начале координат вспыхнул свет. Счет времени будем вести от момента начала вспышки. В качестве события, ко­ ординаты которого мы хотим сравнить в двух системах отсчета, рассмотрим достижение светом некоторой точки пространства.

Найдем прежде всего соотношение между абсциссами х и х' этой точки. Вспышка произошла в начале координат как непод­ вижной, так и движущейся системы. Согласно второму постулату Эйнштейна, свет распространяется с одной и той же скоростью с как в системе К, так и в системе К'. Поэтому для координат точки, до которой дошел свет, будут справедливы следующие соотноше­ ния, выражающие закон равномерного движения света в обеих системах:

Полученного соотношения, однако, мало для нахождения связи между X и х'. Поэтому поступим следующим образом.

Попытаемся получить релятивистские преобразования из гали­ леевых преобразований, изменив их надлежащим образом. Именно будем искать релятивистские преобразования в виде:

а) прямые преобразования:

Здесь а и а' — безразмерные коэффициенты пропорционально­ сти, которые нужно найти.

Во-первых, используем то обстоятельство, что этн коэффици­ енты одинаковы: а' — а. Действительно, обе системы отсчета рав­ ноправны (первый постулат Эйнштейна), поэтому переход от одной системы отсчета к другой в преобразованиях координат должен сопровождаться, кроме замены штрихованных величин нештрихо­ ванными, только изменением знака скорости системы координат, о чем говорилось ранее. Временные координаты в разных систе­ мах мы обозначили по-разному, так как время одного и того же события в разных системах отсчета согласно СТО оказывается различным.

Перемножив почленно равенства (2.1) и (2.2), получим:

x x '= c ztt'— a2(x — vt) (x'-\-vt').

Подставим X и x' из (2.1) в правую часть произведения:

c2tt'— a?(c - v ) t - (с+и) t'.

Отсюда найдем искомый коэффициент а:

41

•V

Подставив найденное значение а в (2.2) и (2.2'), получим иско­ мые формулы преобразования координат в СТО:

J X— vt

(2.4)

y i - ß 2

x'-\-vt'

(2.5)

y i - ß 2

Оказывается, что в теории относительности преобразуются не только пространственные координаты, но и время. Подставив в (2.5) выражение для х' из (2.4) и произведя простые алгебраиче­ ские выкладки, получим:

( 2. 6)

y i - ß 2

Аналогично, исходя из (2.4) и подставив в него величину х из (2.5), получим:

(2.7)

Y i - ß 2

Вдоль осей ординат и аппликат скорость относительного дви­ жения систем отсчета равна нулю. Кроме того, мы выбрали систе­ мы координат так, что их оси абсцисс совпадают, а осп ординат и аппликат соответственно параллельны. В этом частном случае ордината и аппликата некоторой точки будет иметь соответственно одинаковые значения во всех системах отсчета:

преобразования координат и времени, играющие очень большую роль в СТО.

Преобразования Лоренца в виде (2.4) — (2.8) иногда называ­ ются частными преобразованиями Лоренца. Этим отмечается то обстоятельство, что они получены для частного случая относитель­ ного движения инерциальных систем отсчета: относительная ско­ рость систем имеет только одну компоненту — вдоль осп абсцисс. Общим является случай, когда относительная скорость систем от­ счета имеет составляющие по всем трем осям: vx, ѵ у , vz. Однако этот общий случай, не внося ничего принципиально нового, сильно усложняет математическую сторону рассмотрения вопросов. Мы ограничимся частными преобразованиями Лоренца.

42

Отметим некоторые особенности этих преобразований.

1.Преобразования Лоренца — это преобразования не только координат, но и времени. Время при переходе от одной системы отсчета к другой преобразуется подобно пространственной коор­ динате. Время в СТО играет роль четвертой координаты события наряду с тремя пространственными координатами. В преобразова­ ниях Лоренца пространственные координаты и время тесно пере­ плетены II время невозможно отделить от пространственных коор­ динат. В ньютоновской механике пространство существует само по себе, независимо от времени, а время — само по себе, независимо от пространства. В механике Ньютона пространство и время — это два независимых многообразия: трехмерное пространство и одномерное время, которые сосуществуют независимо друг от друга.

ВСТО пространство и время представляют собой единое мно­ гообразие; оно называется пространством-временем. Это четырех­ мерное многообразие, причем его принципиально нельзя разбить на два независимых многообразия: на трехмерное координатное пространство и одномерное время. Это обстоятельство дало воз­ можность одному из университетских учителей Эйнштейна — Гер­ ману Минковскому — изложить теорию относительности как четы­ рехмерную теорию, в которой, в частности, все векторы имеют не по три, а по четыре компоненты.

2.Формулы преобразования для штрихованных величин отли­ чаются от формул для нештрихованных величин только знаком скорости.

Это соответствует физическому равноправию обеих систем от­ счета согласно первому постулату Эйнштейна. Аналогичность фор­ мул прямых и обратных преобразований облегчает их запоминание.

3.Перейдя в формулах Лоренца к пределу ß->-0, получим формулы преобразований Галилея:

являются частным случаем преобразований Лоренца при скоро­

знаменатель в формулах (2.4—2.7) обращается в нуль. Это озна­ чает, что СТО запрещает использование систем отсчета, движу­ щихся со скоростью света. Другими словами, в СТО систему от­ счета нельзя связать со световым лучом. Таково ограничение, нажладываемое в СТО на выбор инерциальных систем отсчета.

Из условия, что при V — с формулы преобразований Лоренца теряют смысл, еще не следует, что скорость света в вакууме — предельная скорость движения частиц. Этот вывод, как увидим ниже, вытекает из других результатов СТО.

43

Рассмотрим некоторые кинематические следствия из преобразо­ ваний Лоренца, предусмотренные новой программой по физике средней школы.

ных системах отсчета К и К', которые выберем следующим обра­ зом. Пусть система К неподвижна относительно стержня, а систе­ ма К' движется относительно него со скоростью ѵ. Пусть эта ско­ рость параллельна стержню. Тогда можно пользоваться частными преобразованиями Лоренца. Задача, состоит в сравнении длин од­ ного и того же стержня в «неподвижной» (К) и «движущейся» (К' ) системах отсчета.

В ньютоновской механике такая задача не ставится: в ней длина стержня является величиной, одинаковой во всех инерциаль­ ных системах отсчета, поскольку геометрия пространства прини­ мается евклидовой. А в евклидовом пространстве длина отрезка, т. е. расстояние между двумя точками, не зависит от выбора системы координат, т. е. является величиной, инвариантной отно­ сительно преобразований координат. В СТО же дело обстоит иначе.

Выберем в К и К' декартовы системы координат, причем их

оси абсцисс Ох и Ох' направим параллельно стержню и скорости ѵ. Измерение длины стержня в «неподвижной» системе К не пред­ ставляет труда. Она равна разности абсцисс конца и начала

стержня:

1= х2— Хі.

В движущейся системе К' длина этого же стержня выражается аналогичным образом:

Ѵ= х’г — х \.

Здесь координаты х2 и х\ концов стержня в системе К' следует взять для одного и того же момента времени этой системы, т. е. при

и = и .

В ньютоновской механи­ ке координаты точек связа­ ны преобразованиями Гали­ лея:

х '— х — vt.

44

Написав это соотношение для концов стержня в К' и К:

x'2= x 2 — vt'2,

х'і = Х і — at'1

ивычтя почленно одно равенство из другого, получим:

х'г — х'і = (х2— Хі) — ѵ (l'г— 1'i).

Поскольку при измерении длины стержня в К' следует положить l2 = t\, то получим:

х'2 — х'1— х2— Хі, т. е. І'=1.

Так обосновывается утверждение об инвариантности длины в нью­ тоновской механике.

Для рассмотрения этого вопроса в СТО найдем х2 и .ѵ/ из (2.5):

х'2= х 2У1 — ß12 — vt'2,

х'1= х 1]/1 — ßz— ut'1 .

Положив в этих соотношениях t2 = t\, получим:

Х'з — х 'і= (х2 — Хі) уі — ß2,

т. е.

Формула (2.10) характеризует релятивистское, или лоренцево сокращение длины: длина стержня I' в той системе отсчета, отно­ сительно которой он движется, меньше, чем длина его I в той си­ стеме отсчета, относительно которой он покоится.

Длина стержня, т. е. расстояние между двумя взаимно непод­ вижными точками пространства, в СТО является величиной отно­ сительной: один и тот же стержень имеет разные длины в различ­ ных системах отсчета. Нет длины стержня «самой по себе», а есть длина стержня в выбранной системе отсчета. Один и тот же стер­ жень имеет сколько угодно длин, в зависимости от системы от­ счета, и бессмысленно спрашивать, какова же «настоящая» длина стержня: все длины «настоящие».

В СТО вводится так называемая «собственная» длина; так на­ зывается длина стержня в той системе отсчета К, в которой он покоится. Собственная длина стержня является наибольшей по сравнению с его длиной в любых инерциальных системах, движу­ щихся относительно системы К-

45

Релятивистское сокращение длины имеет место только в на­ правлении скорости; размеры же тела, перпендикулярные скоро­ сти, при этом не изменяются. Так, если в неподвижной системе отсчета К тело будет иметь форму куба, то в движущейся системе К' это же тело будет иметь форму параллелепипеда, так как сто­ рона куба, параллельная скорости системы или тела, претер­ пит лоренцево сокращение. Объем тела вследствие лоренцева со­ кращения длины будет тоже различным в разных системах от­ счета.

Лоренцево сокращение длины взаимно: если стержень в систе­ ме К, неподвижной относительно него; имеет длину, например, 1 м, а в движущейся относительно него системе К' согласно (2.10) дли­ ну, допустим, 99 см, то справедливо и обратное: если неподвижный относительно К' стержень имеет в ней длину 1 м, то в системе К, движущейся относительно стержня, он будет иметь длину 99 см. Обе системы равноправны в соответствии с первым постулатом Эйнштейна.

Лоренцево сокращение длины, как, впрочем, и все другие реля­ тивистские эффекты, имеет заметную величину только при скоро­

ковой во всех системах отсчета, как это имеет место в ньютонов­ ской механике.

Иногда в популярной литературе релятивистское сокращение длины называется кажущимся. Даже если за этим следует разъяс­ нение, у читателя создается неверное представление, что не сам стержень AB в системе К' короче, чем в системе К, а наблюда­ телю, находящемуся в К', это так кажется, а сам же стержень своей длины не меняет. Такая туманная формулировка неверна и в корне чужда самой теории относительности с ее четкими форму­ лировками.

Длина оказывается различной в разных систем'ах отсчета. И это не кажется кому-то, а есть на самом деле. Длина стержня — относительная величина, и поэтому сама постановка вопроса об «истинной» длине стержня не имеет смысла. Также не имеет смыс­ ла вопрос: по какой причине или под действием чего стержень из­ менил свою длину? В 90-х годах прошлого века Г. А. Лоренц и независимо от него шотландский физик Фитцджеральд впервые ввели в физику представление о сокращении продольных размеров

яснения некоторых опытных фактов, например отрицательного ре­ зультата опыта Майкельсона. Поэтому релятивистское уменьшение длины в движущейся системе отсчета по сравнению с неподвиж­ ной, выражаемое формулой (2.10), и в теории относительности ча­ сто называется лоренцевым.

Реже его называют фитцджеральдовым или лоренц-фптцдже- ральдовым сокращением.

46

Сам Лоренц, стоя, естественно, на позициях ньютоновской фи­ зики, пытался найти динамическую причину сокращения длины. Он думал, что в движущемся теле возникают дополнительные силы, которые вызывают сокращение длины.

Следует иметь в виду, что это исторически сохранившееся на­ звание «лоренцево сокращение длины» для СТО является неудач­ ным: оно поневоле заставляет представлять себе процесс сокра­ щения длины как процесс деформации сжатия, которого в дейст­ вительности как раз и нет. Название «сокращение длины» приве­ дено нами потому, что оно еще, к сожалению, довольно широко распространено.

длины, как, впрочем, и других релятивистских эффектов, объяс­ няется еще и тем, что в школьном курсе физики хотя и провозгла­ шается, но по существу не используется следующая очень важная идея.

Пусть имеются два тела (К' и К'), движущиеся равномерно и прямолинейно. Выберем системы отсчета, жестко связанные с соответствующим телом (системы К и К'). Важно внушить уча- . щпмся, что физически совершенно равноправны, совершенно экви­ валентны друг другу следующие два утверждения: 1) тело (си­ стема) К неподвижно, а тело К' движется относительно него со скоростью 5 м/сек слева направо; 2) тело (система отсчета) К' неподвижно, а тело К движется относительно него с такой же по величине скоростью (5 м/сек), но направленной справа налево (относительно К'). Равноправие обоих утверждений не встречает возражений, если под системами отсчета К и К' подразумевать некие абстрактные тела. Но если под системой отсчета К пони­ мать поверхность Земли или берег реки, а под системой отсчета К' — поезд или пароход, то часто считают, что в действительности движется поезд относительно Земли, а не Земля относительно поезда.'

«Обосновывают» это тем, что двигатель-то работает все-таки у поезда, а не у Земли.

На самом деле не имеет никакого значения то, что для практи­ ческого осуществления равномерного относительного движения Земли и поезда одно из тел приходится снабдить двигателем. Со­ вершенно безразлично, какое из этих тел считать неподвижным, а какое — движущимся относительно него. С каждым из этих тел можно жестко связать систему отсчета, и обе эти системы отсчета будут совершенно равноправными.

Иногда сокращение длины формулируется следующим образом: относительно одной и той же системы отсчета (Земля) движу­ щийся стержень имеет меньшую длину по сравнению с той, какую имел этот же стержень, когда он был неподвижен в этой системе отсчета. При 'этом не учитывается вторая возможность — считать движущейся систему отсчета, а не тело.

47

Теория относительности использует обе возможности, и сокра­ щение длины формулируется двояким образом, причем обе форму­ лировки физически совершенно равноправны. В данной системе отсчета один и тот же стержень имеет разные длины в зависимости от его скорости, длина движущегося стержня меньше, чем непо­ движного.

Здесь система отсчета считается неподвижной, а стержень —• движущимся.

Один и тот же стержень имеет разные длины в различных си­ стемах отсчета в зависимости от скорости системы отсчета: длина стержня меньше в той системе отсчета, которая быстрее движется относительно данного стержня.

Теперь неподвижным считается стержень, а система отсчета — движущейся относительно него. Обе формулировки совершенно равноценны: двумя способами выражается одно и то же — отно­ сительность длины.

Для теории относительности характерно признание этого равно­ правия и бессмысленность попыток обнаружить их различный фи­ зический смысл. Равноправие обоих утверждений может быть под­ вергнуто сомнению по следующим соображениям. В первом случае сравниваются разные состояния стержня — неподвижного и дви­ жущегося, и в процессе приобретения скорости (ускорения) со стержнем может что-то произойти, что приведет к укорочению стержня. Во втором же случае одно и то же состояние стержня относится к различным системам отсчета, и странным образом длина одного и того же стержня оказывается различной в разных системах отсчета. Однако суть дела в том, что равномерное движе­ ние стержня не производит в самом стержне никаких изменений: это следует из того, что покой и равномерное движение — физи­ чески неразличимые состояния. Равномерно движущийся и непо­ движный стержень — это два физически совершенно одинаковых состояния его.

Длина же стержня изменяется не потому, что со стержнем что-то происходит, а потому, что количественная мера длины тела относительна; она зависит от системы отсчета.

§ 4. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ЗАМЕДЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ. ОТНОСИТЕЛЬ­ НОСТЬ ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ В СТО

Пусть в некоторой точке пространства произошел* какой-то процесс. Сравним длительности этого процесса в двух инерциаль­ ных системах отсчета, которые выберем следующим образом. Одну систему отсчета (К) будем условно считать «неподвижной». В об­ щем случае лампочка относительно нее движется с некоторой ско­ ростью V. Другую систему отсчета (К' ) выберем так, чтобы лам­ почка была неподвижна относительно нее. Система К', следова­ тельно, вместе с лампочкой движется относительно К. Назовем поэтому условно систему отсчета К' «движущейся».

48

Системы координат в К и К' выберем, как обычно, так, чтобы их относительное движение происходило вдоль оси абсцисс каждой системы, с тем чтобы можно было воспользоваться полученными ранее частными преобразованиями Лоренца. Надо сравнить дли­ тельности одного и того же процесса в двух системах отсчета: «неподвижной» К и «движущейся» К'.

Длительность процесса — это «расстояние» во времени между моментами начала и окончания процесса *. Обозначим временные координаты моментов начала и конца процесса в системах К и К' соответственно через /і и t\, t2 и U . Тогда длительность процесса в «движущейся» системе К' для одного и того же места системы К' (х' = const) выразится так:

At' — t'2— t'i.

Длительность этого же процесса в «неподвижной» системе К при х' — const (в системе К абсцисса места процесса, очевидно, непрерывно изменяется вследствие движения К' относительно К) составляет At = t2— t\.

Из равенства (2.7), положив х2 = Х\ , получим:

*2 — * і = ^ = = г , y i - ß 2

или

y i - ß 2

Это значит, что длительность одного и того же процесса отно­ сительна: она различна в разных системах отсчета. Как видно из

той системе отсчета, которая неподвижна относительно точки, в которой происходит этот процесс (так называемая собственная система отсчета), по сравнению с длительностью этого же про­ цесса в системе отсчета, которая движется относительно точки, в которой происходит процесс. Поясним, что это значит.

Пусть в двух инерциальных системах отсчета имеются двое одинаково точно идущих часов. Если в каждую из систем отсчета

\поместить одинаковые песочные часы, неподвижные относительно «своей» системы отсчета, то каждые из песочных часов будут рабо­ тать одинаково долго, например 5 мин, по часам собственной си­ стемы отсчета. Это очевидно, так как одинаковые песочные часы — это один из типов одинаковых и одинаково точно идущих часов.

Для конкретности здесь говорится о промежутке времени между началом и концом процесса. Это частный случай, В общем случае следует иметь в виду промежуток времени между любыми двумя событиями.