книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

440 гл . V III. МНОГООБР. УР-НИЙ Б БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

to

— gl (V, V (V, г„), в)] dv.

Отсюда, учитывая неравенства (5.4) — (5.6), находим

В силу соотношений (5.9), (5.10), функция / ( і ) удовлетворя­

ет неравенству

а—ß

4 < ( 1 + Л ) [А^Д0 + V I + ße"

или

а—ß

d/

НГ-М1+л)/<Л(1+»1)А0+ «е

откуда

— [/ß-^id+4)s] N (1 -j- Tj) Д0е-я‘(1+ч)« -j- ge

а при zn — z0:

согласно неравенству (5.19) отображение 5 является сжима­ ющим. Поэтому при а < ех уравнение 4х = 54х имеет в клас­ се С (р, г)) единственное решение 4х = яр (t, г, р). Это реше­ ние может быть найдено методом последовательных прибли­ жений

Дифференцируя тождество (5.22) по t и учитывая струк­ туру матрицы G (f), окончательно получаем

Поскольку zt ~ Z (/„, t — tQ, г|ф), zt — (xt, yt) пред­ ставляет собой решение уравнений (5.7) (при 4х = ф), то zt>Уи — Ф {U Zf, е) есть решение уравнений (5.1), которое

довательно, и уравнений (5.1)). Тогда справедливо соотно­ шение

У2(/> а) — G (^0 — 0 а + ^0

+ 4 “ I G(U — t)g 2(v, zv, д2(ѵ, а), a)dv. (5.24)

■—со

На основании теоремы 5.1 (zt, Т> (t, zt, е)) при е < ег пред­ ставляет собой решение уравнений (5.1), лежащее на ин­ тегральном многообразии S t. Поэтому имеем

из которой следует утверждение а).

Докажем утверждение б). Пусть (z, yit) — решение урав­ нений (5.1), которое не является решением системы (5.23),

т. е- y2 t„ С W. Оно, очевидно, удовлетворяет интегральному

при t > t0 все члены в (5.29), кроме второго, ограничены, то нам остается показать, что G2 (t — t0)b неограниченопри t > t0, но это сразу следует из того, что при 1 t 0функция

G2 ( t— tn)b = с P fb , являясь нетривиальным решением уравнения

не может быть ограниченной на всей вещественной оси. Со­ гласно оценке (5.12), она ограничена при t ■< t0 и, следова­ тельно, неограничена при t > іп, что и доказывает утверж­ дение б).

С л е д с т в и е 5.2. Если множество a t пусто, то все траектории уравнений (5.1), для которых |]г/2/„|| <С Рі, при­ тягиваются к многообразию St по экспоненциальному закону.

С л е д с т в и е 5.2. Если множество щГ пусто, то многообразие W вырождается в точку y2te — ф (t0, zta, е). В этом случае любая траектория, не лежащая на много­ образии St, удаляется от него.

Глава IX

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

4

{интегральных многообразий), не вошедших в монографию, а также укажем некоторые приложения.

§ 1. Обзор работ по интегральным многообразиям, не вошедших в монографию

Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым еще в 1934 г. В даль­ нейшем их идеи и методы, получив развитие в работах [13], [15] — [20], вылились в стройную теорию — теорию инте­ гральных многообразий, которая впоследствии была сущест­ венно развита в работах советских авторов.

Кроме работ, подробно изложенных в монографии, ис­ следованию интегральных многообразий посвящены работы Ю. И. Неймарка, В. А. Плисса, А. М. Самойленко и др.

Исследовав вначале проблему о существовании, единст­ венности, зависимости от параметра и гладкости инвариант­ ных поверхностей точечного отображения, Ю. И. Неймарк применил эти результаты для изучения аналогичного круга вопросов для интегральных многообразий дифференциаль­ ных уравнений. Им установлены условия существования и грубости тороидальной интегральной поверхности автоном­ ной системы дифференциальных уравнений; доказана со­ храняемость интегральных многообразий автономных систем при произвольных малых неавтономных добавках. Доказано существование поверхности медленных движений в фазо­ вом пространстве системы, описываемой дифференциальны­ ми уравнениями с малым параметром при производных или

квазилинейными уравнениями. Рассмотрен также вопрос о рождении интегральной тороидальной поверхности от периодического движения. Результаты Ю. И. Неймарка и его учеников см. в [164], [1651, [28] — [30].

Ряд результатов по теории инвариантных многообразий получен А. М. Самойленко. Так, им предложен новый под­ ход к теории возмущения инвариантных тороидальных многообразий динамических систем, связанный с использо­ ванием функций Грина для линеаризованной задачи. Этот подход позволяет с общей точки зрения изложить теорию возмущения как гладких, так и недифференцируемых ин­ вариантных многообразий динамических систем. Подроб­ ное изложение этих результатов см. в [183] — [186].

Значительные результаты по теории инвариантных по­ верхностей принадлежат В. А. Плиссу. Им выведены усло­ вия существования инвариантной поверхности неавтоном­ ной системы

не укладывающиеся в обычные рамки теории возмущений. Результаты В. А. Плисса см. в [171]—[175]. О других результатах советских авторов см. в [12], [263, [27], [31], [54], [56], [77], [163], [177], [220].

2. Обзор работ иностранных авторов. Значительный вклад в развитие идей и методов теории интегральных мно­ гообразий и в применение их к исследованию проблемы воз­ мущения для широкого класса нелинейных дифференциаль­ ных уравнений внесли многие зарубежные ученые: в США — С. Дилиберто, В. Кайнер, А. Келли, Н. Левинсон, В. Лауд,

кии — Я. Курцвейль; в Румынии — А. Халанай.

Одной из первых работ, появившихся в США в области исследования инвариантных поверхностей нелинейных диф­ ференциальных уравнений, явилась работа Н. Левинсона [87], в которой рассматривались уравнения вида

15 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова