книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

Анализ подобных «потенциальных кривых» играет важную роль в различных областях физики — при анализе движения молекул реального газа пли жидкости, электронов в атоме и т. п. График зависимости эффективной потенциальной энергии и эф(г) в зависи­ мости от расстояния г движущегося тела до центра тяготения при­ веден на рисунке 32. Отложим на этом же графике полную энер­ гию Е движущегося тела. Так как полная энергия сохраняется (Е = const), то на графике она представится прямой линией, па­

циальную кривую в двух точках, во втором и третьем случаях — только в одной. Выясним смысл точек пересечения. В точках пере­ сечения выполняется соотношение

I

Корни этого уравнения определяют абсциссы точек пересечения кривых І13ф с уровнем Е. В случае Е < 0, как видно из рисунка 32, имеютсядва корня этого уравнения (гт\п и rmax). Сопоставим условие (5.24)

Видно, что в точках пересечения гт1п и гтах радиальная состав­

между телом и центром тяготения будет уменьшаться. Если Е < 0, то расстояние движущейся точки от центра тяготения изменяется в определенных границах:

чений расстояние не ограничено. Это значит, что тело может уда­ литься от центра тяготения как угодно далеко.

Такое движение называется инфинитным: тело приходит из бес­ конечности и,'достигнув наименьшего расстояния, уходит снова в бесконечность.

Эти общие соображения подтверждаются и строгим решением задачи: как говорилось выше, при Е < 0 траекторией является эллипс, при Е — 0 — парабола, при Е > 0 — гипербола.

Вернемся после этого к анализу строгого решения задачи, т. е. к формуле (5.23) с учетом обозначений (5.22). Рассмотрим случай, когда е < 1, т. е. Е < 0, и движение происходит по эллипсу. Это соответствует движению спутников центрального тела, как искус­ ственных, так и естественных.

144

Вычислим параметры эллиптической орбиты — большую и ма­ лую полуоси, наибольшее и наименьшее расстояния тела от центра тяготения, период обращения. Заданы сохраняющиеся величины — полная энергия Е и момент импульса L. Согласно формулам ана­ литической геометрии полуоси эллипса связаны с его параметром Р и эксцентриситетом е следующими соотношениями:

Видно, что большая ось эллипса 2а зависит только от полной энер­ гии и не зависит от момента импульса. При движении по эллипсу полная механическая энергия связана с большой его осью 2а соот­ ношением

Как видно, полная энергия отрицательна. Это очень важное обстоя­ тельство. Малая ось эллипса зависит не только от полной энергии,

определению L = ry^mv, то равенство нулю момента импульса

означает, что г X ѵ = 0, т. е. что ѵЦг\ направление скорости про­ ходит через центр тяготения. Поскольку L должен оставаться рав­ ным нулю все время, то направление скорости будет оставаться одним и тем же. При L = 0 тело будет двигаться все время по прямой, проходящей через центр тяготения. Если спутник запу­ стить вертикально вверх, то он, поднявшись на некоторую макси­ мальную высоту, по этой же прямой упадет обратно на Землю. Так запускают исследовательские, геофизические или метеорологи­ ческие ракеты. Спутники так запустить, очевидно, нельзя: падение спутника на Землю — аварийная ситуация для данной задачи. Значит, одно из условий, которое должно быть выполнено при за­ пуске ИСЗ (искусственного спутника Земли), состоит в том, что, помимо подходящей энергии, спутнику необходимо сообщить еще и подходящий момент импульса.

Наименьшее расстояние от вершины до фокуса, в котором на­ ходится центр тяготения, называется перигеем для околоземной орбиты и перигелием для околосолнечной орбиты. Пользуясь ри­

Наибольшее расстояние до центра тяготения от вершины траекто­ рии называется апогеем для околоземной и афелием для околосол­ нечной орбиты. Учитывая, что rmin + ггаах = 2а, получим:

На основании очевидного соотношения

Гmln-Ь г max = 2 а

можно, зная высоты перигея и апогея орбиты спутника от поверх­

Наименьшее значение полной энергии Аты, как видно из ри­ сунка 32, соответствует «дну» потенциальной кривой. В этом слу­ чае апогей и перигей сливаются (rmin = гтах) ; эксцентриситет эл­ липса обращается в нуль, и он вырождается в окружность, радиус которой согласно (5.26') и (5.22) равен:

Скорость, при которой движение происходит по окружности, на­ зывается круговой или первой космической скоростью (дляИСЗ). Ее легко вычислить для ИСЗ, учитывая, что при круговом движе­ нии модуль момента импульса выражается формулой

L = mvir.

Подставив это выражение в (5.27), получим:

/п2щ2г2

т ■утМ ’

масса Земли, г — радиус орбиты. Для орбиты, прилегающей к по­ верхности Земли (r — R ), круговая скорость может быть найдена по следующей формуле:

146

В выражение для круговой скорости масса спутника не входит; это значит, что на заданной круговой траектории спутники любых масс будут двигаться с одинаковой скоростью. Энергии у них будут неодинаковыми, и спутник с большей массой технически труд­ нее вывести на данную орбиту — потребуется затрата большей энергии.

Наконец, докажем, что третий закон Кеплера содержится в общем решении.

Для этого вернемся снова ко второму закону Кеплера и его

или

L -d t= 2 m -d S .

Если положить промежуток времени dt равным периоду обраще­ ния Т, т. е. времени, в течение которого точка описывает эллипс, то площадь в правой части — это площадь S, ограниченная ор­ битой:

Наконец, выразим малую полуось b через большую полуось а согласно (5.25'):

Подставив полученное выражение в (5.29'), получим:

Угла

или

Тг 4n2m

(5.30)

а3 а

Это и есть третий закон Кеплера: квадрат периода обращения пропорционален кубу большой полуоси эллиптической орбиты. Отметим, что поскольку большая полуось зависит от полной энер­ гии, то из закона Кеплера следует, что период обращения зависит только от полной энергии:

В случае поля тяготения

а=угпМ.

Тогда для этого случая закон Кеплера получим в таком оконча­ тельном виде:

(5.300

где М — масса притягивающего центра (Солнца — в случае пла­ нет, Земли — в случае Луны и ИСЗ). Это, естественно, тот же результат, который был получен ранее для круговых орбит.

Закон Кеплера, записанный в виде (5.30), имеет более широ­ кую область применения: он справедлив для движения не только

лив и для движения электрона в электрическом поле атомного ядра. Для получения числового значения константы в правой ча­ сти в этом случае нужно взять соответствующие значения m и а.

Как уже говорилось, при Е = 0 траекторией является пара­ бола. Перигей удален от фокуса на расстояние

где

148

во всех случаях выражается общей формулой

Рис. 33.

которую удобнее записать в виде

Р= Гmln( 1-f-s) ■

Эта формула позволяет различить кривые по внешнему виду их отрезков, прилегающих к вершине: сильнее всего «прижат» к осп

ше, чем у эллипса); наконец, шире всех расставлены «крылья» у гиперболы (е > 1, параметр р больше, чем у эллипса и параболы).

Около вершины все три кривые мало отличаются одна от дру­ гой.

Всякое тело, брошенное под углом к горизонту, движется, строго говоря, по эллипсу, а не по параболе. Однако небольшие

,участки эллипса и параболы около вершины практически совпа­ дают друг с другом. Поэтому если высота подъема много меньше радиуса Земли, то молено считать, что тело, брошенное под углом

кгоризонту, движется по параболе. Физически это обусловлено тем, что в области небольших высот над Землей поле тяготения можно считать однородным, т. е. силу тяготения — постоянной. В такой упрощенной постановке исчерпывающее решение задачи вполне доступно учащимся средней школы.

Однако исследование движения в однородном поле тяготения

не относится к кеплеровой задаче: кеплерова задача состоит в расчете движения в н е о д н о р о д н о м поле тяготения, определяе­ мом законом тяготения Ньютона.

§8. ЗАПУСК ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ

ИИХ ДВИЖЕНИЕ

Рассмотрим вопрос о запуске и движении искусственных спут­ ников Земли (ИСЗ). Телу, которое мы собираемся сделать искус­ ственным спутником Земли, нужно сообщить энергию, но не елпш-

149