книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

Приравняем кинематическое значение центростремительного ускорения любой планеты солнечной системы (номер которой обо­ значим і) его динамическому значению, т. е. отношению силы тяготения планеты к Солнцу к массе этой планеты:

В отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к кубу радиуса ее круговой орбиты не входят, как видим, характеристики планеты: это отношение зависит только от массы А? центра тяготения, в данном случае — Солнца. Значит, это отноше­ ние действительно одинаково для всех планет солнечной системы.

Сопоставление закона тяготения Ньютона с законами Кеплера методически может быть осуществлено двумя взаимно противо­ положными путями: или законы Кеплера вывести из законов Нью­ тона, пли, наоборот, закон тяготения — из законов Кеплера с учетом второго п третьего законов ньютоновской динамики. Как будет впднб из дальнейшего, в классической механике все за­ коны Кеплера получаются как следствия решения так называе­ мой задачи Кеплера. Она ставится так: найти движение частицы (тела), находящейся под действием силы, обратно пропорцио­ нальной квадрату расстояния от источника этой силы. Как ви­ дим, кеплерова задача и, следовательно, ее решение в равной мере относится как к движению массы в поле тяготения другой массы, так и к движению электрического заряда в поле другого точеченого заряда. В частности, законы Кеплера используются и для классического описания движения электрона в атоме водо­ рода.

При сопоставлении законов Кеплера с законом тяготения Нью­ тона полезно сразу обратить внимание учащихся на то, что законы Кеплера относятся не только к движению планет вокруг Солнца, но и к движению любой массы вокруг другой массы, во много раз большей первой. (Эта большая масса называется центром тяготения.) В частности, все законы Кеплера справедливы, и Для движения спутников Земли, как искусственных, так и естественного — Луны. Только в третьем законе Кеплера в этом случае в качестве массы центра тяготения следует брать, естественно, массу Земли. Подробнее это будет рассмотрено ниже.

Вспомогательный характер законов Кеплера в классической механике, конечно, не умаляет громадной исторической ценности этих законов. Здесь можно провести такую аналогию.

Международная система единиц (система СИ) сделала бес­ содержательной в научном отношении дальнейшую работу по уточнению механического эквивалента теплоты, объявив калорию

120

просто вспомогательной единицей энергии или работы, или коли­ чества теплоты, связав ее с основной энергетической единицей — джоулем — следующим соотношением: 4,1868 дою = 1 кал (точно). Это соотношение по определению считается абсолютно точным и не подлежит никакому дальнейшему «уточнению».

Это вполне соответствует духу закона сохранения п превра­ щения энергии: количественная мера энергии остается неизмен­ ной при ее всевозможных превращениях, поэтому и измерять энер­ гию во всех случаях следует одной мерой. «Свержение» калории как основной энергетической единицы, конечно, не умаляет исто­ рической заслуги Джоуля, своими опытами по определению'меха­ нического эквивалента теплоты способствовавшего упрочению в физике закона сохранения энергии.

взаимодействия и являлся путеводной звездой в открытии новых законов взаимодействия. Так, Кулон для взаимодействия непод­ вижных электрических зарядов нашел закон того же вида, что и закон Ньютона; Ампер для взаимодействия элементов тока, т. е. движущихся электрических зарядов, тоже нашел закон «по об­ разу и подобию» ньютонова закона тяготения.

В связи с законом тяготения Ньютона возникает принципи­ ально важный для всей физики вопрос: как могут два тела взаи­ модействовать через пустоту (в частности, массы — тяготеть друг к другу)? На этот вопрос в разное время в физике (и в филосо-' фни) отвечали по-разному, и соответственно этому существовали две прямо противоположные концепции — дальнодействия и близкодействия, о чем уже говорилось ранее.

Теория дальнодействия утверждает, что действие одного тела на другое передается мгновенно на любые расстояния. Закон тяго­ тения Ньютона, как уже говорилось ранее, как раз и соответствует идее дальнодействия, поскольку в этот закон не входит ни время распространения тяготения от одной массы до другой, ни скорость распространения тяготения. То же самое можно сказать и про законы взаимодействия электрических зарядов и токов.

В противоположность теории дальнодействия концепция близкодействия исходит из того, что всякое взаимодействие осущест­ вляется через посредство особой реальности — физического поля. Идея близкодействия упрочилась в физике благодаря работам великих английских физиков Майкла Фарадея и Джемса Кларка Максвелла. Фарадей впервые ввел • в физику представление об электрическом и магнитном полях, а Максвелл, обобщив опыты и идеи Фарадея и введя свои идеи, построил теорию электромагнит­ ного поля и теоретически предсказал существование электромаг­

нитных волн.

. Сущность идеи близкодействия состоит в следующем. Каждое из взаимодействующих тел создает вокруг себя особую реаль­ ность, особый вид материи — то пли иное физическое поле: масса создает поле тяготения, электрический заряд — электрбмагнитное

121

поле и т. д. Действие одного тела на другое передается через поле и не сразу, а от одной точки поля к другой, т. е. на близкое расстояние (отсюда и название — блнзкодействне). Причем дейст­ вие передается не мгновенно, а с некоторой конечной скоростью. Поясним это примером.

Предположим, что масса Солнца мгновенно уменьшилась вдвое. Согласно закону тяготения Ньютона сила тяготения Земли к Солнцу уменьшится тоже вдвое. Но спрашивается: когда Земля «почувствует» это? Сам закон Ньютона отвечает на этот вопрос в духе теории дальнодействия: Земля почувствует это в то же мгно­ вение.

Полевая же теория блпзкодействия отвечает на этот вопрос иначе: Земля почувствует уменьшение массы Солнца с некоторым опозданием, и вот почему.

Солнце притягивает Землю не непосредственно, не само по себе, а оно создает вокруг себя поле тяготения, и это поле тяготе­ ния Солнца обусловливает возникновение силы тяготения, дейст­ вующей на Землю, находящуюся в поле тяготения Солнца. Можно даже упростить эту обычную осторожную формулировку и ска­ зать просто и ясно: Солнце создает поле тяготения, и это поле действует на Землю. Таким образом, на Землю действует не само Солнце непосредственно, а его поле тяготения. И если масса Солнца уменьшится вдвое, то ослабнет вдвое и его поле тяго­ тения. Однако это ослабление поля произойдет не сразу на любых расстояниях, а в следующей последовательности. Вначале поле ослабнет только в тонком слое поля, непосредственно прилегаю­ щем к Солнцу. В этом слое, как говорят, произойдет возмущение поля тяготения. Во всех остальных местах поле еще останется невозмущенным. Возмущение поля (уменьшение его вдвое) будет распространяться во все стороны с некоторой конечной скоростью и через некоторое время достигнет Земли. Ослабев вдвое, поле будет действовать на Землю с вдвое меньшей силой. Описанный механизм распространения возмущеция поля тяготения напоми­ нает описание процесса распространения волны. Более того, это и есть волна — так называемая гравитационная волна. В сущности, всякая волна — это процесс распространения какого-либо возму­ щения: звуковая волна — это распространение возмущения (т. е. изменения) плотности и давления среды, например воздуха, элект­ ромагнитная волна — распространение возмущения (изменения) электромагнитного поля; гравитационная волна — распространение возмущения или изменения гравитационного поля н т. д. Когда мы, желая привести шарик в движение, ударяем по нему молот­ ком, то, кроме ожидаемого эффекта, слышим еще и звук. Звучит шарик. Почему? Дело в том, что шарик в месте удара деформи­ руется, при этом изменяются расстояния между частицами тела на ударяемом конце его. Это возмущение, т. е. деформация, распро­ страняется по шарику в виде волны. Такая продольная волна уп­ ругой деформации и называется звуковой волной или просто зву­ ком. Деформация шарика порождает деформацию и среды, в ко­

122

торой шарик находится, в данном случае воздуха, причем сжатие шарика порождает разрежение воздуха в этом месте, расширение шарика — сжатие воздуха. Плотность воздуха окажется' возму­ щенной, и возмущение плотности будет распространяться в нем в виде' волны — звуковой волны с определенной скоростью — со скоростью звука в воздухе. В шарике звук распространяется, ко­ нечно, с иной скоростью, чем в воздухе. Этот простой пример иллюстрирует то общее положение, что в физике мы по необхо­ димости встречаемся с волнами на каждом шагу: ведь физика изучает различные движения, движения же приводят к различным изменениям (возмущениям) параметров физической системы, а всякие возмущения распространяются в виде волн различной фи­ зической природы. Причем различные волны распространяются с различными по величине конечными скоростями.

Согласно общей теории относительности скорость гравитацион­ ной волны равна скорости световой волны с в вакууме; тяготение распространяется со скоростью света.

Возвращаясь к сопоставлению теорий близко- и дальнодействия, скажем, что согласно теории близкодействия любое возмущение поля тяготения Солнца будет воспринято на Земле через 8 мин 19 сек. Это время запаздывания представляет собой как раз то время, в течение которого волна тяготения шла от своего источни­ ка (Солнца) до места наблюдения (Земли). Столько времени, ко­ нечно, идет и свет от Солнца до Земли.

Можно сказать, что разница между теориями дально- и блпзкодействня состоит в различии скоростей передачи воздействия: она полагается бесконечно большой, а передача — мгновенной на любые расстояния в теории дальнодействия и конечной величиной в теории близкодействия. Вот почему выводы теории относитель­ ности переходят в результаты ньютоновской физики, если в реля­ тивистских формулах положить скорость света бесконечно боль­ шой (с = оо). Вся нерелятивистская физика проникнута идеей дальнодействия. В современной физике предпочтение отдается безоговорочно концепции близкодействия. Во-первых, теория блнзкодействня — это теория физических полей, которые очень прочно вошли в физику. Во-вторых, в современной физике прочно укоре­ нилось представление о том, что в природе ничто не совершается мгновенно, в том числе и передача взаимодействия. Более того, теория относительности установила верхний предел для скорости передачи всяких взаимодействий — это скорость, равная скорости света в вакууме ста 300 000 км/сек. Так что обо всем, что про­ исходит на Солнце, мы узнаем с опозданием на 8 мин 19 сек и принципиально не можем узнать раньше.

Хотя закон тяготения Ньютона, созданный в духе теории дальнодействия, не соответствует полевому духу современной фи­ зики, это отнюдь не означает, что этот закон не играет никакой роли в современной физике. Эйнштейн, создав общую теорию относительности, открыл другой закон тяготения, носящий его имя и удовлетворяющий концепции близкодействия. Правда, он очень

123

сложен, II о его формулировке в средней школе не может быть и речи. Однако при всей своей сложности зако/а тяготения Эйн­ штейна, как это II должно быть, удовлетворяет принципу соот­ ветствия; при определенных условиях во многих интересных для физики и астрономии случаях, для не слишком сильных полей тяготения (что это значит, будет сказано ниже), выводы общей теории относительности практически совпадают с результатами ньютоновской теории тяготения, основанной на ньютоновом законе тяготения. И сейчас, в сложнейших вопросах общей теории отно­

проверяет свой курс. Как бы ни была точна ОТО, при определен­ ных условиях она дает те же результаты, что и теория Ньютона. Это значит, что ньютонов закон тяготения, хотя и является при­ ближенным законом, при определенных условиях дает вполне на­ дежные результаты. В этих границах его действие не будет поко­ леблено ни общей теорией относительности,“ ни еще более совер­ шенной физической теорией, которая придет ей на смену. Громад­ ное здание небесной механики построено на фундаменте ньютонова закона тяготения. И космические полеты, которые сейчас рассчи­ тываются по закону Ньютона, еще долгое время будут по нему рассчитываться. Закон тяготения Ньютона сохранил свое значение и в наше время, и поэтому здесь будут рассмотрены некоторые следствия из него.

Итак, в соответствии с теорией блпзкодействия будем исходить из того, что каждая масса создает вокруг себя особое поле — так называемое поле тяготения. Оно как бы «размазано» по всему пространству вокруг создающей его массы. В качестве силовой характеристики поля тяготения в каждой его точке вводят специ­ альную величину — напряженность поля тяготения.

§ 3. НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ

Напряженностью поля тяготения в данной его точке называется векторная величина, равная силе, действующей на единичную массу, помещенную в данную точку поля. Как видим, определение напряженности поля тяготения совпадает с определением напря­ женности электрического поля (электрический заряд заменен мас­ сой). Согласно же второму закону Ньютона, если силу тяготения разделить на массу, то получим ускорение, сообщаемое этой силой. Следовательно, напряженность поля тяготения представляет собой

не что иное, как ускорение g, сообщаемое телу силой тяготения. Для поля тяготения материальной точки или тела со сфери­ чески симметричным распределением массы имеем из ньютонова

закона тяготення (5.1):

124

Напряженность поля тяготения направлена всегда к массе, со­ здающей это поле. Напряженность іке электрического поля может быть в зависимости от знака заряда, его создающего, направлена как к источнику поля, так и от него.

В случае Земли напряженность поля тяготения представляет собой, очевидно, ускорение свободного падения. Принимая Землю за шар со сферически симметричным, т. е. слоистым, распреде­ лением массы, получим из (5.4), положив массу центра тяготения равной массе Земли М, общую . формулу для модуля ускорения свободного падения к Земле на любом расстоянии от ее центра:

Ускорение свободного падения к Земле на ее поверхности по­ лучим, положив в этой формуле г равным радиусу Земли R:

Как видим, go всецело определяется массой Земли и ее радиу­ сом. Так что если бы радиус Земли уменьшился вдруг наполовину

Iпри неизменной массе ее, то все тела на Земле имели бы вчетверо большее ускорение свободного падения.

Формула (5.5) позволяет вычислить массу Земли. Подставив в нее go = 9,8 м/сек2 и R = 6370 км, получим сразу:

М ^б - 10а кг= 6 • 1021 т.

Кроме массы Земли, закон тяготения позволяет найти массу центрального тела по движению спутника вокруг него. Естест­ венные п искусственные спутники в динамическом отношении со­ вершенно равноправны. Например, по движению планеты солнеч­ ной системы можно вычислить массу Солнца, пользуясь третьим законом Кеплера (5.3):

Здесь а,- — большая полуось эллиптической орбиты планеты, так как в законе Кеплера в качестве «расстояния» планеты от Солнца стоит именно большая полуось орбиты а*, в случае круговой ор­ биты она совпадает с ее радиусом. Произведенные вычисления дали для массы Солнца следующую величину:

М0= 2 • 1030 кг=330 000 ЛГ3.

В случае искусственного спутника Земли (ИСЗ) можно по формуле (5.3) вычислить массу Земли, измерив параметры орби­ ты спутника. Отклонения орбиты ИСЗ от «правильной» формы

125

используется для уточнения «фигуры» Земли, т. е. формы ге­ оида.

Поле тяготения, напряженность которого (по величине и на­ правлению) постоянна во всех точках, называется однородным полем. Это определение всякого однородного поля, например и электрического, и магнитного. Линин напряженности всякого одно­ родного поля параллельны между собой. Поле тяготения Земли на сравнительно небольших участках ее поверхности в первом при­ ближении может считаться однородным. Именно поэтому оказы­ вается, что тело, брошенное под углом к горизонту, может счи­ таться движущимся по параболе, хотя, строго говоря, как будет видно из дальнейшего, оно движется по дуге эллипса.

Если поле тяготения создано не одной, а несколькими массами, как это и бывает в действительности, то напряженность такого

«сложного» поля тяготения находится согласно принципу супер- -»

позиции как векторная сумма напряженностей полей gi, создавае­ мых отдельными массами:

s '= â 'i+ s ’2+ • • • + g ? i= JS Si- i=l

Например, так называемое свободное падение тела на Землю •— это движение в поле тяготения, являющемся результатом супер­ позиции многих полей тяготения: Земли, Луны, Солнца, планет солнечной системы и т. д. Правда, основную долю в напряжен­ ность результирующего поля для околоземной области вносит на­ пряженность земного поля тяготения, но в «открытом» космосе роль различных полей может меняться при переходе от одного «района» поля к другому. Поэтому в теории тяготения, кото­ рая не должна своп законы привязывать к какому-либо «приви­ легированному» космическому телу, например к Земле, важную роль играет не ускорение силы тяготения к Земле, а более общая величина — напряженность любого поля тяготения.

По этой причине ускорение силы тяготения к Земле при рас­ смотрении принципиальной стороны вопроса не следует отожде­ ствлять с ускорением свободного падения (даже около 'Земли), так как оно происходит в поле тяготения, строго говоря, многих тел.

Напряженность поля тяготения является динамической, силовой характеристикой этого поля. Кроме нее, поле тяготения, как и любое другое потенциальное поле, определяется еще и другой ве­ личиной, которая является энергетической характеристикой поля и связана с понятием потенциальной энергии.

§ 4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

Ввиду важности вопроса о потенциальной энергии рассмотрим его подробнее. В методическом отношении он представляет опре­ деленные трудности.

126

Потенциальная энергия — это один из видов энергии наряду с кинетической. Понятие энергии вводится следующим образом: про тело пли систему тел, которые могут произвести работу, гово­ рят, что они обладают энергией. Количественно энергия системы тел (или, в частном случае, одного тела), находящейся в данном состоянии, оценивается работой, которую может произвести эта система при переходе ее из данного состояния в некоторое другое, энергия которого принимается у с л о в н о за начальный уровень энергии.

Так, в качестве меры кинетической энергии, т. е. энергии, об­ условленной скоростью движения, принимается работа, которую может произвести это тело против силы сопротивления при изменении скорости его от данного значения до нуля, т. е. до остановки. Из этого условия получаются известные формулы для кинетической энергии в ньютоновской и релятивистской дина- . мике.

Энергию часто определяют так: энергия — это функция состоя­ ния системы, изменение которой равно работе. То, что энергия — функция состояния, означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение ее энергии не з а в и с и т от того, каким путем или каким способом, быстро или медленно эта си­ стема перешла из начального состояния в конечное. Выбор со­ стояния. энергия которого принимается за «начало отсчета энер­ гии», строго говоря, совершенно произволен и диктуется лишь условиями задачи и соображениями удобства.

В механике задать состояние системы тел — это значит задать координаты (пространственное положение) и скорости (или им­ пульсы) всех тел системы. Следовательно, поскольку энергия си­ стемы тел есть функция ее состояния, то это значит, что энёргня си­ стемы в самом общем случае может зависеть от координат и ско­ ростей составляющих ее тел. Соответственно этому в механике рассматриваются только два вида энергии: энергия, зависящая только ог скоростей тел, — кинетическая энергия системы, н энер­ гия, зависящая только от координат тел системы, — потенциаль­ ная энергия системы. Никаких других «видов» энергии в механике нет и быть не может.

Все конкретные сведения о кинетической энергии, сообщаемые в школьном курсе физики, полностью соответствуют этим общим идеям. Действительно, движущееся в данной системе отсчета тело может совершить работу. Например, молоток, вгоняя гвоздь в доску, совершает работу против силы сопротивления доски. Зна­ чит, молоток обладает энергией. Его энергия обусловлена ско­ ростью, значит, это кинетическая энергия. Для ее количественной оценки нужно выбрать начальный уровень кинетической энергии. За таковой можно выбрать кинетическую энергию при любой, но определенной скорости, например 5 м/сек, или 1 м/сек, или 0, но этот выбор надо сделать в данной задаче определенным образом. \ Очевидно, что энергия, обусловленная скоростью, полностью про­ явит себя, если она уменьшится от данного значения до нуля.

127

Именно из этого условия получаются известные формулы для ки­ нетической энергии в ньютоновской н релятивистской динамике.

С потенциальной же энергией дело обстоит гораздо сложнее. Школьная трактовка ее часто не соответствует приведенным выше соображениям. Прежде всего, в средней школе иногда говорят о потенциальной энергии одного тела, поднятого над поверхностью Земли. Это неверно. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Выше говорилось, что потенциальная энергия системы тел (именно системы, т. е. совокупности тел, а не одного тела) — это энергия, зависящая от координат тел. Рассмотрим для про­ стоты систему, состоящую только из двух тел. Пусть эти тела

тическая энергия аддитивна: кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий всех тел системы. Потенциаль­ ная энергия, как увидим, вообще говоря, таким свойством не обладает. Спрашивается, обладает лп' эта система из двух тел потенциальной энергией? Для ответа на этот вопрос надо выяс­ нить, могут ли эти тела сами совершить работу при переходе в другое состояние, т. е. при изменении координат.

Но для совершения работы одного относительного переме­ щения тела мало. На него должна действовать сила. Поскольку речь идет о работе самой системы, то силы тоже должны при­ надлежать самой системе, должны быть внутренними силами, т. е. силами взаимодействия между телами системы. Поэтому говорят, что потенциальная энергия — это энергия взаимодейст­ вия. В качестве меры потенциальной энергии системы следует взять работу силы взаимодействия при перемещении тел системы из данного их расположения в некоторое начальное или, наобо­ рот, конечное, относительно которого и будет отсчитываться по­ тенциальная энергия. Но как выбрать это начальное состояние? Ответ ясен: произвольно (считаясь только с удобством рассмотре­ ния) .

Подобно тому как мера кинетической энергии устанавливается I по максимуму ее проявления (пока тело не остановится), так п в качестве меры потенциальной энергии берут работу сил взаимодей­ ствия тел системы при взаимном их удалении на бесконечно боль­ шое расстояние друг от друга (когда тела уже не взаимодейст­ вуют между собой). Потенциальную энергию невзаимодействующих тел условились считать равной нулю. Отсюда следует, что потен­ циальная энергия является н е о д н о з н а ч н о й в е л и ч и н о й :

она определена с точностью до произвольной постоянной, которой является начальный уровень отсчета потенциальной энергии. Ни­ каких затруднений это, однако, не составляет, поскольку в физике важна работа сил, а она равна разности энергий в конечном.н начальном состояниях, а эта разность не зависит от начального уровня энергии.

Итак, потенциальная энергия системы взаимодействующих тел

— это физическая величина, численно равная работе, совершаемой

128

силами взаимодействия при взаимном удалении всех тел системы из данного расположения на бесконечное расстояние друг от друга.

Работа сил может быть как положительной, так и отрицатель­ ной. Если взаимодействие носит характер отталкивания (напри­ мер, одноименные электрические заряды), то при удалении тел в бесконечность силы отталкивания совершат положительную ра­ боту. Следовательно, потенциальная энергия системы о т т а л к и ­ в а ю щ и х с я тел п о л о ж и т е л ь н а . Наоборот, если взаимо­ действие состоит во взаимном притяжении тел системы (взаимное тяготение масс, притягивание разноименных электрических заря­ дов), то сила и перемещение имеют разные знаки и работа силы взаимодействия при перемещении в бесконечность отрицательна. Следовательно, потенциальная энергия системы взаимно п р и ­ т я г и в а ю щ и х с я тел о т р и ц а т е л ь н а .

Например, потенциальная энергия тяготеющих масс отрица­ тельна.

В школьном курсе физики потенциальная энергия тела, под­ нятого над землей, считается положительной и равной mgh (см. стр. 132).

Далее возникает более сложный вопрос: где сосредоточена по­ тенциальная энергия, что или кто является ее носителем? В случае кинетической энергии носителем энергии является само движу­ щееся тело. Но в случае потенциальной энергии вопрос этот да­ леко не столь прост. Прежде чем отвечать непосредственно на него, обратим внимание на то, что потенциальная энергия относится ко

у нее одна.

Таким образом, в случае системы взаимно тяготеющих тел «ка­ мень -ф- Земля» потенциальную энергию тяготения следует отно­ сить ко всей' системе, а не к одному какому-нибудь телу, не к камню, как это часто делается. Ведь камень и Земля в этом от­ ношении совершенно равноправны: камень притягивается Землей, но и Земля с такой же силой притягивается камнем согласно третьему закону Ньютона. Камень удаляется от Земли при его подъеме. Но ведь и Земля при этом удаляется от камня. А для характеристики потенциальной энергии важно взаимное удаление взаимодействующих тел, как это подчеркивалось в приведенных выше формулировках. Так что правильно говорить следует так: «Потенциальная энергия системы «камень -(- Земля». Можно от­ нести потенциальную энергию и к камню, но тогда следует гово­ рить: «Потенциальная энергия камня относительно Земли». С та­ ким же правом можно говорить и о потенциальной энергии Земли по отношению к камню.

Поскольку потенциальная энергия зависит от сил взаимодей­ ствия, которые могут иметь различную физическую природу и по-разному зависеть от расстояния между взаимодействующими телами, то очевидно, что нельзя дать единой окончательной фор-