книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

ком большую, чтобы он не улетел навсегда от Земли по парабо­ лической или гиперболической траектории. Следовательно, чтобы быть спутником Земли, тело должно в общем случае двигаться по эллипсу. В частном случае эллипс может выродиться в окруж­ ность.

Из решения задачи Кеплера следует, что при движении по эллипсу полная энергия тела отрицательна. Какую же энергию надо сообщить телу, чтобы оно стало ИСЗ?

Пусть тело лежит неподвижно на поверхности Земли. Его пол­ ная энергия в этом случае равна потенциальной, а последняя от­ рицательна (условие Е < 0 удовлетворяется). Но одного этого мало. Важным параметром, характеризующим движение по эллип­ тической орбите, кроме полной энергии, является также момент импульса тела. Эта величина требует наличия скорости, притом не вполне произвольной по направлению.

При любой, даже сколь угодно малой скорости и малом мо­ менте импульса орбита будет эллиптической, ппо формулам (5.25') можно вычислить большую и малую оси эллипса. Но в реальных -‘земных условиях нужно, чтобы эллиптическая орбита «не задева­ ла» Землю, иначе тело упадет на нее. С этих позиций камень, бро­ шенный рукой, падает на землю потому, что его орбита (строго говоря, эллиптическая, а не параболическая) «натыкается» на Землю. Значит, орбита должна быть таким эллипсом, чтобы Земля находилась внутри него, чтобы и большая, и малая оси были не меньше диаметра Земли. Самым «маленьким» эллипсом будет, оче­ видно, окружность с центром, находящимся в центре Земли, и с радиусом, несколько большим ее радиуса R. Вычислим соответ­ ствующую скорость тела v h

Найдем ее для общего случая — для любой высоты над Зем­ лей, т. е. для любого расстояния г от центра Земли.

В формуле (5.26) большую полуось а следует положить рав­ ной радиусу г круговой траектории:

Но полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной:

При движении по круговой траектории в поле тяготения кине­ тическая энергия тела равна половине абсолютной величины по-

тенцпальной энергии.. Это верно и для круговой орбиты электрона: в атоме. Для круговой скорости, таким образом, получаем следующеее выражение:

ние)

которое было получено ранее другим путем (см. стр. 146). Для данного центра тяготения, например для Земли, круговая скорость, зависит только от расстояния до центра тяготения. Чем выше над поверхностью Земли, тем меньше круговая скорость. Большая величина круговой скорости является причиной того, что запуск искусственных спутников — технически трудная задача.

Допустим, что на стартовой площадке на небольшой высоте над Землей стоит аппарат, ракетный двигатель которого может сообщить ему скорость, равную круговой. Если тело должно дви­ гаться по окружности с центром, совпадающим с центром Земли, то скорость должна быть направлена все время по горизонтали в каждой точке, т. е. перпендикулярно радиальному направлению. Следовательно, горизонтальной должна быть и начальная скорость спутника.

Вследствие большой плотности земной атмосферы у ее поверх­ ности сравнительно велико сопротивление воздуха. Простейший: спутник — это пассивный спутник, который движется свободно,,

Следовательно, г будет уменьшаться, и тело будет спускаться по свертывающейся спирали и может сгореть из-за аэродинамиче­ ского разогрева от трения о воздух. Поэтому принимают меры к тому, чтобы орбита спутника не проходила через плотные слои атмосферы.

Задача запуска спутника разбивается на две проблемы: 1) подъем аппарата на нужную высоту !г0 над поверхностью Земли (точка А на рисунке 34); 2) сообщение аппарату так называемой орбитальной скорости щ, направленной горизонтально. Только при соблюдении обоих этих условий спутник будет двигаться по круговой ^рбите.

Если же хотя бы одно из этих условий не выполнено, то орбита будет эллиптической!

Выведение спутника на орбиту производится по приборам, при этом возможны, конечно, случайные ошибки, и даже малейшее от­ клонение от указанных условий приведет к тому, что орбита ока­ жется не круговой, а эллиптической.

Таким образом, гораздо легче запустить спутник на эллиптиче­ скую орбиту, чем на круговую. Можно сказать, что, чем ближе орбита спутника к круговой, тем точнее и надежней работает си­ стема запуска. Иногда принимаются специальные меры для «вы­ тягивания» эллиптической орбиты. Это бывает нужно в исследова­

151

\

тельских целях, например для изучения зависимости атмосферного давления от высоты.

Рассмотрим физический смысл отклонений от условий круговой орбиты. Пусть ракета-носитель поднимает спутник на высоту ha над поверхностью Земли, на расстояние г0 от ее центра и сообщает спутнику орбитальную скорость, равную круговой ѵ{, но направ­ ленную не горизонтально, а под некоторым углом к линии гори­ зонта в точке выведения А.

В этом случае орбитой будет эллипс, так как нарушено усло­ вие круговой орбиты — круговая скорость не горизонтальна. Пол­ ная энергия спутника сохраняется как для круговой, так и для эллиптической траектории. Поэтому можно записать:

Отсюда получаем:

Q =

Предполагая, что намечался запуск спутника на круговую ор­ биту, можно по высотам апогея и перигея (/гШ|П и Ämax) вычис­ лить большую ось эллиптической орбиты:

/*

Большая полуось равна радиусу намечавшейся круговой траекто-

152

рии. Высота соответствующей круговой траектории над поверх­

ностью Земли равна среднему арифметическому из высот апогея и перигея:

I Ämin- \ - h шах

Одновременно h0 — это и высота точки выведения спутника на орбиту.

Вот выдержка из сообщения о параметрах орбиты ИСЗ «Интер- космос-1», запущенного 14 октября 1969 г.: «Минимальное рас­ стояние от Земли (в перигее) — 260 км, максимальное (в апогее) — 640 км, начальный период обращения — 93,3 мин».

Вычислим период обращения, исходя из размера большой полу­ оси орбиты и третьего закона Кеплера:

выяснить на основе второго закона Кеплера. Из него вытекает, что, чем ближе точка к центру тяготения, тем быстрее она дви­ жется, а чем дальше — тем медленнее.

153

генциальное ускорение at. Ускорение в прямолинейном движении — это частный случай тангенциального ускорения. Ускорение at будет

в точке В направлено так же, как и вектор скорости ѵ. Вследствие этого скорость тела будет возрастать по абсолютной величине. Так будет продолжаться до перигея (точка D), где скорость достигнет максимума. После прохождения перигея в точке С, например, тан­ генциальная составляющая силы тяготения будет направлена про­ тивоположно вектору скорости, и скорость будет уменьшаться. Уменьшение это будет происходить вплоть до апогея (точка А), тде скорость примет минимальное значение. Таким образом, на пути от апогея до перигея скорость непрерывно возрастает, а затем от перигея до апогея непрерывно убывает.

Если при выведении спутника на орбиту ему сообщена гори­ зонтальная скорость, отличающаяся от круговой, то орбита будет

Большие оси двух эллипсов будут различны^ так как скорости

.154

В реальных условиях запуска могут реализоваться одновре­ менно оба нарушения условий круговой орбиты. Потому реальные: орбиты спутников могут представлять собой эллипсы различных размеров, эксцентриситетов и ориентировок в пространстве.

На основе закона сохранения энергии спутника при «пассив­ ном» полете — без работы двигателей — можно вычислить ско­ рость спутника в любой точке эллиптической орбиты, на любой высоте над Землей.

Пусть известно из условий запуска, что на высоте /г0 спутнику сообщена скорость у0, любая по величине и направлению, но та­ кая, чтобы орбита не «задевала» Землю., Полная энергия спут­ ника при пуске может быть представлена так:

где г0 = Я -f- /г0, а R — радиус Земли.

Такова же будет полная энергия и в любой другой точке тра­ ектории. Потенциальную энергию U можно вычислить для любой высоты:

U = —у Мт

г

Вычтя ее из полной энергии, найдем кинетическую энергию спут­ ника, а по ней и его скорость у , на любой высоте:

ключена между наибольшим значением в перигее Ушах и наимень­ ш и м — в апогее ymin:

ц тігі5=~ и ^ s ^ m a x -

Скорости Umax и ут іп вычисляются по той же формуле, что и кру­ говая скорость, только вместо радиуса окружности нужно взять, расстояния перигея и апогея от ^фокуса (центра тяготения) rmm и.

Сама же круговая скорость вычисляется по формуле

Однако понятие круговой скорости никакого отношения к движе­ нию по эллипсу не имеет. Поэтому оно и не вводилось в общем анализе решения кеплеровой задачи.

На основании изложенного становится понятной ошибочность иногда встречающегося утверждения, будто для того, чтобы тело стало спутником Земли, ему нужно сообщить скорость, большую (или равную), первой космической. Мы видели, что тело может быть спутником и при скорости запуска, меньшей круговой. В этом смысле название «первая космическая скорость» нельзя при­ знать удачным, лучше ее называть круговой скоростью. Все спут­ ники Земли в энергетическом отношении находятся «в плену» поля тяготения Земли: их отрицательная энергия находится внутри потенциальной ямы. В процессе движения спутника его полная механическая энергия сохраняется неизменной, оставаясь отри­ цательной (Е с 0). А так как

£ = £ „ + £ /= £ ,< — у Ahn

то кинетическая энергия спутника в любой точке его орбиты меньше абсолютной величины потенциальной энергии. Чем боль­ шая скорость сообщается спутнику при запуске, тем большей будет его полная энергия, хотя она и будет оставаться отрица­ тельной. При этом длиннее будет большая ось эллипса, более вытянутой будет эллиптическая орбита. Если скорость при за­ пуске будет такой, что полная энергия Е спутника станет равной нулю, то согласно (5.26) большая ось эллипса станет бесконечно большой. Движение станет инфинитным и будет происходить в этом случае уже не по эллипсу, а по парабЬле.

Вычислим скорость, которую для этого надо сообщить телу при запуске, так называемую параболическую, или вторую косми­

Параболическая скорость больше круговой в л/2 раз для любой

156

Параболическая скорость, как и круговая, не зависит от массы тела. Но, конечно, чтобы большей массе сообщить такую ско­ рость, нужно сообщить ей большую кинетическую энергию. Для этого нужны более мощные двигатели.

Это значит, что если телу, первоначально неподвижному .отно­ сительно поверхности Земли, сообщить такую скорость в гори­ зонтальном направлении, то оно будет удаляться от Земли по параболе, вершиной которой будет точка запуска, а фокусом — центр Земли, как это изображено на рисунке 33. Тело при этом навсегда покинет Землю. Сопротивление земной атмосферы мы не учитываем.

Скорость тела будет при этом непрерывно уменьшаться, но обратится в нуль только на бесконечно большом расстоянии от Земли.

Наоборот, если тело неподвижно «в бесконечности», то при при­ ближении его к центру тяготения под действием силы тяготения его скорость будет непрерывно возрастать. При этом скорость тела в каждой точке будет являться параболической для данной точки.

мент импульса отличен от нуля, т. е. начальная скорость «не на­ целена» на центр тяготения, то траектория будет представлять собой более или менее «сплюснутую» параболу, тело обогнет центр притяжения с максимальной скоростью в перигее и удалится но другой ветви параболы.

Параболическая скорость, как видно из (5.31), подобно кру-

'говой скорости, тем меньше, чем больше расстояние г от центра тяготения. Вследствие этого запустить космический аппарат тех­

нически тем легче, чем выше точка запуска.

Межпланетные корабли будут стартовать не с поверхности Земли, а с орбиты искусственного спутника Земли, на которую они предварительно будут выведены или где они будут собираться по частям.

Чтобы и «в бесконечности» тело сохранило хоть какую-то ско­ рость по отношению к Земле, нужно, очевидно, при запуске сооб­ щить телу скорость, большую параболической. Тогда полная энер­ гия его станет положительной (Е > 0) и будет сохраняться на всем пути. В таком случае, как было выяснено выше, тело будет двигаться по гиперболе.

Если, наоборот, тело «на бесконечности» (т. е. не будучи свя­ зано с Землей) обладает некоторой скоростью ti«, то, если эта начальная скорость «не нацелена» на центр Земли, тело будет приближаться к Земле по гиперболе с фокусом в центре Земли со все возрастающей скоростью и, обогнув Землю, удалится от Земли по гиперболе с непрерывно уменьшающейся скоростью. Ско­ рость максимальна при наибольшем сближении, т. е. в вершине гиперболы (перигее орбиты), как это и должно быть согласно вто­ рому закону Кеплера. Это же справедливо и для движения по параболе.

157

Скорость тела ѵ на любом расстоянии г от центра Земли можно вычислить, исходя из закона сохранения энергии:

Рассмотрим следующую задачу. Пусть радиолокаторы системы ПВО обнаружили на определенной высоте /г над поверхностью Земли неизвестное тело, движущееся со скоростью ѵ. Как опре­ делить, «земное» это тело или нет, т. е. является ли оно спутником Земли, «привязанным» к ней и движущимся по эллиптической ор­ бите, или это «чужое» тело, для которого Земля оказалась «стоя­ щей на дороге» и искривила его путь — сделала его гиперболиче­ ским или параболическим.

Решить эту задачу очень просто. Нужно только узнать, какой знак (положительный или отрицательный) имеет полная энергия

Если знак энергии отрицательный, то тело «земное»: оно может быть только спутником, движущимся по эллиптической орбите. Если же Е = 0 или Е > 0, то тело «чужое» и движется по пара­ боле или гиперболе (если только оно не падает на Землю по пря­ мой).

Учитель легко может подобрать соответствующие числовые дан­

ные. Так, при V = 2 ^ ^ , h = 1000 км получаем:

Строго говоря, условие Е < 0 является лишь необходимым, но еще недостаточным условием того, чтобы тело было спутником Земли. Кроме этого условия, должно еще выполняться условие b > R, т. е. орбита не дложна «задевать» Землю. В приведенном числовом примере b < R. Действительно, согласно (5.25')

t L

b— —......— .1 У2т |£|

Момент испульса L в общем случае выражается так:

L = mv(R-\-h)sin а.

158

В начале освоения околоземного космического пространства, ко­ нечно, имело смысл вводить это понятие для указания больших технических возможностей человека — ведь спутники Земли ле­ тают быстрее артиллерийских снарядов. Но настоящей «космиче­ ской» скоростью, с которой можно выйти в «неземной» космос, яв­ ляется параболическая скорость. Правда, понятие «космос» ус­ ловно. В настоящее время по международной договоренности при­

с Земли на другую планету — это значит «выпрыгнуть» со дна потенциальной ямы поля тяготения Земли и «свалиться» на дно потенциальной ямы поля тяготения другой планеты, например Ве­ неры. Для совершения первого этапа кораблю надо сообщить ■скорость, равную параболической для поля Земли. По отноше­ нию к Венере наш корабль пока «чужое тело», и его скорость для Венеры — это по крайней мере параболическая скорость. Для того чтобы сесть на поверхность Венеры, ее нужно погасить. Это наиболее эффективно можно сделать тормозными двигателями. Для гашения скорости нужна такая же по величине работа, что и для сообщения данной скорости. Поэтому энергетические затраты на гашение параболической скорости в общем такие же, как и на ее достижение. Так что посадка требует примерно таких же энер­ гетических затрат, как и взлет. Поскольку параболическая ско­ рость для Венеры примерно такая Яге, как и для Земли, то путе­ шествие Земля—Венера—Земля с посадкой на Венере требует по крайней мере в 4 раза больше энергии, чем только «стрельба» по Венере с Земли. Это осложняет космические путешествия лю­ дей, не говоря уже об обеспечении безопасности их жизни.

§ 9. ВЕС И НЕВЕСОМОСТЬ

Предварительные замечания

Вопрос о весе и невесомости до недавнего времени был чрез­ вычайно запутан в учебной и методической литературе. Главная ошибка заключалась в отождествлении веса и силы тяготения.

159