книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

электростатическое поле. Если же возьмем другую систему отсчета К \ которая движется равномерно и прямолинейно отно­ сительно системы К и заряда q, то в этой системе заряд будет

обладать скоростью и, следовательно, будет создавать магнитное

—^

поле. Напряженность Н магнитного поля пропорциональна вели­ чине заряда н его скорости, а ее направление определяется правн-

лом винта: если сам винт перемещать в направлении вектора /, то направление вращения головки винта при этом определит направ­ ление вектора напряженности магнитного поля. В различных си­ стемах отсчета магнитные поля одного и того же заряда будут, вообще говоря, по-разному направлены друг относительно друга.

Относительность напряженности магнитного поля делает фи­ зически бессодержательным «наглядное» представление напряжен­ ности поля как «густоты» магнитных силовых линий. Силовые ли­ лии — вспомогательный образ, их нельзя жестко связать с данным зарядом, так как напряженность поля и густота линий зависит от системы отсчета. Таким образом, «густота силовых линий» — это несуществующая густота несуществующих линий, и такое представ­ ление не является в действительности ни наглядным, ни физиче­ ски грамотным. Единственно корректный способ установления меры магнитного поля (напряженности или индукции) — это спо­ соб, основанный на физическом действии этого поля, например, на явлении взаимодействия параллельных токов или действия магнит­ ного поля на ток.

Электромагнитное поле характеризуется в общем случае шестью составляющими: Ех, Еу, Ez, Нх, Hv, Hz, представляющими собой проекции векторов напряженностей электрического и маг­ нитного полей на оси координат выбранной системы отсчета. Одно и то же электромагнитное поле в различных системах отсчета имеет различные составляющие. В некоторых случаях подходящим выбором системы отсчета можно достичь того, что электромагнит­ ное поле будет иметь только электрические составляющие и не бу­ дет иметь магнитных составляющих. В таком случае электромаг­ нитное поле называют электрическим полем. Но подходящим выбо­ ром системы отсчета оказывается возможным «уничтожить» элек­ трические составляющие электромагнитного поля и сохранить лишь магнитные составляющие. Такое электромагнитное поле называется магнитным полем. Как показывается в релятивистской теории, пре­ вращение электромагнитного поля в чисто электрическое или в чи­ сто магнитное возможно только для такого поля, у которого в неко-

торой системе отсчета векторы Е и Н взаимно перпендикулярны

380

В релятивистской электродинамике показывается, что скаляр-

иое произведение векторов Е и Я является одним из инвариантов электромагнитного поля относительно преобразований Лоренца: оно не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Равенство нулю скалярного произведения двух векторов возможно только в следующих трех случаях: 1) векторы взаимно перпендикулярны; 2) один вектор равен нулю; 3) другой вектор равен нулю. Поэтому превратить в чисто электрическое или в чисто магнитное можно только такое электромагнитное поле, у

которого инвариант Е -Н равен нулю. Если же этот инвариант от-

личен от нуля, т. е. Е и Я не взаимно перпендикулярны, то ника­ ким выбором системы отсчета электромагнитное поле невозможно превратить в чисто электрическое или чисто магнитное поле. Если электромагнитное поле существует хотя бы в одной системе от-

^счета, т. е. имеет в этой системе хотя бы одну составляющую из шести (Ех, Еу, Ez, Нх, #„, Hz), то невозможно найти такую систему отсчета, чтобы в ней были равны нулю все составляющие, т. е. чтобы поле исчезло.

Это аналогично тому, что трехмерный вектор, например ско-

рость V, имеет в общем случае три составляющие (vx, ѵѵ, vz) ; он представляет, молено сказать, единство трех составляющих. И спра­ ведливости этого общего положения отнюдь не мешает то обстоя­

тельство, что систему координат молено выбрать таким образом, ■Э

что вектор V будет иметь лишь одну составляющую (ѵх, или ѵу, или üz), тогда как две другие будут равны нулю'.

Таким образом, электрическое и магнитное поля являются част­ ными случаями единого электромагнитного поля, и разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное поле весь­ ма условно. Причем речь здесь идет о постоянном, не изменяю­ щемся со временем электромагнитном поле. Это объединение электрического и магнитного полей в единое электромагнитное поле проявляется в том, что во многие закономерности и соотно­ шения электродинамики входят одновременно составляющие и электрического, и магнитного полей. Например, сила, действующая на электрический заряд q, находящийся в некоторой точке электро­ магнитного поля, дается следующей формулой:

где V — скорость заряда в той системе отсчета, в которой напря­ женность электрического и индукция магнитного полей равны со-

—> о .

ответственно Е и В. Сила F, действующая на электрический заряд, называется электромагнитной силой.

Обращаем внимание на то обстоятельство, что электромагнит-

181

пая сила в общем случае состоит из двух слагаемых, из двух со-

ставляющнх: из электрической составляющей qE и магнитной со-

ставляющей qv \ В . Поскольку Е и В в различных системах отсче­ та различны, то и разделение единой силы па электрическую и маг­ нитную компоненты тоже относительно. По аналогии с рассмотрен­ ным примером трансформации электромагнитного поля при пере­ ходе от одной системы отсчета к другой может оказаться, что элект­ ромагнитная сила, действующая на один п тот же заряд, находя­ щийся в одном II том же электромагнитном поле, в одной системе

- А

отсчета имеет обе компоненты, т. с. представляется в виде F, =

= q(B\ + yi X В\). В другой системе электромагнитная сила может иметь только одну электрическую составляющую и быть чисто

«электрической» силой: F2 — qE2. ' В третьей системе, наконец, электромагнитная сила может иметь одну лишь магнитную компо-

ненту и быть чисто «магнитной» силой: Fz = qvz X В3.

Важно отметить, что представление электромагнитной силы в виде суммы двух слагаемых свойственно как релятивистской, так и дорелятивистской физике. Различными будут только ответы на вопрос: инвариантна ли электромагнитная сила? Пусть электромаг­ нитная сила представляется двумя компонентами, каждая из ко­ торых различна в разных системах отсчета. Выясним, изменяется ли полная электромагнитная сила, т. е. сумма электрической и магнитной ее компонент при переходе от одной системы отсчета к другой? Дорелятивистская физика отвечает на этот вопрос так: полная электромагнитная сила инвариантна, т. е. одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

В специальной теории относительности полная электромагнит­ ная сила не является инвариантной величиной: при переходе от одной системы отсчета к другой изменяются не только электриче­ ская и магнитная компоненты, но и их сумма.

Выясним причину такого расхождения между нерелятивистской' и релятивистской теориями.

Ранее (см. гл. 1) было выяснено, что из инвариантности второго

-> ->

закона Ньютона в форме та = F и инвариантности массы тела и его ускорения относительно перехода от одной инерциальной си­ стемы отсчета к другой следует инвариантность силы. Если, в част­ ности, рассматривается движение электрического заряда, то силон, действующей на него, будет электромагнитная сила. Отсюда непо­ средственно вытекает инвариантность электромагнитной силы, как, впрочем, и любой другой силы в дорелятивистской физике. Из условия инвариантности электромагнитной силы получаются сле­ дующие формулы преобразования напряженностей электрического и магнитного полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:

182

вариантна, то, приравняв выражения для F и F' и учтя, что ѵ' =

= —V, получим первую из формул (6.3). Вывод второй из формул (6.3) основан на законе Бпо—Савара—Лапласа, который является одним из основных законов электродинамики. Закон Био—Сава­ ра—Лапласа в принципиальном отношении для электродинамики столь же важен, как и закон электромагнитной индукции, на них основаны два основных уравнения Максвелла.в электродинамике.

Закон Бпо—Савара—Лапласа количественно характеризует напряженность магнитного поля, создаваемого электрическим то­ ком. Из него можно получить следующую формулу для напряжен­ ности магнитного поля, создаваемого зарядом q, который движется

относительно данной системы отсчета со скоростью о:

H = vXD. ‘ Но£>= еов£.

Поэтому

где Е — напряженность электрического поля этого заряда в дан­ ной системе отсчета. Можно сказать, что движущееся электриче­ ское поле создает магнитное поле согласно (6.4). Возвращаясь к

(6.3), видим, что по отношению к системе К поле Е' движется со.

скоростью и. Это обстоятельство само по себе создаст в системе К

магнитное поле Я";

Н"=еоеѵХЕ'.

Поэтому результирующее магнитное поле в системе К будет равно

сумме «старого» поля Я и «нового» Я":

Я= Я /+ Я //= Я /+оХ .В/= Я /+ееоиХ£/.

Аэто и есть вторая из формул (6.3).

Из общих формул преобразования полей (6.3) можно получить формулы для двух важных частных случаев.

1. В движущейся системе отсчета К' магнитное поле отсут­ ствует (Ң '— 0); имеется только электрическое поле с напря­ женностью Е'. Тогда из (6:3) получим, что в неподвижной системе К будет иметься и электрическое поле с такой же напряжен­ ностью (Е = Е') и, кроме того, магнитное поле с напряженно­ стью :

Н =ѵХЕ>'=еог ѵХ Е'-

184

появится еще и электрическое поле, напряженность которого выражается так:

Е = -В 'Х Ѵ = \Щ ^,Х Ѵ•

полей — их зависимость от относительной скорости системы от­ счета; б) единство обоих полей, выражающееся в том, что электри­ ческое поле выражается и через электрическое, и через магнитное поле, а магнитное поле в свою очередь тоже выражается не только через магнитное поле, но и через электрическое поле. В этом от­ четливо проявляется относительный характер разделения единого электромагнитного поля на электрическое и магнитное поля.

В системе К поле Е = 0, если между напряженностями поля

в К' н скоростью относительного движения системы и существует соотношение •

если в системе К' векторы ѵ, Н' и Е' направлены соответственно по осям X , у, z и между их модулями выполняется соотношение

H'=vD'=Ea£vE'. ■

(Вектор V, как обычно, считается направленным по оси х.) Рассмотрим теперь, как преобразуются электрическое и маг­

нитное поля согласно теории относительности. Прежде всего вы­ ясним, что нового следует ожидать в СТО в этом вопросе.

Как видно из (6.3), в дорелятпвистской физике, если В' — 0, то

Е = Е' (в системе отсчета К), аналогично, если Е' — 0, то Я = Я

(в системе отсчета К). ■ В СТО «чистое» электрическое и «чистое» магнитное поля из­

меняются при переходе от одной системы отсчета к другой, т. е. преобразуются. Рассмотрим это на примере электрического поля.

185

В качестве примера электрического поля возьмем для простоты поле между обкладками плоского конденсатора. Как известно, на­ пряженность электрического поля Е плоского конденсатора (он считается безграничным) в той системе отсчета, в которой он не­ подвижен (система отсчета К), определяется поверхностной плот­ ностью электрического заряда на его обкладках. В Международ­ ной системе единиц (СИ) она выражается так:

£ ==_ 1 _ ст== J ___ q_

где q — модуль заряда обкладки, 5 — площадь обкладки.

При переходе от одной системы отсчета к другой заряд пла­ стин не изменяется, так как в СТО заряд считается инвариантной величиной. Площадь же обкладок, вообще говоря, будет изменять­ ся при таком переходе вследствие релятивистского сокращения продольного размера обкладки. (Вообще говоря, будет изменяться и расстояние между обкладками, но это обстоятельство не будет влиять на напряженность поля, так как оно однородно и не за­ висит, следовательно, от расстояния между пластинами конденса­ тора.) Для выяснения того, как ведут себя различные компоненты поля (£.ѵ, Еу, Ег) при переходе от одной системы отсчета к другой, будем располагать конденсатор по-разному по отношению к осям координат.

Рассмотрим две системы отсчета: «неподвижную» К (относи­ тельно которой конденсатор неподвижен) и «движущуюся» К', которая движется относительно К со скоростью, равной ѵ и на­ правленной слева направо. Можно то же самое сказать другими словами: конденсатор движется относительно К' с такой же по величине скоростью ѵ', но направленной справа налево. Пусть, как обычно, скорость направлена вдоль общего направления осей абсцисс. Нашу задачу можно сформулировать двояким образом, причем обе формулировки физически равноправны: 1) найти соот-

ношение между векторами напряженности электрического поля Е

и Е', создаваемыми в системах К и К' одним и тем же конденса­ тором; 2) найти соотношение между напряженностями электриче­ ского поля внутри неподвижного и движущегося конденсатора. Речь идет, следовательно, о выяснении влияния равномерного пря­ молинейного движения конденсатора на напряженность его же электрического поля.

Для выяснения поведения компонента Ех при переходе от К к К' расположим конденсатор так, чтобы его поле имело только компоненту Ех (рис. 50,а). В этом случае размеры пластин в К' будут такими же, как и в К, так как стороны пластин, будучи пер­ пендикулярными скорости, не испытают релятивистского сокраще­ ния длины. Поэтому поверхностная плотность заряда в К' будет

186

Рис. 50.

такой же, как и в К. Следовательно, в этом случае напряженности поля в К и К' будут одинаковыми:

Правда, в этом случае расстояние между обкладками испытает лоренцево сокращение, но как уже отмечалось, это не повлияет на напряженность поля конденсатора.

Для выяснения того, как ведет себя составляющая поля Еу, расположим конденсатор так, чтобы его поле имело только ком­ поненту Еу (рис. 50,6). В этом случае вследствие движения кон­ денсатора в системе К' продольный размер обкладок в направле­

обкладок не изменится, так как другая сторона перпендикулярна направлению скорости. Следовательно, площадь обкладок умень-

и, следовательно, напряженность поля увеличится в

раз. Таким образом,

У Н - ) *

Внутри движущегося конденсатора составляющая поля, пер­ пендикулярная скорости, больше, чем внутри неподвижного.

Для нахождения компоненты E'z расположим конденсатор, как показано на рисунке 50, в. Аналогично предыдущему получим:

ЬЛ т )

Подытоживая результаты, можем сказать, что при движении конденсатора компонента напряженности его электрического поля,

187

раз независимо от знака скорости, т. е. от того, приближается пли удаляется конденсатор от регистрирующего прибора.

То обстоятельство, что компоненты Ех, с одной стороны, и Еу и Е: — с другой, преобразуются по-разному, не дает возможности представить формулы (6.5) — (6.7) в виде одного векторного соот­ ношения. При скоростях и, значительно меньших с, знаменатель в (6.6) II (6.7) можно положить равным единице и считать, что элект­ рическое поле конденсатора не зависит от его скорости, подобно длине стержня. Так это и принимается в дорелятивистской физике. Преобразование электрического поля — это, следовательно, чисто релятивистский эффект. Он практически заметен только при ско­ ростях, близких к скорости света в вакууме.

Мы рассмотрели преобразование электрического поля при усло­ вии, что в исходной системе (К) отсутствует магнитное поле. Ре­ лятивистские формулы преобразования для этого общего случая получим, если учтем, что в нерелятнвистском приближении нали­ чие магнитного поля в «неподвижной» системе К приводит к появ­ лению в «движущейся» системе К' электрического поля с напря-

—> женностыо Е' = —В )< Щ как мы видели ранее.

Релятивистские формулы преобразования электрического поля имеют вид:

■УНт)’

Релятивистские формулы преобразования магнитного поля имеют аналогичный вид:

188

Как видим, и в СТО в формулы преобразования полей входят одновременно напряженности и электрического и магнитного по­ лей. Это указывает на то, что и в СТО (причем в еще большей степени, чем в дорелятивнстской физике) разделение единого элект­ ромагнитного поля на электрическую и магнитную составляющие весьма относительно.

Как и должно быть согласно принципу соответствия, при о < с знаменатели релятивистских формул можно считать равными еди­ нице, и релятивистские формулы практически дают те же резуль­ таты, что и формулы (6.3).

Для конкретизации изложенных общих положений весьма по­ лезно рассмотреть истолкование взаимодействия двух электриче­ ских зарядов, неподвижных друг относительно друга, в различных системах отсчета.

Пусть имеются два заряда, неподвижные друг относительно друга. Выясним, с какой силой взаимодействуют эти заряды в раз­ личных системах отсчета.

Прежде всего следует выбрать систему отсчета. В качестве первой (по порядку) возьмем систему К, неподвижную относитель­ но зарядов. В ней заряды неподвижны и они, следовательно, взаи­ модействуют между собой с силой, величина которой согласно за­ кону Кулона равна:

<6 -10)

Таким образом, в системе К заряды взаимодействуют с силой, которая называется кулоновской. Для еще большей конкретности возьмем некоторые числовые данные: расстояние между заряда­

числа в закон Кулона, находим, что в «неподвижной» системе К заряды взаимодействуют с кулоновской силой, равной 7,2 н. Этот вывод одинаково справедлив как в дорелятивистской, так и в ре­ лятивистской физике.

Теперь рассмотрим другую инерциальную систему отсчета К', которая движется относительноэтих же зарядов в направлении, перпендикулярном прямой, соединяющей заряды, справа налево относительно зарядов со скоростью, равной по величине ѵ. На­ правление скорости системы К' примем за ось абсцисс. Тогда по­ лучившуюся ситуацию мы можем формулировать следующим об­ разом: в системе К' заряды движутся со скоростью ѵ в положи­ тельном направлении оси абсцисс. (Напомним еще раз, что совер­ шенно безразлично, считать ли движущейся систему К' относи­ тельно зарядов или считать' заряды движущимися относительно системы К'.)

Выясним, с какой силой взаимодействуют заряды в системе К'. Поскольку в дорелятивистской физике сила, действующая на электрический заряд, инвариантна, то и в системе К' заряды будут

189