книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике
.pdf490 ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Поэтому
a nm = g n ,n , если п 1 - \ ~ т г Ф 0. |
(2.89) |
Формулы (2.81) и (2.69) можно использовать для расчета Si и s2, если в выражениях, умноженных на А, использовать
решения невозмущенных уравнений. |
решений Ѳ. Будем теперь |
||||||||||
8. |
Определение |
приближенных |
|||||||||
аппроксимировать периодические поверхности с точностью |
|||||||||||
до членов первого порядка выражением |
|
|
|
|
|||||||
|
s. = |
S» + я {Gi (Ѳ1; |
Ѳ2, |
4, |
s°) - |
GJ}, |
(2.90) |
||||
где функции Gi определяются из уравнений (2.69) и (2.81). |
|||||||||||
С точностью до членов первого порядка |
дифференциальные |
||||||||||
уравнения на поверхности имеют вид |
|
|
|
|
|
||||||
|
dQj |
+ Щ (0lf |
Ѳ2, s |
i |
g (Ѳ2 - |
01; |
s i s»)). |
(2.91) |
|||
|
dtp |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем теперь, что уравнения (2.91) можно преобра |
|||||||||||
зовать с помощью формальной замены переменных |
в три |
||||||||||
виальную систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dqi |
|
1 + 2 |
аМп). |
|
|
|
(2.92) |
||
|
|
бІф |
|
|
|
|
|||||
Желаемой формой преобразования является |
|
|
|||||||||
Щ= Ѳ, + А? (Ѳ2 - |
Ѳх) + |
S |
А,” {hf (Ѳ2 - |
Ѳх) + |
В? (Ѳ1; Ѳ2)}, |
||||||
|
|
|
,!_1 |
|
|
|
|
|
|
(2.93) |
|
где hl — аналитические |
функции, |
2я-периодические по |
|||||||||
Ѳ2 — Ѳі, и Впі — аналитические функции, |
|
2я-периодические |
|||||||||
по Ѳх и Ѳ2. Заметим, что при А = 0 дифференциальные урав |
|||||||||||
нения тождественны, но (2.93) не сводится к тождественно |
|||||||||||
му преобразованию. |
|
|
|
|
|
|
Ѳ(- (ф) находятся |
||||
Как только |
q( (ф) известны из (2.92), |
||||||||||
посредством обращения равенства (2.93). Если (2.93) про |
|||||||||||
дифференцировать, то получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 + V |
хпс\п) = |
1 + АѲ£+ |
А[Ѳ2 - |
0 J |
У Г |
|
dh" |
|
|||
|
ch|) + |
|
|||||||||
п= I |
|
|
|
|
|
|
п= 0 |
|
|
|
|
+ 5 > " |
дВІ |
Щ |
+ А |
Ѳі |
|
+ |
Ѳ2 |
. |
(2.94) |
||
дѲі |
дѲ2 |
00! |
|||||||||
п= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ |
493 |
При выводе выражения (2.103) использовалось легко получаемое уравнение
А_ (4 - (^)а)
(2.105)
2 (1 + (SJ)2)3
Функции Ѳ; (ср) получаются итерацией с помощью вы ражений
ДѲ |
я |
tg-1 (1 + (®i)2) |
tg |
- Aq j + ХАВ (ѲІУ ДѲ) і, |
т |
||||
|
|
ДѲ). |
|
(2.106) |
|
|
|
|
|
|
Начальным приближением является решение невозму |
|||
щенной проблемы, т. е. Ѳг = |
Ѳ? + |
(ф — ф°). |
||
Детали расчета функций В\ и Aß здесь не будут приве дены. Однако следует отметить, что функции Ѳ£ — Л1ѲС можно записать в виде сумм произведений вида k (ДѲ)/ (0t), где M f — 0. Поэтому можно использовать формулу
Ѳ, |
2Я |
t |
|
Qf (Ѳі) = ( / (s) ds---- --- |
J |
j f (s) ds dt. |
(2.107) |
Формулы для ßi и Aß ввиду громоздкости не приводим. Из этих же соображений не приводятся формулы, по кото рым составляется программа для численных расчетов. По дробно об этом см. [44].
ЛИТЕРАТУРА
Ан о с о в Д. В.
1.Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях от рицательной кривизны, Тр. Матем. ин-та АН СССР, 90, «Наука», М. (1967).
Ан т о с е в и ч Г. А. (Н. А. A n t o s i e v i c z )
2. Continuous parameter dependence and the method of averaging, Tp. Междунар. симп. по нелин. колеб., 1, Изд-во АН УССР, К., (1963),
51—58. |
В. И. |
|
|
А р н о л ь д |
|
|
|
3. М а л ы е |
з н а м е н а т е л и , I, |
Об |
отражениях окружности на |
себя, ИАН СССР, сер. матем. 25, |
№ 1 |
(1961), 21—86. |
|
4.Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамиль
тона, УМН, 18, вып. 5 (113) (1963), 13—40.
5. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в класси ческой и небесной механике, УМН, 18, вып. 6 (114) (1963), 91— 192.
Ба р и с Я. С.
6.Об интегральном многообразии нерегулярно возмущенной диффе
ренциальной системы, Укр. матем. ж ., 20, № 4 (1968), 439—448. Б а р и с Я. С., Ф о д ч у к В. И.
7. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно воз мущенных систем методом интегральных многообразий, Укр. ма тем. ж ., 22, № 1 (1970), 3— 11.
8.Об интегральном многообразии для линейной нерегулярно возму щенной дифференциальной системы, Тр. семинара по матем. физике, I, вып. 2, Изд-во «Наукова думка», К. (1968), 38—55.
9.Исследование ограниченных решений линейных нерегулярно воз мущенных систем методом интегральных многообразий, Укр. матем. ж., 21, № 3 (1969), 291—304.
10.Об интегральном многообразии для нерегулярно возмущенной диф ференциальной системы в банаховом пространстве, Сб. «Матем. фи зика», вып. 8 (1970), 23—30.
Бе л л м а н Р . (R. B e l l m a n )
11.Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, 1954.
Бе л ю с т и н а Л . Н.
12.Малые периодические возмущения грубой автономной системы,
ДАН СССР, 148, № 2 (1963), 251—254. Б о г о л ю б о в Н. Н.
13.О некоторых статистических методах в математической физике, Изд-во АН УССР, Львов, 1945.
ЛИТЕРАТУРА |
495 |
14.О квазипериодических решениях в задачах нелинейной механики, Тр. первой летней матем. школы, Изд-во «Наукова думка», К., 1964, 11—102.
Бо г о л ю б о в Н. Н. и М и т р о п о л ь с к и й Ю. А.
15.Аналитические методы теории нелинейных колебаний, Тр. 1-го Всесоюзн. съезда по теорет. и прикл. мех., Изд-во АН СССР, М., 1962, 25—35.
16.Méthodes analitique de la théorie des oscillations non-linéaires’, Pro ceedings of the X-th International Congress of applied mechanics, Stressa, 1960. Amsterdam — New York, 1962, 9—25.
17.Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, М., 1963.
18.Метод интегральных многообразий в нелинейной механике, Тр. Меж-
19. |
дунар. симп. по нелин. колеб., I, Изд-во АН УССР, К., 1963, 93—154. |
||||
The method |
of intergal |
manifolds in nonlinear mechanics, Contribs. |
|||
20. |
Differential |
Equations, |
II, |
New York, 1963, 123—196. |
|
Метод интегральных многообразий в теории дифферент уравнений, |
|||||
|
Тр. IV Всесоюзн. матем. съезда, 2, «Наука», Л., 1964, 432—437. |
||||
21. |
Об исследовании квазипериодических режимов в нелинейных коле |
||||
|
бательных системах, |
Сб. |
«Les vibrations forcées dans les systèmes |
||
|
nonlinéaires», Paris, |
1965, |
181— 192. |
||
Б о г о л ю б о в H. Н., М и т р о п о л ь с к и й Ю. А., С а м о й -
ле н к о А. М.
22.Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике, Изд-во «Нау кова думка», К., 1969.
В а з о в В. (W. W а s о w)
23.Асимптотические разложения решений обыкновенных дифферен циальных уравнений, «Мир», М., 1968.
В о л о с о в В. М., М о р г у н о в В. И.
24. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем, Изд-во МГУ, М., 1971.
Г а н т м а х е р Ф. Р.
25.Теория матриц, «Наука», М., 1967. Г о л е ц В. Л.
26.К вопросу возмущения устойчивого инвариантного тора динамиче
ской системы, Укр. матем. ж., 23, № 1 (1971), 130—137.
27. О сохранении условно устойчивого тора при возмущении, Асимп
тотические и качественные методы |
в |
теории нелинейных коле |
баний (тематический сборник), |
Изд-во Института математики |
|
АН УССР, К., 1971, 27—35. |
|
И. |
Г у р т о в н и к А . С., Н е й м а р к Ю . |
||
28.К вопросу об устойчивости квазипериодических движений, Диф ференциальные уравнения, 5, № 5 (1969), 824—832.
29.Интегральные многообразия дифференциальных уравнений с быст ро вращающейся фазой, Изв. вузов, Радиофизика, 12, № 11, (1969), 1597— 1608.
30.Исследование интегрального тороидального многообразия в крити ческом случае, Изв. вузов, Радиофизика, 14, № 7 (1971), 967—972.
Да л е ц к и й Ю. Л.
31.Об устойчивости интегральных многообразий нелинейногодифферен циального уравнения в банаховом пространстве, Укр. матем. ж., 20, № 3 (1968), 376—381.
ЛИТЕРАТУРА |
497 |
52.О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно возму щенной дифференциальной системы, Укр. матем. ж., 17, № 1, (1965), 47—63.
53.Исследование нерегулярно возмущенных дифференциальных си стем методом интегральных многообразий, Автореф. дисс. доктора
физ.-матем. н., Изд-во АН УССР, К., 1966. З а д о р о ж н ы й В. Г.
54.Интегральные многообразия многомерных дифференциальных урав нений, Тр. матем. фак. ВГУ, вып. I, Воронеж, 1970, 49—59.
3 и г е л ь С. (С. L. S i e g e l ) |
Ann. Math., 46, No 2, |
||
55. Note on differential equations on the torus, |
|||
(1945), |
423—428. |
|
|
З у б о в |
В. И. |
системах, Судпромгиз, |
|
56. Колебания в нелинейных и управляемых |
|||
Л ., |
|
1962. |
|
Й о ш и з а в а Т. (Т. Y о s h i z a w а) |
|
||
57. Stability of sets and perturbed system, Funkcialaj Ekvacioj, 5, No 1, (1963), 31—69.
58. Asymptotic behaviour of solutions of non-autonomous system near sets, J. Math. Kyoto Univ., 1, No 2, (1962), 303—323.
59. Asymptotic behaviour of solutions of a system of differential equations, Contribs. Differential Equations, 1, New York, 1963, 371—387.
Й о ш и 3 а в a T., К a T о И. (T. Y о s h i z a w a, J. К a t o)
60.Asymptotic behaviour of solutions near integral manifolds, Proc. Symp. Diff. Eq. and Dyn. Syst., Mayaguez, Puerto Rico, Dez. 27—
30, 1965, Academic Press, New York, 1967, 267—275. К a ft H e p B. (W. T. К у n e r)
61.An existence proof for periodic é-surfaces, Bull. Amer. Math. Soc., 61, No 2 (1955), 148.
62.Small periodic perturbations of an autonomous system of vector equa tions, Ann. Math. Studies, No 36, (1956), 197—205.
63. Invariant |
manifolds, Rend. Circ. Mat. Palermo 2 10, (1961), 98—110. |
К e л л и A. |
(A. K e l l e y ) |
64.Changes of variables near a periodic orbit, Trans. Amer. Math. Soc., 126, No 2, (1967), 316—334.
65.Changes of variables near a periodic surface or invariant manifold, Trans. Amer. Math. Soc., 131, (1968), 356—364.
66. |
The stable, center-stable, |
center, center-unstable, unstable manifolds, |
|
67. |
J. Different. Equations, |
3, No 4, (1967), 546—570. |
|
On the Liapunov sub-center manifold, J. Math. Anal. Appl., 18, No 3, |
|||
68. |
(1967), |
472—478. |
subcenter manifolds for systems with an |
Analytic two-dimensional |
|||
integral, Pacific J. Math. 29, No 2, (1969), 335—350.
К о д д и н г т о н Э . А., |
Л е в и н с о н H. (E. |
A. C o d d i n g t o n , |
N. L e v i n s o n ) |
дифференциальных |
уравнений, ИЛ., М., |
69. Теория обыкновенных |
1958.
К о л м о г о р о в А . Н.
70. О сохранении условно периодических движений при малом измене нии функции Гамильтона, ДАН СССР, 98, № 4, (1954), 527—530.
К о о з и с П. (Р. К о о s i s)
71.One-dimensional repeating curves in the non-degenerate case, Ann. Math. Studies, No 36, (1956), 277—285.
498 |
ЛИТЕРАТУРА |
К о п п е л ь |
В. (W. А. С о р р е 1) |
72. Stability |
and asymptotic behaviour of differential equations, |
D. C. Heath, Boston, 1965.
73.Dihotomies and reducibility, J. Diff. Eqs., 3, No 4, (1967), 500—521.
К р а с о в с к и й H. H.
74.Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, М., 1959.
К р е й н М. Г.
75. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных урав нений в банаховом пространстве, Изд-во АН УССР, К., 1964.
К р е й н С. Г.
76.Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, «Наука», М., 1968.
К р и к и с ІО. Ю,, Р е й з и н ь Л. Э.
77.Гладкость асимптотически инвариантных многообразий в окрест ности замкнутой траектории, ИАН ЛатвССР, сер. физ. и техн. н.,
№4, (1964), 53—56.
К р ы л о в Н. М., Б о г о л ю б о в Н. Н.
78.Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний, Изд-во ВУ АН, К., 1934.
79.Новые методы нелинейной механики, ГТТИ, М.-Л., 1934.
80. Введение в нелинейную механику, Изд-во АН УССР, К., |
1937. |
||
К у п к а И. (1. |
К и р к а ) |
vecteurs |
pour les |
81. Stabi 1ité des |
variétés invariantes d’un champ de |
||
petites perturbations, C. R . Acad. Sei., Paris, 258, |
No 17, |
(1964), |
|
4197—4200. |
Я. (J. K u r z w e i l ) |
|
|
К у р ц в е й л ь |
|
|
|
82.Invariant manifolds for flows, Proc. Symp. Diff. Eq. and Dyn. Syst. Mayaguez, Puerto Rico, Dez. 27—30, 1965, Academie Press, New York, 1967, 431—468.
83.Exponentially stable integral manifolds, averaging principle and
continuous dependence on a parameter. I, Czechosl. Math. J., 16, No 3, (1966), 380—423.
84.Exponentially stable integral manifolds, averaging principle and con tinuous dependence on a parameter. II, Czechosl. Math. J., 16, No 4, (1966), 463—492.
85.Инвариантные многообразия дифференциальных систем, Дифферен циальные уравнения, 4, № 5, (1968), 785—797.
Л а у д |
В. (W .S. L o u |
d) |
86. The |
location of the |
invariant manifold for a perturbed autonomous |
system, J. Math, and Phys., 40, |
No 2, (1961), 87— 102. |
Л е в и н с о н H. ( N . L e v i n s o n ) |
|
87. Small periodic perturbations |
of an autonomous system with a |
stable orbit, Ann. Math., 52, No 3, (1950), 727—738.
Лe в и с Д. (D. С. L e w i s )
88.On the role of first integrals in the perturbation of periodic solutions, Ann. Math., 63, No 3, (1956), 535—548.
89.Families of periodic solutions of systems having relatively invariant
line integrals, Proc. Amer. Math. Soc., 6, No 2, (1955), 181 — 185.
90.Л e ф ш e ц C. (S. L e f s h e t z )
Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ., М., 1961.
ЛИТЕРАТУРА |
499 |
Лы к о в а О. Б.
91.Про одночастотні коливання в системах з багатьма степенями віль-
ності, |
близьких до точно інтегровних, ДАН УРСР, Л1“ 1, (1957), |
8— 12. |
|
92.До питания про одночастотні коливання системи з багатьма сте пенями свободи, ДАН УРСР, № 3, (1957), 222—226.
93. Об одночастотных колебаниях в |
системах с медленно меняющими |
ся параметрами, Укр. матем. ж., |
9, № 2, (1957), 155—162. |
94.О поведении решений системы дифференциальных уравнений в ок рестности изолированного статического решения, ДАН СССР, 115, № 3, (1957), 447—449.
95.О поведении решений системы дифференциальных уравнений в ок рестности изолированного статического решения, Укр. матем. ж ., 9, № 3, (1957), 281—295.
96.Про поведінку розв’язків системи диференциальних рівнянь в околі замкнених орбіт, ДАН УРСР, № 6, (1957), 535—538.
97.О поведении решений системы дифференциальных уравнений в ок рестности замкнутых орбит, Укр. матем. ж., 9, № 4, (1957), 419—431.
98.О существовании и поведении интегральных многообразий для систем нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих ма лый параметр, Автореф. дисс. канд. физ.-матем. н., Ин-т математи ки АН УССР, К., 1957.
99.Об исследовании решений системы дифференциальных уравнений
с малым параметром на двумерном локальном интегральном много образии в «нерезонансном» случае, Укр. матем. ж., 1 0 , № 3, (1958),
239—250.
100.Об исследовании индивидуальных решений системы дифференци альных уравнений с малым параметром на двумерном локальном интегральном многообразии в случае резонанса, Укр. матем. ж., 10, № 4, (1958), 365—374.
101.К вопросу об устойчивости решений системы нелинейных диффе
ренциальных уравнений, Укр. матем. ж.> 1 1 , № 3, (1959), 251—
255.
102.О некоторых свойствах решений систем нелинейных дифференци альных уравнений с медленно меняющимися параметрами, Укр. матем. ж., 12, № 3, (1960), 267—278.
103.Исследование решений нелинейных систем, близких к интегрирую щимся, с помощью метода интегральных многообразий, Тр. Междунар.сим. по нелин. колеб., I, Изд-во АН УССР, К., 1961, 315—327.
104.Дослідження нелінійно'і системи п + т рівнянь з малим парамет
ром методом інтегральних многовидів, ДАН УРСР, № 10,(1962),
1267— 1271.
105.Об интегральных многообразиях для нелинейных колебательных систем, Сб, «Nonlinear Vibrat. Problems», Warsaw (1964) 149—155.
106.Исследование решений системы п + т нелинейных дифференци
альных уравнений в окрестности интегрального многообразия, Укр. матем. ж ., 1 6 , № 1, (1964), 13—30.
107.О квазипериодических решениях системы, близкой к канонической, Укр. матем. ж., 1 6 , № 6, (1964), 752—768.
108.Исследование систем нелинейных дифференциальных уравнений,со держащих медленные и быстрые движения, методом интегральных