книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

магнитного полей, сила, действующая на электрический заряд, движущийся в магнитном поле, и др. (Относительность электриче­ ских и магнитный величин рассмотрена в главе 6.)

Формулировки физических законов, очевидно, не должны за­ висеть от выбора системы отсчета, они должны удовлетворять, как говорят, принципу геометрической инвариантности.

Следует, однако, выяснить, относительно каких систем отсчета имеет место геометрическая инвариантность. Дело в том, что все системы отсчета разделяются на две группы: инерциальные и не­ инерциальные системы отсчета. Инерциальные системы отсчета — это такие системы, в которых выполняется принцип инерции Гали­ лея—Ньютона. Собственно, значение принципа инерции и состоит в том, что он определяет совокупность систем отсчета, в которых справедливы законы ньютоновской механики, —■ инерциальные системы отсчета. К сожалению, довольно часто умаляют роль принципа инерции, объявляя его следствием из второго закона Ньютона; при отсутствии ускорения скорость тела согласно вто­ рому закону Ньютона будет постоянной, а это якобы и есть прин­ цип инерции. Однако при этом забывается, что принцип инерции опредёляет системы отсчета, в которых только и справедлив сам второй закон Ньютона; он имеет место только в инерциальных си­ стемах отсчета. Но далеко не всякая система отсчета является инер­ циальной. Например, наша Земля, которая обычно выбирается в качестве системы отсчета, инерциальной системой, строго говоря, не является. Дело в том, что в системе отсчета, связанной с Зем­ лей, не выполняется принцип инерции: свободное тело, т. е. тело, на которое не действуют внешние силы, относительно вращающейся Земли не покоится и не движется равномерно и прямолинейно, а движется по кривой линии, т. е. с ускорением. Причина иеинерциальности системы отсчета «Земля» в ее вращении, т. е. в ее дви­ жении с ускорением.

Это общее правило: неннерциальными являются те системы от­ счета, которые движутся с ускорением относительно инерциальных систем отсчета.

Об инерциальных системах можно сказать следующее: если известна хотя бы одна инерциальная система, то инерциальной же системой отсчета будет и любая другая, движущаяся относи­ тельно первой равномерно и прямолинейно.

Однако строго инерциальную систему отсчета указать довольно трудно.

С хорошим приближением такой системой отсчета является так называемая гелиоцентрическая система отсчета: это система, свя­ занная с центром масс солнечной системы и «неподвижными» звездами.

Начало координат выбирается в центре масс солнечной си­ стемы, а три взаимно перпендикулярные оси координат проходят через соответствующие три звезды.

10

В ньютоновской механике неинерциальные системы отсчета яв­ ляются предметом специального рассмотрения. Ввиду принципи­ альной важности вопроса о неинерциальных системах отсчета он будет рассмотрен отдельно (см. гл. 5).

§ 3. ИНВАРИАНТНОСТЬ ВТОРОГО ЗАКОНА НЬЮТОНА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГАЛИЛЕЯ

Если в системе тел происходит механическое движение, то гово­ рят, что механическое состояние системы изменяется с течением времени. Само же механическое состояние системы характеризу­ ется заданием координат и импульсов (или скоростей) всех тел системы. Механическое движение — это, следовательно, изменение механического состояния, состоящее во взаимном перемещении тел или их частей друг относительно друга, в некоторой системе от­ счета.

Законы механики — это законы, по которым изменяется механическое состояние системы. Простейшая механическая си­ стема — это одна частица или материальная точка. Поэтому изучение механики начинается с механики материальной точки.

Основной закон механики точки должен устанавливать, как из­ меняются координаты точки и скорость ее движения в любой мо­ мент времени.

Второй закон Ньютона позволяет решить обе эти задачи: непо­ средственно с его помощью можно найти ускорение точки, т. е. быстроту изменения ее скорости. По известному ускорению и на­ чальным условиям, т. е. координатам и скоростям в начальный момент времени, можно, пользуясь вторым законом Ньютона, одно­ значно найти скорость и координаты для любого момента времени, т. е. решить механическую задачу.

. В качестве примера такого решения задачи механики ниже рассмотрена простая задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту.

В ньютоновской механике справедлив механический принцип относительности, или, как его еще называют, принцип относитель­ ности Галилея—Ньютона.

Он состоит в том, что законы механики одинаковы во всех инер­ циальных системах отсчета. Второй закон Ньютона является (Ос­ новным законом механики, и, следовательно, он должен одинаково формулироваться во всех инерциальных системах отсчета. При этом величины, связь между которыми устанавливается данным законом, следует относить к одной и той же системе отсчета. Фор­ мулировка второго закона Ньютона одинакова во всех инерциаль­ ных системах отсчета, она, как говорят, инвариантна, т. е. неза­ висима от выбора инерциальной системы отсчета. Из этого, од­ нако, не следует, что и величины, входящие в данный закон, будут одинаковыми во всех системах отсчета, т. е. инвариантными. Это отнюдь не обязательно.

11

Инвариантность формулировки физического закона не требует инвариантности величин, входящих в эту формулировку, словесную или математическую. Так что, вообще говоря, каждая из величин

(/и, а, F), входящих во второй закон Ньютона, может иметь раз­ личные числовые значения в разных системах отсчета (конечно, при единой системе единиц). И если в формуле

ma = F

величины т, а, F относить к одной из инерциальных систем от­ счета, то в другой инерциальной системе отсчета этот же закон должен быть записан в общем случае в виде

m 'a'— F',

причем величины m', a', F' отнесены к другой (штрихованной) системе отсчета.

можно было использовать в любой из равноправных инерциальных систем отсчета, следует знать числовые значения всех величии, входящих в закон, во всех системах отсчета. Для этого нужно

знать: 1) значения величин m ,a,F в какой-нибудь одной системе отсчета, 2) правила или формулы пересчета величины из одной системы отсчета в другую, которые называются формулами преоб­ разования.

Пересчет значений величин из одной системы отсчета в другую систему отсчета может потребовать в некоторых случаях громозд­ ких расчетов, но это трудности расчетного, а не принципиального характера.

В частном случае может оказаться, что штрихованные значе­ ния величин равны нештрихованным, т. е. что велйчины, связь между которыми выражает данный закон, являются инвариант­ ными. Тогда задача, конечно, упрощается.

12

Решим теперь конкретную задачу. Если формулировка та — F закона Ньютона одинакова во всех инерциальных системах от­ счета, то как в ньютоновской механике преобразуются масса, уско­ рение и сила при переходе от одной системы отсчета к другой? Начнем с массы.

Ньютоновская механика постулирует инвариантность массы, ее независимость от системы отсчета:

т '= т .

Во времена Ньютона и еще долго после него не было извест­ но опытов, в которых проявлялось бы непостоянство массы; такие опыты появились только в начале нашего века. В опытах Кауф­ мана была обнаружена зависимость удельного заряда электрона

е

—

возрастания массы электрона со скоростью. Иначе обстоит дело с ускорением.

Считая ускорение для простоты постоянным, напишем выраже­ ние для него в нештрихованной системе отсчета К'

-* ІІ2— Ui

где по и U\ — скорости тела в системе К в моменты времени со­ ответственно t2 и U по часам системы К.

Для этого же тела, но относительно «штрихованной» инерци­ альной системы отсчета К' выражение для ускорения запишется так:

t , и 'г ^ и 'і

а — А/ it >

I 2— Гі

где и'2 и и'I — скорости рассматриваемого тела относительно си­ стемы отсчета К' в моменты времени Ѵ2 и t\ по часам системы отсчета К'.

Чтобы узнать, как выражается а' через а, нужно знать, как связаны между собой скорости и промежутки времени в системах

Ки К'.

Вньютоновской механике.постулируется, что промежутки вре­

мени между двумя событиями одинаковы во всех инерциальных системах отсчета:

Это утверждение является следствием представления Ньютона об абсолютном характере времени, о èro одинаковости во всех си­ стемах отсчета.

Соотношение между скоростями и' и и данного тела в различных

[3

Пусть для простоты относительное движение систем отсчета про­ исходит вдоль общего для них направления осей абсцисс.

Скорость системы К' относительно К для случая, представлен­

Скорость системы К' положительна, так как она движется в по­ ложительном направлении оси абсцисс системы К.

Скорость же системы К относительно К' равна:

Эта скорость отрицательна, так как система К движется относи­ тельно К' в отрицательном направлении оси абсцисс системы К'.

Время будем отсчитывать от того момента, когда обе системы

и, следовательно, разность абсцисс точки М в системах К и К' будет равна vt:

x= x'-\-vt.

Соотношения (1.1) и (1.3) называются преобразованиями Га­ лилея; они играют очень важную роль в ньютоновской физике. Из них, в частности, вытекает так называемый классический за­ кон сложения скоростей.

Действительно, напишем соотношение (1.3) между координа­ тами движущейся точки Х\ и х \, х2 и х' 2 для двух достаточно близ­ ких моментов времени U и t2:

Хі = Х'і-\-vt,

Хі— х'г+ѵіг,

Вычтем почленно верхнее равенство из нижнего и разделим по­ лучившееся соотношение на промежуток времени t2 — 1\\

14

где ux и u'x — соответственно скорости одной и той же точки в на­ правлении оси абсцисс систем К и /('. Относительная скорость систем К и К' направлена тоже по оси абсцисс, поэтому соотноше­ ние (1.4) можно записать в следующем виде:

Наиболее общим является случай, когда относительное движение инерциальных систем К и К' происходит не по направлению осей абсцисс, а в произвольном направлении, но поступательно. Теперь относительная скорость систем отсчета имеет не одну составляю­ щую ѵх, а три: • Öre, Vy, vz. Тогда закон преобразования скоростей запишется так:

их= и 'х-\-ѵх,

в пространстве. Оси координат представляют собой просто три произвольных взаимно перпендикулярных направления. Одинако­ вость свойств пространства по всевозможным направлениям, рав­ ноправие в нем всех направлений выражает изотропность прост­ ранства.

Кроме того, начало координат любой системы отсчета может находиться в любой точке пространства, в нем нет выделенных точек. Другими словами, свойства пространства считаются оди­ наковыми во всех его точках, т. е. пространство является одно­

Формула (1.4'") выражает классический закон векторного сложе­ ния скоростей в ньютоновской механике. Здесь необходимо обра-

1 тить внимание на следующее важное обстоятельство.

В ньютоновской механике все векторы складываются по пра­ вилу параллелограмма. В процессе преподавания это правило должно обосновываться каждый раз ссылкой на опыт: в ньютонов­ ской механике, т. е. при скоростях, много меньших скорости света в вакууме, опыт свидетельствует, что два вектора эквивалентны од­ ному, определяемому по величине и направлению диагональю па­

15

раллелограмма, построенного с помощью двух векторов. При этом следует четко указать, что в ньютоновской механике векторы скла­ дываются по правилу параллелограмма. Полезно здесь же ука­ зать, что в принципе возможен другой закон сложения векторов, отличный от правила параллелограмма.

Теоретический вывод классического закона преобразования ско­ ростей позволяет понять, что сложение скоростей по правилу па­ раллелограмма обусловлено определенными свойствами простран­ ства и времени, используемыми ньютоновской механикой. Как уже указывалось, в ньютоновской механике время считается абсолют­ ным, единым для всех инерциальных систем отсчета, а простран­ ство — однородным и изотропным. Кроме того, принимается, что геометрические свойства пространства выражаются геометрией Ев­ клида — единственной геометрией, известной учащимся. Короче, ньютоновская механика считает пространство евклидовым. В этой связи полезно обратить внимание учащихся на то, что возможны неевклидовы пространства, т. е. пространства, геометрические со­ отношения в которых отличны от соотношений евклидовой геомет­ рии.

Вернемся теперь к вопросу о том, как классический закон преобразования скоростей (1.4"'.) отразится на ускорении при пере­ ходе от одной системы отсчета к другой. По определению ускоре­ ния тела в этих системах равны:

»2— h — t

и!г — и'1 tz —

Таким образом, из преобразований. Галилея вытекает, что уско­ рение тела одинаково во всех инерциальных системах отсчета, или, иными словами, ускорение инвариантно относительно преобразова­ ний Галилея.

Масса, как уже отмечалось, в механике Ньютона принимается величиной инвариантной. Следовательно, во втором законе Нью­ тона левая часть — произведение массы на ускорение — является инвариантной величиной, одинаковой во всех инерциальных си­

16

стемах отсчета. В ньютоновской механике величина силы, дей­ ствующей на тело, также одинакова во всех, инерциальных си­ стемах отсчета. Посмотрим, каким образом реализуется инвари­ антность сил, которые могут фигурировать во втором законе Нью­ тона. Как будет выяснено ниже, такими силами являются сила тя­ готения, сила упругости, сила трения, электромагнитная сила.

Сила тяготения зависит от масс и расстояния между матери­ альными точками. Масса, как уже говорилось, принимается вели­ чиной инвариантной; расстояние между двумя точками в геомет­ рии Евклида является тоже величиной инвариантной. Обе эти причины п обусловливают инвариантность силы тяготения.

Сила упругости обусловлена изменением расстояния между ча­ стями тела. Инвариантность расстояний обеспечивает инвариант­ ность этой силы.

Сила трения зависит от относительной скорости трущихся по­ верхностей. И хотя скорость каждого из трущихся, соприкасаю­ щихся тел относительна, т. е. зависит от системы отсчета, их относи­ тельная скорость одинакова во всех инерциальных системах от­ счета. Это обстоятельство и обусловливает инвариантность силы трения.

Гораздо сложнее обстоит дело с инвариантностью электромаг­ нитной силы. Электромагнитная сила — это сила, действующая на электрический заряд. Она характеризует взаимодействие электри­ ческих зарядов. Заряды могут быть как неподвижными, так и дви­ жущимися, в зависимости от системы отсчета. Неподвижные заряды взаимодействуют с электрической силой согласно закону Кулона. Если эти же заряды движутся или система отсчета движется отно­ сительно зарядов, то взаимодействие зарядов будет описываться более сложным образом. Во-первых, заряды будут взаимодейство­ вать с электрической силой согласно закону Кулона; во-вторых, они будут образовывать токи и, следовательно, взаимодействовать с магнитной, или электродинамической, силой согласно закону Ампера. Таким образом, взаимодействие одних и тех же зарядов по-разному трактуется в различных системах отсчета. В той си­ стеме отсчета К, которая неподвижна относительно зарядов,-на

каждый заряд действует только электрическая сила Fe. В другой же системе отсчета К', движущейся оносительно этих же зарядов,

на каждый заряд будут действовать две силы: электрическая F'e

и магнитная F'm. Сила, действующая на электрический заряд, на­ зывается электромагнитной силой. В общем случае она состоит из двух составляющих — электрической и магнитной:

F = F e+ F m.

И только в частных случаях она может ляющую — электрическую или магнита;

2 Заказ № 7681

ннтная составляющие электромагнитной силы относительны и в ньютоновской механике, не говоря уже о СТО. Это обусловливает относительный характер электрического и магнитного полей. По­ дробнее этот вопрос будет рассмотрен ниже, в главе 6.

Ньютоновская механика и СТО по-разному отвечают на вон-

рос: инвариантна ли полная электромагнитная сила F при пере­ ходе от одной системы отсчета к другой?

Ньютоновская механика отвечает на этот вопрос положительно. Теория же относительности не связана условием инвариантности . силы при переходе, от одной системы отсчета к другой. Подробнее этот вопрос рассмотрен в главе 6.

Итак, в ньютоновской механике все величины, входящие во второй закон динамики, оказываются инвариантными относительно выбора системы отсчета: они одинаковы во всех инерциальных си­ стемах отсчета.

Это обстоятельство, как ни странно, затрудняет понимание тео­ рии относительности.

Ввиду огромной роли законов Ньютона хочется думать, что это правило является общим, т. е. все величины, входящие в любой физический закон, являются инвариантными. Эйнштейн же в соз­ данной нм теории относительности показал, что этого-то как раз и нет. Опираясь на два принципа, в совокупности несовместимые с ньютоновской механикой и всей дорелятивистской физикой, Эйн­ штейн создал новую теорию, названную нм теорией относитель­ ности.

Различие между дорелятнвистекой физикой и теорией относи­ тельности обусловлено различием основных идей и исходных по­ ложений. Как увидим из дальнейшего, это различие в значительной мере обусловлено той ролью, которую играет в ньютоновской и релятивистской физике скорость света в вакууме.

Перейдем теперь к рассмотрению основ специальной теории относительности.

§4. ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА

Воснове специальной теории относительности (СТО) лежат два принципа, или два постулата. Сам Эйнштейн в основной работе

по СТО «К электродинамике движущихся тел», опубликованной в 1905 г., назвал их принципом относительности и принципом по­ стоянства скорости света. Он формулировал их следующим об­ разом.

«1. Законы, по которым изменяются состояния физических си­ стем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, находящихся относительно друг друга в равномерном поступатель­ ном движении, эти изменения состояния относятся.

2. Каждый луч света движется в «покоящейся» системе коор-

18

дпиат с определенной скоростью независимо от того, испускается ли этот луч покоящимся пли движущимся телом» *.

Первое утверждение в настоящее время называется принципом относительности Эйнштейна, а также частным, или специальным, принципом относительности. Этим подчеркивается отличие данного принципа относительности от принципа относительности ньютонов­ ской механики, который называется механическим принципом от­ носительности или принципом относительности Галилея—Ньютона (ПОГН). Эйнштейн распространил принцип относительности на всю физику. Так, одна из формулировок ПОГН состоит в утверж­ дении. что никакими механическими (именно механическими!) опы­ тами, произведенными внутри данной системы отсчета, принципи­ ально невозможно установить, покоится эта система отсчета или она движется равномерно и прямолинейно. Эйнштейн же утверж­ дает, что это невозможно установить не только механическими, но п любыми другими физическими опытами, например, в области электромагнитных или оптических явлений.

В названии же его — частный, или специальный, принцип относи­ тельности — выражено то обстоятельство, что он справедлив только для частного, или специального, класса систем отсчета — для инерциальных систем отсчета. Поэтому и теория относитель­ ности, использующая этот принцип, тоже называется частной, или специальной, теорией относительности.

Проиллюстрируем специальный принцип относительности неко­ торыми примерами и обратим внимание на вопросы, важные для его понимания н для преподавания.

В области-механики принцип относительности Эйнштейна совпа­ дает с принципом относительности Галилея—Ньютона. Поэтому все примеры, иллюстрирующие принцип относительности Галилея — Ньютона, будут в то же время пояснять и принцип относительности Эйнштейна. Принцип относительности применительно к механике означает, что законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсдета.

Принцип относительности сам по себе не требует одинаковости движения относительно различных систем отсчета. Одинаковость движения будет иметь место во всех системах отсчета, если, кроме одинаковости законов механики, в них будут одинаковыми и на­

чальные условия.

Следует иметь в виду, что не Эйнштейн впервые сформулировал тот принцип относительности, которому позднее присвоили его имя. До Эйнштейна, в 90-х годах прошлого Еека, его использовал в

1 Скорость спета в вакууме является одной из основных констант совре­ менной физики. Как и другие «мировые» постоянные, она может быть найдена только пз опытов. После многократных уточнений в настоящее время скорость