книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

470 ГЛ. IX . ЗАКЛЮЧЕНИЕ

имеют отрицательные вещественные части. (Условие (1.59) подразумевает, что ( k + 1) характеристических показателей

равны нулю.)

В (х, 0-пространстве семейство решений (1.58) определя­ ет ^-параметрическое семейство цилиндров или ( k + 2)-мер-

ное интегральное многообразие S системы (1.57). При сде­ ланных предположениях это многообразие является асимп­ тотически устойчивым с асимптотической амплитудой и фазой.

Следующая теорема 1218] отвечает на вопрос, при каких ограничениях, накладываемых на вектор-функцию Z* (/, г), система уравнений

также будет обладать инвариантным многообразием со свой­

m o S — а с и м п т о т и ч е с к и у с т о й ч и в о е м н о г о о б р а з и е с а с и м п т о ­

цилиндра и Z * (t , 2 ) удовлетворяет условию (1.61) с L (/) -+■

где а — постоянный вектор, А, В, С — постоянные квадрат­

ные матрицы в вещественной канонической форме, причем матрица А имеет собственные значения с отрицательными вещественными частями, В — с нулевыми (допускается В =з Еэ 0), С — с положительными вещественными частями;

обращаются в нуль. Уравнения (1.65) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности критической точки (если в уравнениях (1.65) от­ сутствует Ѳ), в окрестности периодической орбиты (если dim Ѳ= 1),в окрестности периодической поверхности (если dimO > 1).

При сделанных предположениях для случая 3 С к < оо

А. Келли доказал существование единственного инвариант­ ного многообразия уравнений (1.65) следующих типов.

казано существование многообразия (не обязательно един­ ственного) таких типов.

Многообразие типа цешпр-неуапойчивое:

Исследован порядок гладкости найденных функций многообразия. Для 2 •< k < оо, если правые части системы

(1.65) принадлежат Ск, то М г, М~ принадлежат Ск~у. Для 1 < k<oo, если правые части системы (1.65) при­

торых было установлено существование инвариантных мно­ гообразий М*+ , М*, М*~:

474 ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

интегральных многообразий для абстрактных потоков так, чтобы можно было применить ее как к обыкновенным диф­ ференциальным уравнениям в банаховом пространстве, так и к функциональным уравнениям с запаздывающим аргу­ ментом.

Ряд интересных результатов в этом направлении по­ лучил К. Пальмер [168]. Он изучил проблему существова­ ния интегральных многообразий, трактуя ее, как и Курцвейль, как интегрально малую возмущенную проблему. Од­ нако, хотя метод Пальмера имеет много общего с методом Курцвейля, в основном он отличен от него. В частности, Курцвейль получает существование интегрального многооб­ разия из существования решений, ограниченных на полу­ оси, в то время как Пальмер — из существования решений, ограниченных на всей оси. Это сразу дает единственность многообразия без рассмотрения свойств устойчивости.

Общая схема доказательства существования интеграль­ ных многообразий, разработанная Я. Курцвейлем, поз­ волила А. Халанаю [205] — [207] получить ряд результатов в области дальнейшего развития теории инвариантных мно­ гообразий для систем с запаздыванием.

Важные результаты в области исследования проблемы возмущения инвариантных поверхностей получены Р. Сакером [180] — [182].

является интегральным многообразием системы (1.67), тогда X (t ) = / (Ѳ (*)), где Ѳ(/) — решение уравнения

должно удовлетворять уравнению (1.67)^

Таким образом, задача определения многообразия све­ лась к решению этого уравнения.

Случай, когда w, А не зависит от Ѳ, довольно простой,

так как позволяет интегрировать вдоль характеристик, и в результате приходим к методу, который применялся нами ранее.

Если имеются значения Ѳ, для которых w (Ѳ) 0, то

задача значительно усложняется, так как решения не будут, вообще говоря, так же гладки, как и коэффициенты в урав­ нении. Свойства гладкости решений зависят от до, А .

Другой возникающей трудностью в этой проблеме яв­ ляется тот факт, что обычный метод итераций связан с по­ терей производных. Чтобы избежать эту трудность, Р. Сакер решает при каждой итерации эллиптическое уравнение

для малого р, где Дѳ — оператор Лапласа, вводя, таким об­ разом, сцепляющий член рДѳ/.

Тогда решения имеют столько производных, сколько нужно. Однако здесь необходим тонкий анализ, чтобы при р -> 0 получить решение исходного уравнения.

Разработанные Р. Сакером итерационные методы реше­ ния уравнения (1.69) представляют большой вклад в реше­ ние проблемы возмущения инвариантных многообразий.

В нашем кратком обзоре упомянуты далеко не все ра­ боты, посвященные исследованию инвариантных много­ образий.

в которых используются топологические методы. Мы также не упомянули о работах Н. Чейфи [225], С. Серно [189], Ш. Семна [188], Чин-ханг Ченга [226] и др., связанных с рассмотрением интегральных многообразий для сингулярно­

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ 47?

G — гравитационная постоянная, М — масса Земли, R —

экваториальный радиус Земли, / — число, являющееся мерой сплюснутости Земли. Поскольку предполагается, что Земля симметрична относительно полярной оси, то

— 0. Тогда последнее из уравнений в (2.1) можно про­

интегрировать, что дает

Другими словами, вследствие симметрии Земли момент вра­ щения относительно полярной оси — постоянный.

Если р ф . 0, то ф является монотонной функцией t и

может быть использована в качестве независимой перемен­ ной. Удобно ввести две новые зависимые переменные

Заметим, что этой заменой переменных мы исключаем из рассмотрения все орбиты, проходящие под полюсами или через центр Земли.

Можно непосредственно проверить, что U и W удовлетво­

ряют уравнениям

где

А = G M / p 2, К = I G M R 2/ p 2.

Полученная система четвертого порядка (2.5) описывает движение спутника как функцию долготы ф.

Уравнения (2.5) можно интерпретировать как уравнения спаренных гармонических осцилляторов. Это приводит к геометрии четырехмерного фазового пространства с пере­ менными

~

$ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ 479

Если теперь в обеих плоскостях ввести полярные коор­ динаты

то невозмущенные уравнения (2.10) примут вид

Возмущенные уравнения в этой координатной системе запишутся в виде

= 1 + Х Ѳ І ( Ѳ 1, Ѳ2, rlf Га),

X{АгхРх (гх) Рх(гА ) [—2Сх5 2Р _ 2 (гА ) 4-

+5 ХС2 (1 — гх 4* 2rJSj)J} +

4- С2 {rJS| 4- 2гА А Р а (гх) Р_, (гА) +

+ А2Р 4(гх)Р _ 2(гА ) } X

X { - 4P, (гА ) + 5Р7 (гх5х)}. '