книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

мулы для потенциальной энергии. Потенциальную энергию нужно вычислять для каждого вида сил взаимодействия (тяготение, силы упругости, силы Ван-дер-Ваальса в реальных газах, электроста­ тические силы и т. д.).

Рассмотрим подробнее потенциальную энергию тел в поле тяготения.

§ 5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ

Рассмотрим систему, состоящую из двух однородных шаров или материальных точек. Пусть центры шаров находятся на рас­ стоянии г друг от друга и взаимно притягиваются друг к другу по закону Ньютона. Вычислим потенциальную энергию U этой системы. Для наглядности под одним телом можно подразумевать Землю, под другим — камень или системы: «Земля — спутник», «Солнце — планета» и т. д.

Для вычисления U согласно определению нужно вычислить работу силы тяготения по удалению двух теЛ на бесконечно боль­ шое расстояние друг от друга. Поскольку важно взаимное, т. е. относительное, удаление двух тел, то одно из них можно считать неподвижным, а-перемещающимся — другое тело. Вычисление по­ тенциальной энергии системы сводится к вычислению работы силы тяготения, действующей на одно из тел при его перемещении из данного места в бесконечность в поле ^другого тела. Поскольку сила тяготения различна в разных точках, то для вычисления ра­ боты ее на всем перемещении нужно просуммировать, т. е. про­ интегрировать, работы на элементарных, бесконечно малых пере­ мещениях, которые можно считать прямолинейными даже в слу­ чае криволинейное™ действительного перемещения. Рассмотрим общий случай: перемещение одного из тел в бесконечность про­ исходит по произвольной криволинейной траектории.

Рисунок 27 поясняет заме­ ну dl cos а na (—dr). Если че­

130

рез начальную и конечную точки элементарного перемещения dl провести окружности, то dl cos а = —dl cos ß = —dr\ изменение расстояния dr между телами при элементарном перемещении поло­ жительно; а dl cos а отрицательно, так как угол а тупой при уда­ лении тел друг от друга.

В процессе получения окончательной формулы (5.6) мы полу­ чили важный результат: форма пути перемещения никак не влияет на вид окончательной формулы. Это значит, что работа силы тяготения не зависит от формы пути. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными, а системы, в которых действуют только такие силы, называются консервативными. По­ тенциальными являются все так называемые центральные силы, т. е. силы, зависящие только от расстояний между телами и на­ правленные по прямой, проходящей через центры взаимодействую­ щих тел. Сила тяготения — одна из центральных сил. Не все силы являются центральными. Например, сила магнитного взаимодей­ ствия токов таковой не является, сила трения — тоже. Причина этого в том, что эти силы зависят не только от расстояния между телами, но и от скоростей взаимодействующих тел.

Собственно, центральный характер силы тяготения и обусловливает'возможность введения потенциальной энергии как опреде­ ленной величины. Если бы работа силы тяготения зависела от фор­ мы пути перемещения, то она не могла бы служить мерой потен­ циальной энергии системы в данном ее состоянии.

Знание потенциальной энергии как функции состояния позво­ ляет просто вычислять работу силы тяготения, обходясь без ин­ тегрирования. Работу Аі, 2 силы тяготения по перемещению массы из одного положения в другое можно представить как сумму (ал­ гебраическую) двух работ: работы перемещения из первого поло­

приращению потенциальной энергии системы при этом перемеще­ нии. Это отнюдь не означает, что работа всегда отрицательна, про­ сто в математике под приращением функции понимают разность значений этой функции в конечном и начальном состоянии, а не наоборот. Само же «приращение» AU может быть как положи­ тельным, так и отрицательным.

Как видим из (5.6), потенциальная энергия двух тяготеющих тел отрицательна, как и должно быть согласно общему положению,

поверхности Земли, отрицательна. В школьном курсе физики она считается равной нулю.

Причина этого в том, что в курсе физики средней школы по­ тенциальная энергия отсчитывается от другого начального уровня, а именно от потенциальной энергии на поверхности Земли. По­ этому в средней школе за нуль принимается потенциальная энер­ гия на поверхности Земли, а не в бесконечности. При небольших (по сравнению с радиусом Земли) удалениях от поверхности Земли упрощенная формула дает практически тот же результат, что п более строгая формула (5.6). Для доказательства этого вы­ числим. пользуясь (5.6) и (5.6'), разность потенциальных энергий

Здесь учтено, что \M/R2 — go — ускорение силы тяготения к Земле на ее поверхности, и, кроме того, что R + к » R при к <g; R. Таким образом, применяемая в школьном курсе формула U = niogoh ■— это разность потенциальных энергий тела на высоте к и на земной поверхности, она справедлива для высот, во много раз меньших радиуса Земли (h<^R). Поскольку обычно интересуются работой силы тяготения, а она равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках, то при малых высотах к упрощенная формула дает удовлетворительные результаты. .

Прежде чем применять полученные результаты к движению естественных и искусственных космических тел, рассмотрим еще один общий вопрос, имеющий важное значение для многих разде­ лов физики. Речь идет о так называемой потенциальной яме. Рас­ смотрение этого общего вопроса облегчит учащимся понимание физической стороны вопроса о запуске искусственных космиче­ ских тел.

§ 6. ПОНЯТИЕ О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

Отрицательный знак потенциальной энергии имеет большой физический смысл. Для определенности будем говорить о потен­ циальной энергии, обусловленной силами тяготения. Но рассуж­ дения будут справедливы для любой отрицательной потенциаль­ ной энергии, обусловленной любыми силами притяжения: тяго-

t32

Отрицательный знак потенциальной энергии системы тяготею­ щих тел сам по себе означает, что сила взаимодействия (тяготе­ ния) мешает взаимному удалению тел, является силой сопротив­ ления по отношению к их взаимному удалению. Работа ее в таких условиях отрицательна. Максимальное значение потенциальной энергии тяготения согласно (5.6) равно нулю, и это соответствует телам, удаленным на бесконечно большое расстояние друг от дру­ га, когда они уже не тяготеют друг к другу.

Наглядно эту ситуацию можно описать следующим образом. Тело, лежащее на поверхности Земли, находится в энергетической, пли потенциальной, яме. Понятие ямы как некоего углубления привлекается здесь только для наглядности и потому, что если представлять потенциальную энергию тела относительно Земли на разных расстояниях в виде уровней (горизонтальных линий), то папвысший уровень соответствует потенциальной энергии, равной нулю (г = оо), а уровни, соответствующие конечным г, будут располагаться под нулевым уровнем, и тем глубже под ним, чем ближе тело к поверхности Земли. Вопрос о том, что будет, если тело будет опускаться под поверхность Земли, мы рассмотрим далее отдельно. Про тела, лежащие на поверхности Земли, можно сказать, что они находятся на дне потенциальной ямы. Ебли тело неподвижно на поверхности Земли, то для перевода его на более высокий уровень потенциальной энергии ему нужно сообщить извне кинетическую энергию, равную разности уровней потенци­ альной энергии. Наконец, если телу сообщить кинетическую энер­ гию, равную глубине потенциальной ямы, то тело «выберется» из ямы и уйдет от Земли бесконечно далеко. Скорость тела, при кото­ рой его кинетическая энергия равна глубине потенциальной ямы, в случае поля тяготения называется второй космической скоростью, или скоростью Освобождения (от тяготения), или параболической скоростью. Смысл последнего названия станет понятным из даль­ нейшего.

Глубина потенциальной ямы, как видим, характеризует энер­ гию связи тела или. частицы в системе. Для освобождения тела (или частицы) от его принадлежности к системе ему нужно сооб­ щить извне энергию, совершить над ним внешнюю работу осво­ бождения. Эту необходимую работу называют по-разному для различных систем связанных частиц: в случае электронов прово­ димости металлов — работой выхода из металла, в случае удале­ ния электрона из атома — работой ионизации атома, в случае отрыва одной частицы молекулы от другой — работой диссоциа­ ции молекулы (например, диссоциация молекул электролитов на ионы). В случае выхода молекулы жидкости за пределы ее сво­ бодной поверхности говорят о работе испарения (или теплоте ис­ парения); при выходе же нуклона (протона или нейтрона) из ядра

133

говорят об энергии связи ядра, приходящейся на один нуклон (или удельной энергии связи). 1

Некоторые из этих вопросов будут подробнее рассмотрены в соответствующих местах книги, а сейчас разберем один из них.

§ 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

Материал этого параграфа является теоретическим введением к вопросу о движении искусственных спутников Земли и других космических тел, который будет рассмотрен на его основе.

Пусть имеется система, состоящая только из двух тел, тяго­ теющих, как иногда говорят, гравитирующих по закону Ньютона. Требуется найти, как движется каждое тело. Эта задача назы­ вается «задачей двух тел» в теории тяготения или задачей Кеп­ лера. Совершенно так же решается и задача о движении каждого из разноименных электрических зарядов, притягивающихся друг к другу по закону Кулона, например электрона и ядра водородо­ подобного нона, состоящего из ядра и одного электрона. В современной физике обе эти задачи рассматриваются как частные случаи одной и той же задачи — задачи Кеплера, которая форму­ лируется так: найти движения двух тел, взаимно притягивающихся по закону «обратных квадратов». Сила притяжения здесь обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами.

Мы будем иметь в виду в основном гравитационную задачу Кеплера. Она упрощается, если одна из масс во много раз меньше другой. Но этот случай как раз и важен для «космических» задач о движении искусственных и естественных спутников Земли, Солн­ ца и других «центров тяготения». В этом случае можно говорить, что движется меньшая масса относительно «неподвижной» боль­ шой массы, которая поэтому и называется центром тяготения.. Строго говоря, оба тела движутся относительно нх общего центра масс, но даже в случае такого «большого» спутника Земли, как Луна, их общий центр масс лежит внутри Земли, и практически существенным оказывается движение именно спутника — Луны, т. е. задача формулируется следующим образом: найти движение тела (материальной точки) относительно «центра тяготения» (т. е. относительно другой материальной точки).

Решение этой задачи приводит к следующему результату: тра­ екторией движения может быть одно из конических сечений: эл­ липс, парабола или гипербола. По какой именно из этих трех кри­ вых будет двигаться тело, зависит от знака полной энергии, т. е. суммы кинетической и потенциальной энергий: Лк + U. Полная энергия сохраняется, так как сила тяготения потенциальна, а си­ стема из двух рассматриваемых тел консервативна. Прежде чем решать задачу Кеплера, сделаем отступление в область аналити­ ческой геометрии и напомним основные сведения о конических сечениях.

Общее название трех кривых (конические сечения) обуслов­ лено тем, что они могут быть получены сечением поверхности круг-

134

и частиц в макро- и микрокосмосе (планеты и электроны атомов). Точ­

ка О — центр эллипса, точки А, В, С, D — его вершины, Fі и F2— фокусы (рис. 29). У эллипса и гиперболы имеется по два фокуса, у параболы — один. Эллипс может быть определен как геометри­ ческое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 постоянна. Если М — произвольная точка эллипса, то для нее

МЕ1+ М /72=2а,

тде 2а — длина большой оси эллипса (ОА = а — большая полуось эллипса). Расстояние между фокусами F\F2 — 2с на­ зывается фокусным расстояни­ ем. Отрезок BD — 2b и его по­ ловина OB — b — это соответ­ ственно малая ось и малая по­ луось эллипса.

Отношение фокусного рас­ стояния к длине большой оси называется эксцентриситетом ж эллипса:

135

Так как

с= у'а? — Ь‘\

то эксцентриситет может быть выражен через полуоси эллипса:

Как видим, эксцентриситет эллипса меньше единицы (е < 1), причем, чем меньше отношение Ь/а, т. е. чем сильнее «сплюснут» эллипс, тем больше его эксцентриситет, тем дальше друг от друга отстоят его фокусы. Это обстоятельство поясняет смысл слова «эксцентриситет», в переводе означающее «внецентренность», рас­ хождение центров (фокусов). Понятие же «фокус» эллипса имеет «оптический» смысл, о чем полезно сообщить учащимся. Слово «фокус» в переводе с латинского означает «очаг». Эллипс обла­ дает геометрическим свойством, которое может быть использовано в оптике: фокальные радиус-векторы MFі и MF2 любой точки эл­ липса М образуют равные углы а с нормалью (т. е. перпендикуля­ ром к касательной) к эллипсу в этой точке (М). А это можно истол­ ковать как оптический закон отражения: угол отражения равен углу падения. И если отражающую поверхность (зеркало) сделать эллиптической и в одном из ее фокусов поместить источник света, то лучи, отраженные от зеркала, пересекутся в другом фокусе п могут поджечь легковоспламеняющееся вещество, помещенное в нем.

Максимальное значение эксцентриситета эллипса равно еди­ нице: оно соответствует значениям 6 = 0, а — оо. В этом частном случае эллипс предельно сплюснут, как говорят, «вырожден», он превращен в прямую линию.

Другой предельный случай эллипса — его «вырождение» в

.окружность, когда малая полуось равна большой (6 = а) и экс­ центриситет обращается в нуль (е = 0).

Наконец, еще одной величиной, характеризующей эллипс, яв­ ляется так называемый параметр р: половина длины хорды, про­ ходящей через фокус и перпендикулярной большой оси.

При теоретическом анализе вопросов, связанных с движением по эллиптическим орбитам, важную роль играет уравнение эллип­ са, т. е. соотношение между координатами любой точки эллипса. Приведем его в декартовой и полярной системах координат.

Поместим начало О декартовой системы координат в центре эллипса, а взаимно перпендикулярные оси ее направим вдоль осей эллипса: ось абсцисс (ОХ) — вдоль большой, ось ординат (ОУ) — вдоль малой оси. Тогда между координатами х н у любой

136

точки N эллипса в этой системе координат существует соотноше­ ние:

+ 1 1 = 1 а2^ й2

где а и b — соответственно большая и малая полуоси эллипса. Это соотношение называется каноническим уравнением эллипса.

Однако в случае движения относительно центра тяготения удоб­ нее ввести не декартову, а полярную систему координат. Полюс этой системы координат поместим в одном из фокусов эллипса (например, F\ на рисунке 29). Далее из полюса проводим полу­ прямую, т. е. луч F \ X , — полярную ось. Положение любой точки эллипса может быть охарактеризовано двумя величинами: рас­ стоянием г точки от полюса (полярный радиус) и углом ср между полярным радиусом и полярной осью — полярным углом. Это по­ лярные координаты. Угол ср отсчитывается от полярной оси и мо­ жет иметь любые значения между 0 и 2я рад.

Уравнение конического сечения в полярной системе координат, т. е. соотношение между полярными координатами г и ср любой точки эллипса, имеет вид:

где р — параметр эллипса, е — его эксцентриситет.

Уравнение (5.8) справедливо для любого конического сечения, причем конкретный вид кривой определяется только величиной эксцентриситета е: при е С 1 — эллипс, при е = 1 —■парабола, при е > 1 — гипербола.

Теперь вернемся к кеплеровой задаче.

Задача о движении в поле тяготения формулируется следующим образом. Найти траекторию движения материальной точки с мас­ сой т относительно другой материальной точки с массой М, во много раз большей массы т и являющейся «центром тяготения». Задачу можно решить, если воспользоваться законами сохранения

энергии Е и момента импульса L, имеющими место в данном слу­ чае. Полная механическая энергия — сумма кинетической и потен­ циальной энергии — сохраняется, так как сила тяготения потен­ циальна; момент импульса сохраняется потому, что сила тяготе­ ния — центральная сила и ее момент относительно центра тяго­ тения равен нулю. Момент силы согласно основному закону вра­ щательного движения равен и з м е н е н и ю момента импульса тела. Так как момент силы тяготения равен нулю, то момент им­ пульса движущегося тела будет оставаться постоянным. Отсюда вытекают следующие два вывода.

Во-первых, сохранение момента импульса означает неизмен-

ность направления вектора L в пространстве. Это-будет иметь

137

место только тогда, когда траектория лежит в плоскости, проходя­ щей через центр тяготения. Этот вывод непосредственно следует из определения момента импульса точки, движущейся относитель­ но «неподвижного» центра тяготения:

L = r\/nv,

L = mvr sin а — rnv ■h — mv4r,

где г — полярный радиус-вектор точки с массой т относительно

центра тяготения, ѵ — скорость этой точки, /г — плечо импульса,

v(f — азимутальная проекция скорости (см. рис. 21 и 31).

>

Вектор L, как видим, перпендикулярен плоскости, в которой

лежат векторы г и тѵ. Эта плоскость проходит через центр тяго­ тения.

Неизменность направления вектора L означает неизменность

положения плоскости (г, ѵ) в пространстве. Это значит, что вектор

скорости тела ѵ лежит все время в одной плоскости, т. е. что движение в поле тяготения одного тела является плоским движе­ нием.

Это проявляется в движении искусственных спутников Земли следующим образом.

Плоскость орбиты спутника неизменна в пространстве относи­ тельно «неподвижных» звезд, а Земля вследствие суточного вра­ щения поворачивается относительно плоскости орбиты спутника, пересекая ее разными своими участками, как бы «навивая» орбиту на себя.

Второй вывод из закона сохранения момента импульса состоит в том, что из постоянства модуля момента импульса вытекает вто­ рой закон Кеплера. Докажем это.

Рассмотрим бесконечно малое перемещение точки т по ее ор­ бите: за бесконечно малый промежуток времени dt она пройдет по орбите дугу dl,

138

Рассмотрим выражение г dl sin а. Докажем, что оно равно удво-

енной площади сектора, описанного радиус-вектором г за промежу­ ток времени dt. В АОАВ угол А вследствие малости угла d<p мож­ но считать равным углу а (как соответственные при «параллель­ ных» прямых OB и ОА). Тогда величина dl sin а в АОАВ будет означать высоту этого треугольника, а основание ОА можно поло­ жить равным г ввиду малости dcp. Площадь треугольника dS опре­ деляется так:

d S= -— r d h = ~ - r d l sin а.

Отсюда

вектором движущейся точки в единицу времени. Она называется векториальной скоростью. Таким образом, приходим к выводу, что при движении в поле тяготения секториальная скорость тела остается постоянной. Это и есть второй закон Кеплера, пли закон площадей. Из вывода этого закона следует, что он справедлив не­ только для движения планет солнечной системы, но и для всякого движения в поле центральной силы. Так, второй закон Кеплера выполняется для движения по параболическим и гиперболическим орбитам в поле тяготения, т. е. для всех космических объектов, ко­ торые можно считать тяготеющими к одному центру, для электрона в поле атомного ядра, для рассеяния а-частиц на атомном ядре.

Двух законов сохранения — энергии и момента импульса — оказывается вполне достаточно для исчерпывающего решения кеплеровой задачи.

Запишем выражение для полной энергии Е частицы в функции полярных координат и их производных по времени, т. е. соответ­ ствующих скоростей:

139