книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

себе самой, лишь бы векторная сумма сил оставалась неизменной. Это можно проиллюстрировать следующим опытом.

Если спичечную коробку положить на гладкую поверхность стола и щелкнуть по ней в направлении вперед, то. если направ­ ление щелчка 'проходит через центр коробки, ома придет в посту­ пательное прямолинейное движение. Если же коробку щелкнуть сбоку, то коробка в этом случае придет и в поступательное, и во вращательное движение, однако центр масс коробки (ее центр) будет по-прежнему двигаться прямолинейно, в направлении силы, в соответствии с формулой (4.5).

Вот еще некоторые примеры, иллюстрирующие закон (4.5) движения центра масс.

Если бросить гаечный ключ вперед и вверх, то можно заметить, что при «кувыркании» ключа его центр масс будет двигаться по параболе, как материальная точка, брошенная под углом к гори­ зонту. Так и должно быть согласно (4.5), потому что к центру масс ключа приложена сила тяготения, действующая на весь ключ и равная произведению массы ключа на ускорение силы тяготения

(FT = mg). Тогда в правой части (4.5) масса тела сократится, и найдем, что ускорение центра масс равно ускорению свободного падения.

По этой же причине центр масс «рассыпавшихся»» огней празд­ ничного салюта продолжает двигаться по параболе.

Если представить себе ракету, стартующую с достаточно боль­ шой высоты над поверхностью Земли, так что продукты сгорания не ударяют о Землю и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то центр масс системы «ракета — выхлопные газы» будет, как это ни странно на первый взгляд, свободно падать на Землю с ускоре-

нием, равным g. Причина этого в том, что на движение центра масс влияют только внешние силы. Сила тяги ракеты — это внут­ ренняя сила. Внешними силами здесь являются силы тяготения, действующие на ракету и на выхлопные газы. И в этом случае, как и в случае с гаечным ключом, получим согласно (4.5), что ус­ корение центра масс равно ускорению свободного падения.

Если этот пример продолжить и в систему тел включить и Землю, то силы взаимного тяготения ракеты и газов, с одной сто­ роны, к Земле и Земли к ракете и газам — с другой, будут внут­ ренними силами системы. Ни сила тяготения, ни сила реактивной тяги ракеты теперь не будут влиять на движение центра масс системы этих тел. Поэтому центр масс системы Земля — ракета — газы и после старта будет продолжать двигаться по земной орбите вокруг Солнца, как и до старта. Сама Земляѵпри старте ракегы получает такой же импульс; как и ракета, но противоположного направления, и несколько смещается со своего места на около­ солнечной траектории, однако центр масс Земли, ракеты и газов от этого не изменяет своего положения. На его движение влияет только внешняя сила, а таковой теперь является сила тяготения

100

к Солнцу. Она-то и обусловливает дви­ жение центра масс Земли и земных тел по околосолнечной эллиптической ор­ бите.

При запуске космических кораблей Земля, строго говоря, испытывает от­ дачу. Правда, ее эффект практически мал из-за несоизмеримости масс Зем­ ли и запускаемых аппаратов, но в принципе Земля «чувствует» запуск каждого аппарата, как, впрочем, и каждого поезда.

§ 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Вращательное движение очень распространено в природе, и технике. Без знания основных законов вращательного движения со­ вершенно невозможно понять ни закономерностей движения пла­ нет и космических аппаратов, ни законов микромира.

В методическом отношении чрезвычайно важно провести ту идею, что законы вращательного движения — это не новые законы механики, а лишь результат приспособления «обычных» законов ньютоновской механики к данной задаче, запись их в виде, удоб­ ном для рассмотрения и решения задач, связанных с вращатель­ ным движением.-

К законам вращательного движения твердого тела можно подойти, рассматривая обычное движение материальной точки, хотя о вращении точки говорить бессмысленно. Иногда приме­ няются неверные выражения: материальная точка вращается, угло­ вая скорость вращения материальной точки по окружности. Нуж­ но говорить, что материальная точка просто движется по окруж­ ности. '

Очень важно для описания вращательного движения сразу же ввести две новые величины: момент импульса точки и момент силы. Эти величины играют в теории вращательного движения такую же большую роль, какую импульс и сила играют в дина­ мике поступательного движения.

Для введения понятия момента импульса рассмотрим-для про­ стоты свободную материальную точку с массой т. На нее по усло­ вию не действуют силы, поэтому она будет двигаться равномерно и прямолинейно в некоторой инерциальной системе отсчета. Возь­ мем произвольную точку О в этой системе (рис. 21) и проведем

радиус-вектор г материальной точки т относительно точки О. По определению моментом импульса материальной точки т относи-

тельно точки О называется векторная величина L, равная вектор­

101

Это значит, что величина (модуль) момента импульса равна:

дикулярно плоскости, в которой лежат векторы г и р.

Момент импульса еще называют моментом количества движе­ ния (старое, отживающее название, как іг само «количество дви­ жения»), вращательным импульсом, угловым моментом (главным образом в зарубежной литературе, в особенности в литературе по квантовой механике), кинетическим моментом (в основном в тео­ ретической механике).

Как видно из рисунка 21, величина г sin а = г sin а' = Іі пред­ ставляет собой расстояние точки О до направления импульса. Это расстояние можно назвать плечом импульса. Тогда можно сказать, что модуль момента импульса равен произведению импульса на его плечо относительно данной точки О. В таком виде определение момента импульса аналогично школьному определению момента силы. Как увидим, это не случайно.

Если при движении точки пг направление вектора L не нзме-

няется со временем, то это значит, что ориентация плоскости (г, р) в пространстве не меняется со временем, т. е. что движение яв­ ляется плоским и его траектория лежит в одной плоскости.

В частном случае движения точки по окружности, имеющем важное значение, момент импульса равен по модулю произведению

Направлен же он в этом случае перпендикулярно плоскости, в которой происходит движение.

Важно отметить, что моментом импульса может обладать тело, движущееся даже прямолинейно: для этого нужно только наличие импульса и его плеча. Тело, обладающее импульсом, может не обладать моментом импульса относительно одних точек О и обла­ дать им относительно других точек. Тело, обладающее импульсом, имеет момент импульса, равный нулю относительно тех точек О, для которых плечо равно нулю. Это такие точки, на которые «на­ целен» импульс.

Таким образом, момент импульса — величина относительная для одной и той же материальной точки, так как относительны обе

102

величины, определяющие его: и импульс (из-за относительности скорости), и плечо.

Момент импульса является, как говорилось, векторной вели­ чиной, но это вектор необычный. Обычные векторы характерны тем, что их начало совпадает с определенной точкой. По отноше­ нию к векторам скорости, ускоре­ ния, силы это всегда выполняется. Векторы, имеющие начало, млн полюс, иазываеются полярными векторами. В средней школе рас­ сматриваются только полярные векторы. Однако это не единст­

венный тип векторов. Момент импульса как раз не является по­ лярным вектором. Действительно, к какой точке приложен мо-

мент импульса? Может быть, к началу вектора р, т. е. к матери-

. -> альной точке? А почему не к началу вектора г? Ведь оба вектора

(р и /) входят в импульс на равных правах. Вопрос решается следующим образом. Принимается, что нельзя указать определен-

ной точки приложения вектора L: его точка приложения может «скользить» вдоль его направления. Поэтому вектор момента им­ пульса называется скользящим, или осевым, или чаще всего акси­ альным вектором (axse — в переводе с латинского означает «ось»). Момент импульса не единственный аксиальный вектор. Мы по­ знакомимся и с другими аксиальными векторами.

Единица момента импульса не имеет специального названия ни в одной системе единиц, в том числе и в СИ.

Введем теперь понятие момента силы. Причем рассмотрим слу­ чай, когда на движущуюся материальную точку m действует сила, направление которой не совпадает с направлением скорости и,

кроме того, векторы г, р, F не лежат в одной плоскости, т. е. не компланарны.

Момент силы определяется совершенно аналогично моменту

импульса: моментом силы F относительно точки О называется век­

торная величина М, равная векторному произведению радиус-век­

тора г точки m относительно точки О на вектор силы F:

103

Все, что говорилось о моменте импульса, относится и к моменту силы. В частности, модуль момента силы равен произведению мо­ дуля силы на ее плечо (рис. 22):

Это определение совпадает с тем, которое дается в школьном курсе физики. Однако между ними имеется существенная разница.' Она состоит в том, что формула (4.8) определяет момент силы относительно точки (О), тогда как в средней школе вводится мо­ мент силы относительно неподвижной оси вращения. Соотношение между ними следующее: момент, который рассмотрен выше и яв­ ляется исходным, — это момент именно относительно точки; мо­ мент же относительно оси, проходящей через эту точку, как можно показать, ‘равен проекции момента относительно точки на ось. Поэтому моменты относительно оси направлены всегда вдоль осп в ту или иную сторону («вверх» или «вниз»). Поэтому-то моменты импульса и силы и называются осевыми или аксиальными векто­ рами.

Как видно из рисунка 22, в общем случае направления момента импульса и момента силы относительно точки могут не лежать на

Направление момента силы, как и момента импульса, опреде­ ляется правилом правого винта: если головку винта вращать в

направлении от вектора г к F или р, то поступательное движение самого винта укажет направление соответствующего момента. Во­ обще полезно иметь в виду следующее общее положение: в физике правило винта вводится для определения направления всякой физической величины, определяемой с помощью векторного про­ изведения; в частности, правило буравчика в электромагнетизме для определения направления вектора напряженности магнитного поля обусловлено тем, что в исходной формуле, вводящей количе­ ственную характеристику магнитного поля — напряженность или индукцию, содержится векторное произведение.

Размерность момента силы (длина, умноженная на силу) сов­ падает с размерностью работы и энергии. Но это отнюдь не зна­ чит, что единица момента силы в системе СИ — ньютонометр — совершенно тождественна единице работы — ньютонометру, пли джоулю. В первом случае ньютонометр имеет смысл момента силы в 1 « при плече в 1 м, а во втором — работы силы в 1 н на пере­ мещении в 1 ж в направлении силы. Единицы момента силы, как и момента импульса, специального названия не имеют ни в одной системе единиц. В атомной физике «естественной» единицей мо­ мента импульса, своего рода квантом момента импульса, является постоянная Планка, равная в системе СИ:

h = 6,625 • ІО-34 дэк-сек {кгм2/сек — кг- м/сек- м).

104

Это значит, что изменение момента импульса материальной точки в единицу времени равно вектору момента силы. Оба мо­ мента всегда берутся относительно одной и той же точки или отно­ сительно одной и той же оси.

Применим формулу (4.10) сначала к произвольной Системе

Сумма моментов импульса отдельных точек системы называется моментом импульса системы:

LI-\-L2-{- ... -\-L-n—L.

Сумма же моментов сил, действующих на отдельные точки, назы­ вается главным вектором моментов сил, или результирующим мо­ ментом сил, или просто моментом сил, действующим на систему.

Мі+АІ2+ ... -\-Мп— М.

Таким образом, для системы материальных точек можно запи­ сать:

Это значит, что для системы материальных точек изменение момента импульса системы в единицу времени равно результирую­ щему моменту сил, действующему на нее.

Из (4.11) следует, что причиной изменения момента импульса является момент сил. Если же момент сил равен нулю, то момент импульса будет оставаться постоянным во времени. В этом и со­ стоит закон сохранения момента импульса. Он, в частности, спра­ ведлив для замкнутой системы, т. е. для системы материальных точек или тел, на которые не действуют внешние силы, а значит, не действует и момент сил.

Применим теперь закон движения системы (4.11) к твердому телу, которое может вращаться относительно неподвижной осп. Твердое тело можно рассматривать как систему с в я з а н н ы х материальных точек — элементов тела. Между его частями дей­ ствуют внутренние силы взаимодействия. Так как твердое тело, предоставленное самому себе, не приходит во вращение, т. е. не

106

приобретает момента импульса, то это значит, что внутренние силы не влияют и на вращательное движе­ ние твердого тела, а не только на поступательное. Это значит, что и для вращательного движения важны только в н е ш н и е силы.

Обосновать это утверждение бо­ лее строго можно следующим об­ разом.

Момент сил взаимодействия эле­ ментов твердого тела можно представить как сумму моментов сил

парного взаимодействия всех элементов тела.

Силы взаимодействия любых двух элементов согласно третьему закону Ньютона одинаковы по величине, противоположны по на­ правлению и действуют по одной прямой; их плечи поэтому одина­ ковы, а моменты противоположны и в сумме дают нуль.

Так обстоит дело со всеми парами элементов. Следовательно, момент сил взаимодействия относительно любой оси равен нулю и внутренние силы можно поэтому при расчете движения не учи­ тывать.

Специфика вращающегося твердого тела по сравнению с систе­ мой не связанных друг с другом материальных точек состоит в том, что при вращении твердого тела вокруг неподвижной осп все элементы его движутся по окружностям, причем все с одинаковой угловой скоростью, которая называется угловой скоростью враще­ ния твердого тела (со). Линейные скорости различных элементов различны в зависимости от расстояния от оси вращения, но угло­ вая скорость у всех одна. Поэтому естественно попытаться выра­ зить момент импульса твердого тела через его угловую скорость. Это можно сделать следующим образом.

Разобьем твердое тело на элементы (на рисунке 23 ось враще­ ния проходит через точку О перпендикулярно плоскости рисунка). Момент импульса каждого элемента согласно общему определе­

Теперь учтем, что при вращении твердого тела каждый его элемент движется по окружности, а в этом случае линейная скорость свя­ зана с угловой известным соотношением:

В эту формулу входит модуль скорости Ѵ{. Но в определение момента импульса входит вектор линейной скорости. Значит, про­ стейшей формулы (4.13) недостаточно. В механике рассматри­ вается соотношение между вектором линейной скорости и угловой скоростью при движении по окружности. При этом показывается, что угловую скорость следует считать величиной векторной. На­

107

правлен вектор угловой скорости по осп вращения, причем так, что выполняется правило правого винта: если головку винта вра­ щать в ту же сторону, в какую вращается твердое тело, то посту­ пательное движение винта как целого укажет направление угло-

вой скорости со; понятно, что со — а к с и а л ь н ы й вектор. В слу­ чае, изображенном на рисунке 23, вектор угловой скорости направ­ лен перпендикулярно плоскости рисунка от нас, если тело враща­ ется по часовой стрелке. В общем виде соотношение между векто­ рами линейной и угловой скоростей имеет следующий вид:

В этой формуле содержится и соотношение (4.13) между моду­ лями скоростей, и правило определения направления вектора.

Тогда (4.12) на основании (4.13) можно записать в таком виде:

ДLi = ГіX Ат-г (соX П)'= АпііГіX [соX П].

Так называемое двойное векторное произведение в правой ча­ сти согласно векторной алгебре выражается так:

ГіХ Т соХ п ] = со (П Г і ) — Г{ (rfco).

Скалярное произведение вектора на самого себя, т. е. квад­

Скалярная величина АпііГі2 называется моментом инерции ма­ териальной точки (элемента тела) АІр

Аіі — АіПіГі2.

Моментом инерции материальной точки относительно данной оси называется скалярная величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния от этой оси.

Теперь применим к твердому телу закон вращательного дви­ жения в виде (4.11), рассматривая твердое тело как систему материальных точек, и подставим в (4.11) выражение (4.14) для момента импульса каждого элемента тела:

Д/ПігД о) =М .

І= 1

108

Это общая формула для вычисления момента инерции любого тела. Для иллюстрации ее применения вычислим момент инерции однородного стержня с массой т и длиной I относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его кон­

цов.

Выбираем на стержне произвольный элемент бесконечно ма­ лой толщины dx, находящийся на расстоянии х от начала коорди­

На рисунке 25 приведены рассчитанные подобным образом фор­

а основной закон динамики для вращательного движе­ ния имеет вид:

Если распределение мас­ сы тела относительно данной оси вращения остается неиз­ менным при вращении тела,

109