книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

то его момент инерции остается постоянным, его можно вынести

времени, называется угловым ускорением е:

du)

8 = “5 Г ‘

Тогда закон динамики для вращательного движения (4.16) можно будет записать в виде

Словами он формулируется следующим образом: произведение момента инерции на угловое ускорение тела равно моменту внеш­ них сил, действующих на это тело.

К закону (4.18) можно принта и опытным путем, с помощью так называе­ мого крестообразного маятника, или маятника Обербека, изображенного на ри­ сунке 26.

На крестовине симметрично располагаются грузы с одинаковыми массами. К концу нити, намотанной на шкив, могут прикрепляться грузы, различные по массе. Шкивов может быть не один, а не­ сколько различных радиусов. Сила натяжения инти создает момент, действующий на кре­

стовину с грузами.

Важно отметить, что при опускании груза на нити крестовина приходит в ускоренное вращение: угловая скорость возрастает со временем, крестовина вращается все быстрее и быстрее. Это имеет место при постоянном моменте силы. Момент силы сообщает телу (крестовине) угловое ускорение, т. е. изме­ няет его угловую скорость, совершенно ана­ логично тому, как при поступательном дви­ жении сила сообщает телу ускорение, т. е. изменяет его скорость.

О величине углового ускорения можно су­ дить по времени опускания груза: оно тем меньше, чем больше угловое ускорение. Ме­ няя массу опускающегося груза и радиус шкива, можно ’установить, что угловое уско­ рение тем больше, чем больше момент силы. При одном и том же моменте силы и при од­ ной и той же массе вращающегося тела уг­ ловое ускорение зависит от распределения массы вращающегося тела относительно осп

ПО

вращения: чем дальше грузы от оси вращения, тем меньше угловое ускорение. Можно сказать, что в этом случае инерция тела по отношению к вращению больше, хотя масса тела остается неизменной. Это значит, что во вращатель­ ном движении масса уже не является мерой инертности. Мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции. Чем дальше данная масса расположена от оси вращения, тем больше ее момент инерции. В положении б, показанном па рисунке 26, момент инерции грузов больше, чем в положении а, когда грузы расположены ближе к оси вращения. Как видно из определения (4.14), момент инерции данного тела зависит от положения оси вращения; мо­ менты инерции тела относительно различных осей, вообще говоря, различны. В справочниках приводятся моменты инерции тел различной формы относи­ тельно осей, проходящих через центры масс' этих тел. Для вычисления момента инерции относительно произвольной оси вращения удобно пользоваться соот­ ношением, составляющим содержание так называемой теоремы Штейнера, пли теоремы Гюйгенса: момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, сложенному с произведением массы тела на квад­ рат расстояния между осями.

Целью приведенного здесь рассмотрения было показать, что динамика вращательного движения является результатом приме­ нения законов Ньютона к элементам вращающегося тела.

Из изложенного видно, что формулы динамики вращательного движения аналогичны соответствующим формулам динамики по­ ступательного движения. Оказывается, эта аналогия простирается довольно далеко, и формулы механики вращательного движения можно получить из механики поступательного движения, учтя следующее соответствие между физическими величинами; линей­ ному перемещению соответствует угловое перемещение, т. е. угол поворота, линейной скорости — угловая.скорость, линейному ус­ корению — угловое ускорение, массе — момент инерции, силе — момент силы, импульсу — момент импульса.

Воспользовавшись этой аналогией, можно без вывода получить верные формулы, например, для работы и мощности при враще­

Мощность при вращении равна произведению момента силы на угловую скорость вращения:

М=Мсо. (4.20)

Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине про­ изведения момента инерции тела на квадрат угловой скорости вращения:

Идя таким путем, по аналогии можно построить механику вра­ щательного движения.

Ill

Эта аналогия выявляется и при анализе физического содержа­

Это значит, что если на тело не действуют внешние силы или действуют, но так, что векторная сумма их моментов равна нулю, то момент импульса тела остается постоянным по величине и на­ правлению (сохраняется). Это частный случай закона сохране­ ния момента импульса применительно к одному телу. Вот некото­ рые примеры его проявления.

Если при AI = 0 момент инерции тела при вращении изменя­ ется, то угловая скорость вращения тоже изменяется, причем так, что момент импульса тела остается постоянным:

Лещ= /г(02-

При уменьшении момента инерции угловая скорость увеличи­ вается, при увеличении момента инерции угловая скорость вра­ щения убывает. Этим пользуются балерины н фигуристы на конь­ ках: складывая руки на груди и сводя ноги, они уменьшают свой момент инерции; вследствие этого их угловая скорость вращения увеличивается. Наоборот, для быстрой остановки вращения они разводят руки и ноги в стороны, увеличивая тем самым свой мо­ мент инерции; угловая скорость при этом уменьшается, и погасить ее совсем уже не так трудно.

Если при М = 0 момент инерции тела остается постоянным, то из сохранения момента импульса вытекает сохранение вектора узловой скорости:

о —const при М = 0 и / = CQJISt.

При равенстве нулю момента внешних сил тело сохраняет ве­ личину и направление угловой скорости: оно или покоится, или равномерно вращается. Это есть выражение принципа инерции для вращательного движения, который можно сформулировать аналогично принципу инерции для поступательного движения: тело сохраняет состояние покоя или равномерного вращения до тех пор, пока момент внешних сил не изменит этого его состоя­ ния.

Важно отметить, что подобно тому как равномерное прямоли­ нейное движение не требует внешней силы для своего поддержа­ ния, так и для равномерного вращения (со = const) не требуется внешнего воздействия. Внешнее воздействие (сила в одном случае, момент силы — в другом) лишь изменяет скорость движения, со­ общая линейное ускорение в первом случае и угловое ускорение — во втором.

Иллюстрацией чрезвычайной распространенности вращатель­ ного движения во Вселенной является вращение нашей Земли,

112

V

Это значит, что если на систему тел не действуют внешние силы или, в общем случае, если результирующий момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то момент импульса системы тел остается постоянным (сохраняется). Это утверждение назы­ вается законом сохранения момента импульса системы тел.

Следует иметь в виду, что условие справедливости закона со-

чтобы на нее вообще не действовали внешние силы. Внешние силы могут действовать, нужно только, чтобы их моменты в сумме дали нуль.

Профессор Н. Е. Жуковский предложил наглядные демонстрации этого закона, они вошли в физику как «опыты на скамье Жуковского». Вот некото­ рые из них.

1. Учащийся пли преподаватель садится на скамью Жуковского, т. е. на стул (или табуретку), который может вращаться вокруг вертикальной оси благодаря подшипнику, берет в руки гири и сводит руки на груди. Затем дру­

практически равномерно, если трение в подшипнике и сопротивление воздуха (внешние воздействия) достаточно малы. Затем сидящий разводит руки в стороны. Вследствие этого скорость вращения уменьшается. Сближение же рук приводит к увеличению скорости вращения. И объяснить это очень просто, ис­ ходя из закона сохранения момента импульса.

Поскольку внешние силы не принимаются во внимание, то можно счи­ тать, что их момент равен нулю, а в таком случае должен сохраняться момент импульса вращающегося человека при разведении и сведении рук:

^2С02=Л<Т>1.

Так как при разведении рук момент инерции возрастает, а при их сближе­ нии уменьшается, то написанное соотношение объясняет, почему в первом случае скорость вращения уменьшается, а во втором — увеличивается. Этим широко пользуются артисты балета, фигуристы на коньках и спортсмены в упражнениях на перекладине, сальто и др.

2. Человек берет в руки за ось велосипедное колесо и садится с ним на неподвижную скамью Жуковского. Затем он располагает ось колеса вертикально и приводит его во вращение. При этом сам человек со скамьей приобретает

-э

ствия на колесо он равен нулю: /|Ші + /2 Ш2 = 0, так как <ві = ша=0. После воздействия на колесо в результате внутреннего взаимодействия по-прежнему должно быть:

/іО)/1-(-/2(0/2:= 0.

114

Но поскольку теперь скорость колеса со'г отлична от нуля, то должна быть отличной от нуля и скорость человека со'і, причем согласно написанному соот­ ношению

/ і о / і = — / 2 С 1 / 2 .

Это значит, что при получении одной частью системы под действием внут­ ренних сил момента импульса одного направления другая часть системы при­ обретает такой же по величине момент импульса, но противоположного направ­ ления, т. е. вращение в противоположном направлении.

Если вращающийся человек своей рукой остановит вращающееся колесо, то при этом он I I сам остановится, опять-таки согласно закону сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса можно проиллюстрировать также следующими демонстрациями.

1. Ыа стол ставится диск, могущий вращаться вокруг верти­ кальной оси («Земля»). На него ставится какая-нибудь заводная тележка («поезд»), которая привязывается к оси на некотором расстоянии от нее, с тем чтобы она могла двигаться но окружно­ сти. Если заведенную тележку поставить на диск, то в системе от­ счета, связанной со столом, «поезд» будет вращаться в одном направлении, а «Земля» — в противоположном. Опять-таки внут­ реннее взаимодействие поезда и Земли не может изменить их об­ щего момента импульса, поэтому приобретенные поездом и Землей моменты импульса должны быть одинаковы по величине и проти­ воположны по направлению. Противоположность направлений оче­ видна. Равенство же их модулей на этой демонстрации, конечно, непосредственно установить нельзя, но его можно «почувствовать», если учесть следующее. «Легкий» поезд (со сравнительно неболь­ шим моментом инерции) вращается быстрее, чем «Земля» с ее большим моментом инерции, как и должно быть согласно закону сохранения момента импульса.

Из этой демонстрации можно понять, что закон сохранения момента импульса представляет собоц, так сказать, «вращатель­ ный вариант» закона сохранения импульса. Поэтому иногда в лите­ ратуре момент, импульса называют вращательным импульсом, как говорилось ранее.

2. Если в электродвигателе дать возможность вращаться не только ротору, но и статору, то при вращении ротора в одном направлении статор приобретает вращение в противоположном на­

правлении.

Можно представить себе, как бы «вздрагивала» наша Земля от включения и выключения бесчисленных двигателей, от разгона и торможения поездов и автомобилей, если бы ее момент инерции был не столь большим. Правда, эти толчки сглаживаются несогла­ сованностью работы вращающихся «творений рук человеческих» и всевозможными направлениями их моментов импульса в прост­

ранстве.

3. Полезно обратить внимание учащихся на то, что при рез­ ком трогании легкового автомобиля задняя часть кузова опу­

ГЛАВА 5 ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

§ I. ВВЕДЕНИЕ

Изучение вопросов, связанных с тяготением, в методическом отношении чрезвычайно важно. Во-первых, сила тяготения, как уже отмечалось ранее, принадлежит к числу «фундаментальных* сил, и изучение движения под действием силы тяготения не менее важно, чем рассмотрение движения при наличии электрической или магнитной силы.

Во-вторых, в наше время, когда человек вышел в космос, зна­ ние закономерностей движения в поле тяготения становится обя­ зательным элементом общего образования.

При изучении тяготения уместно рассмотреть вопрос о весе и невесомости, который имеет важное значение в связи с осуще­ ствлением космических полетов.

Следует иметь в виду, что учение о тяготении привело к созда­ нию одной из замечательнейших физических теорий — общей тео­ рии относительности Эйнштейна, которая является в сущности теорией тяготения. Ознакомление с ней выходит за рамки данной книги (общая теория относительности не нашла пока отражения

вшкольном курсе физики).

§2. ПОНЯТИЕ О ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

Боснове теории тяготения лежит открытый Ньютоном закон всемирного тяготения. Официальной датой его открытия считается 1687 год — год выхода в свет знаменитых ньютоновских «Мате­ матических начал натуральной философии», где был опубликован и закон тяготения. В действительности Ньютон открыл этот закон лет на 20 раньше, но не по своей вине не смог получить сразу

удовлетворительного согласия его с опытными данными: в то время радиус Земли был известен недостаточно точно. Как только Землю «измерили» поточнее, Ньютон получил хорошее согласие между следствием из закона тяготения и опытом и только после этого решил опубликовать свой закон. Это хороший пример того, насколько требовательным к своим результатам был великий физик. Ньютонов закон тяготения гласим каждая из двух мате­ риальных точек притягивается (тяготеет) к другой с силой, нд-

117

правленной по прямой, соединяющей эти точки, и пропорциональ­ ной массе каждой точки, т. е. пропорциональной произведнию их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Размерный коэффициент пропорциональности у называется ньютоновской постоянной тяготения или ньютоновской гравитаци­ онной постоянной. Словом «ньютоновской» отмечается то обстоя­ тельство, что в современной физике используется и другая постоян­ ная тяготения. Именно в общей теории относительности исполь­ зуется «своя» постоянная тяготения. Опа называется эйнштейнов­ ской постоянной тяготения пли эйнштейновской гравитационной постоянной % 11 связана с ньютоновской постоянной тяготения у следующим соотношением:

8я Х =^гѵ-

Здесь с — как обычно, скорость света в вакууме. Даже в этом соотношении проявляется то обстоятельство, что скорость света в вакууме с — величина отнюдь не «посторонняя» для такой, каза­ лось бы, далекой от оптики области физики, как теория тяготе­ ния.

Ньютоновская постоянная тяготения была впервые измерена

.в 1798 г., т. е. спустя сто с лишним лет после открытия закона тяготения Ньютоном, английским ученым Кавендишем. Ввиду важ­ ности количественной величины постоянной тяготения для физики и астрономии ее измерения многократно повторялись и уточнялись различными методами. В настоящее время ньютоновская постоян­

Закон тяготения в виде (5.1) относится непосредственно только к материальным точкам. Для нахождения силы тяготения между реальными телами, когда их размеры не малы по сравнению с расстоянием между ними, необходимо оба тела разбить на эле­ менты (материальные точки), вычислить согласно (5.1) силу тяго­ тения каждой пары элементов тел (с учетом ее направления) и затем сложить (векторно) силы, действующие на все элементы

118

каждого тела. Эти в общем случае громоздкие расчеты приводят в частном случае к важному выводу, имеющему широкую область применения: тяготение тел со сферически симметричным распре­ делением масс (в частности, однородных шаров) можно рассчиты­ вать по формуле (5.1), беря в качестве расстояния между телами расстояние между их центрами.

Тяготение по закону Ньютона считается «всемирным», т. е. все­ общим. Это значит, что этот закон количественно характеризует взаимное тяготение любых точечных масс, где бы они ни находи­ лись: от атомов до галактик. Причиной центростремительного ус­ корения Луны при ее обращении вокруг Земли Ньютон считал силу тяготения Луны к Земле. Но согласно второму закону Нью­ тона сила тяготения Луны к Земле, деленная на массу Луны, опре­ деляет ускорение'Луны. Согласно закону тяготения Ньютона уско­ рение, сообщаемое силой тяготения, обратно пропорционально квадрату расстояния до притягивающего центра. Следовательно, центростремительное ускорение Луны во столько.раз меньше уско­ рения свободного падения тел на поверхности Земли, во сколько раз квадрат расстояния от Луны до центра Земли больше квад­ рата радиуса Земли. Этот вывод Ньютон и решил проверить. Центростремительное ускорение Луны можно было вычислить по формуле кинематики криволинейного движения:

где Г и г — соответственно известные из астрономии период обра­ щения Луны вокруг Земли и радиус лунной орбиты. Для пере­ счета ускорения силы тяготения к Земле с ее поверхности («нор­ мального» ускорения силы тяжести) на расстояние от Луны тре­ бовалось знание радиуса Земли. Ко времени открытия закона тяготения Ньютона он был известен недостаточно точно. И по­ этому пересчитанное на Луну ускорение силы тяготения к Земле не совпадало с центростремительным ускорением Луны. Это об­ стоятельство, как говорилось ранее, задержало опубликование Ньютоном открытого им закона тяготения. Как только радиус Земли измерили достаточно точно, рассчитанное по закону тяго­ тения центростремительное ускорение Луны совпало с его дейст­ вительным значением, вычисленным по параметрам реального движения Лумы. После этого Ньютон опубликовал свой закон.

Другим хорошим опытным подтверждением закона всемирного тяготения является вывод из него как следствий всех трех кине­ матических законов Кеплера, открытых в 1610—1619 гг. в резуль­ тате скрупулезнейшей математической обработки опытных данных по измерениям положений планет солнечной системы. Открытие третьего закона потребовало девяти лет напряженнейшей работы. О выводе двух первых законов Кеплера из закона тяготения Нью­ тона будет сказано ниже, при рассмотрении движения в поле тяго­ тения. Сейчас же дадим вывод третьего закона Кеплера, который предельно прост для круговых орбит, чем мы и воспользуемся.

119