книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике
.pdf§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ |
431 |
|||
при |
|
|
|
|
ДР (1 + Dk) |
~2~’ |
^ И" |
|
|
Далее можем написать следующее выражение: |
|
|||
t |
|
|
|
|
sft+‘ = ел,-1у + ^ еА*ѵ—'г) [Х4 (т, и + е^х[к, sk, е) — |
|
|||
6 |
|
|
|
|
— Х4(т, и + |
eSxf , |
0, е) + |
Х4(т, и + еіт/ \ |
О, е)] dx, |
откуда, мажорируя правую часть, находим |
|
|||
І |
|
|
|
|
II sft+11! < D Iу Ie -* + j |
De~* «~x) X«s*| dx < |
|
||
б |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
< Д |Ы е -* + |
] De-* {t- %) XDk j|у | е~*Чт < |
|
||
|
О |
|
|
|
< Щ У Іе~ * + D ■X ■Dk Iуіе-*1= D (1 + XDk)| у ||е~*.
(4.32) Из полученных оценок вытекает равномерная сходимость
интегралов в (4.19), Д4.20) при |
0 и достаточно |
малом |
значении | г/1. Отсюда следует, |
что функции f (t, |
р, у), |
sk (I, РуУ) определены и непрерывны при достаточно малом значении [|t/|j.
Установим теперь равномерную сходимость последова
тельностей fk (і, р, у), sk (t, р, у) (k = 0, 1, 2, ...) при £>■ О и достаточно малом |]г/||.
Из выражений
/° == 0, s° = еА*1у,
t
Р = j {Np + e~Sx [Х3 (т, и + eSxf \ s°, s) — Х3(т, и, 0, е)]}dx,
со
t |
|
s1 _ e A t t y _ j_ j e A 2 |
(т, U -f- eSxf°, s°, e) dx |
о |
|
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ |
433 |
|
|
г |
|
|
+ |
- Vг |
D ■к • № ||«г* < |
|
||
|
|
|
< - ^ ( 1 + DK1)\\y\\e^t < |
-L\\y\\e~tlt |
(4.35) |
|||||
при — (1 + |
DKX) С |
z |
, |
Я4 == DK. |
|
|
|
|||
fX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание выражения для s2, s1, можем на |
||||||||||
писать |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 — s1 = |
f |
(/_х) [Х4(т, и 4- eSxfl, s1, е) — |
|
|||||||
|
о |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Х4(т, и + еЬт/°, s ° , |
е)] dx = §еА*((~х) (Х4(т, |
sx,e) — |
||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
— Х 4 (т, и + eSxf°, s1, е) + |
Х 4( т , и -f eSxf°, sl, е) — |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
— Х 4(х, и + es%f°, s°, е)} dr, |
|||
откуда получаем неравенство |
|
|
|
|
||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
I s2 - s11< |
J D e-* {‘- с) [К(fl Z1 - |
Н + |
1 si - |
s» |)J dr < |
|
|||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
J |
|
(' - т) Я |
|
-т\\у\\е- |
Ц Т |
О К У У— Ц Т dr < |
|||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< т |
а№№ -ц<, |
(4.36) |
где Я2 = |
Я (1 + |
ПЯ^. |
|
|
|
|
|
|
||
Полагая, что неравенства типа (4.33)—(4.36) выполня |
||||||||||
ются для некоторого целого k, |
установим их справедливость |
|||||||||
для k -f 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f +> _ f |
= |
J |
+ |
|
e- Sx [Х8(т, и + esY , s*. 8) - |
|
||||
|
|
-f-cc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
— X3(r, u, 0, e)]} d x ~ |
] |
{Nfk~~^ -f- e~s%(X3(т, и -f- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
-J-OO |
|
J {N { f - /*“ ') + |
||
+ е * у - \ |
sk-\ e) - |
X3(T, |
u, 0, e)]} dr = |
|||||||
434 ГЛ. V III. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
+ e~Sx [Xs(T, U + eSxfk, s \ e) — X3 (т, |
U + eSxf ~ \ sk, e) + |
|||||||||
+ X3(r, и + eSxfk~ \ sk, e) — X3 |
(r, u, 0, e) — ^ |
|
||||||||
|
— X3(r, и -j- eSxfk~ \ sk~ \ |
e) + X 3(r, и, 0, e)]} dr, |
||||||||
откуда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
i/fc+1-/i< |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< j' lyII f |
|
- f~xII+ Я(IIfk- |
fk~lII +«s*- |
II)] är < |
||||||
со |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
[2a, |
IУII е~их + |
Iу Ie~ßT |
dr < |
|
|||||
|
|
< - ^ ( 1 |
+ Щ > ||У ||< Г ^ < х \y\é~ * |
^4.37) |
||||||
при y - ( l + |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Далее |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
sM-i — $k = |
\ eA2 |
(/“T) [X4(x, U 4- eSxf , |
sk, e) — |
|
|
|||||
|
|
6 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— X4 (x, U + |
eSxfk~ \ sk~l, e)] dr = |
\ eA*('~T>[Х4(т, U + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
+ eSxf , |
sk, e) — Х4 (г, |
и + |
eSxf ~ x, sk, e) + |
X 4(т, U 4 |
- |
|||||
|
|
|
4 - eSxfk~ \ sk, e) — X 4(r, |
и + eSxf ~ l, sft_1, e)J dr, |
||||||
откуда, мажорируя правую часть, получаем |
|
|
||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
ISA+I _ s* [|< |
|
J De~» {t~x) К(If |
- f - 11+ 1s* - |
I) dr < |
||||||
< .f |
|
,—ß d-г) |
\ly\e-»x + D lk\ly\\e -ЦТ dr < |
|
||||||
De |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
< |
Dkk+i Iу Ie-ßi, |
(4.38) |
||
где Xk+l = |
X (1 4 |
- DXk). |
|
|
|
|
|
|
||
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ |
435 |
Итак, мы установили неравенства
м ч о - г 1т < - т т е ~ ѵ*>
IIS» (t) - s'-« (t) ||.< DKliy \\e ^ ( n = 1 , 2 , . . .),
из которых следует, что последовательности f (/), sk (t) равномерно сходятся при достаточно малом значении | у |.
Положим
lim /* (t, р, у) = f(t, р, у),
lim s* (t, р, у) = s (/, р, у). |
(4 '39^ |
&-+со |
|
Так как последовательности f (t), sk (() сходятся рав номерно, то функции f (t, р, у), s (t, р, у) определены и непрерывны при ( > 0 и достаточно малом значении |]і/|)
( Ы < 8 і) -
Переходя к пределу в оценках (4.21), получаем |
|
\\f(t,P ,y)\\< -±-\\y\\e-ßt, |
(4.40) |
1 |
И * . Р . У ) і < Щ у \ \ е - » ‘ .
Принимая во внимание (4.15), получаем окончательно
ІИ*, р. р)|І< 4 -ІІР Іе ßt’ |
(4.41) |
||
II s(t, Р, у) II < D |
I! у II |
||
|
|||
Следовательно, v (t, р, у) - > |
0, s (t, р, у) -»- 0 при / |
оо. |
|
Из (4.41), в частности, вытекает неравенство |
|
||
И ° . Р. У)II < 4 "І УI' |
(4-42> |
||
Предельный переход при п - > оо в (4.19), (4.20) показы вает, что функции / (t, р, у), s (t, р, у) удовлетворяют си стеме интегральных уравнений (4.17), (4.18).
Дифференцируя систему (4.17), (4.18), получаем, что функции f (t, р, у), s (t, р, у) представляют собой решение дифференциальных уравнений (4.4).
Установим теперь справедливость представления
l(t, х, у) = |
ц(/, |
р) + о(/, р, р), |
(4.43) |
|
И . X, у) = |
g (f, |
Р, у). |
||
|
436 ГЛ. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Здесь I (О, X, у) — X, s (О, х, у) = у, и (0, р ) = p , g (0, р, у) =
— у. В силу теоремы единственности для выполнения соот ношений (4.43) необходимо и достаточно их выполнение при
/ = |
0: |
|
|
х = р |
+ |
ѵ { 0, р , |
у), |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.44) |
|||||
|
|
|
|
У = У, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
alt I у || < |
|
|
|
|||
при |
этом II/? II < |
ос2, (|х|| < |
6t. |
|
|
|||||
Выражение (4.44) определяет отображение Т, заданное на |
||||||||||
произведении |
Uai X t/p, |
|
(Uai — открытый шар в Вг ра |
|||||||
диуса а2 с центром в точке |
|
| = 0; £/р, — открытый шар в |
||||||||
В2радиуса ßi с центром в точке у = |
0), и действует в произ |
|||||||||
ведение пространств Bl X В2. |
|
во внимание, что |
||||||||
Согласно неравенству (4.24) (принимая |
||||||||||
I/1 = |
I of), |
для |
любых двух |
точек р ', р" |
из шара £/«, вы |
|||||
полняется |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
II о (0 , |
р ' , у ) — ѵ { 0, |
р " , //) II <1 <7fl р ' |
— р " II, |
(4 .4 5 ) |
|||
где q <z 1 для всех у £ U$t. |
|
|
|
|
|
|||||
Кроме того, |
согласно неравенству (4.42), |
|
||||||||
|
|
|
|
Iо(0, |
0 , / / ) ||< 4 ß 1. |
|
(4.46) |
|||
Следовательно [45], существует такая открытая окрест |
||||||||||
ность U а . , X t/р, точки р |
= |
0, у = |
0 (а3 с |
а 2), что сужение |
||||||
на |
U |
X {/ß, |
отображения |
(4.44) |
является гомеоморфиз |
|||||
мом окрестности Ua3 X (Ур, |
иа некоторую открытую окрес |
|||||||||
тность точки X = 0, у — 0 в пространстве Bt X В2. |
(4.44), |
|||||||||
Отсюда |
вытекает справедливость представления |
|||||||||
а следовательно, и представления (4.43). |
|
|
||||||||
Для функций V (t, р , у), |
g (t, р , у) выполняются соотно |
|||||||||
шения |
V ( t , р , у) -> 0, g |
(t, |
р , у) -у 0 при |
/ -> оо. Поэтому |
||||||
если решение £ = 0 уравнения (4.5) устойчиво, то, как было показано, для решения и (t, р ) , входящего в представление (4.43), выполняется неравенство (4.10), и из (4.43), при нимая во внимание формулу замены (4.3), следует, что ре
шение £ = 0, |
s = 0 уравнений (4.4) устойчиво. |
|||||
Если |
решение |
£ = 0 уравнения (4.5) |
асимптотически |
|||
устойчиво, то |
для |
решения и (t, р ) , кроме |
неравенства |
|||
(4.10), выполняется также |
соотношение и |
(t, |
р ) - у 0 при |
|||
t - у о с . |
Следовательно, из |
представления |
(4.43), учитывая |
|||
соотношения |
и (/, |
р , у) -у |
0, s (t, р , у) ~у 0 |
при t -у оо, |
||
§ 5. УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
437 |
вытекает, что решение £ =0, s=0 уравнений (4.4) асимпто тически устойчиво.
Пусть нулевое решение £ = 0 уравнения (4.5) не устойчиво. Поскольку это уравнение описывает поток па инвариантном многообразии S(, то, следовательно, состо яние равновесия g = 0, s = 0 на St неустойчиво. Отсюда следует, что нулевое решение £ = 0, s = 0 уравнений (4.4) также неустойчиво.
§ 5. Интегральные многообразия нерегулярно-возмущенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
1. Основные предположения. Пусть В1 и В2 — банаховы пространства. Рассмотрим следующую систему уравнений:
= X (t, X, у, е),
(5.1)
е -^§- = Ay + Y (t, X, у, е),
где X £ В1, у £ В2, t£ R, А — линейный ограниченный оператор, определенный в В2, X (t, х, у, е), Y (t, х, у, г) —■ вектор-функции со значениями соответственно в В1 и В2, 8 — малый параметр, е £ ЕВо.
Предположим, что выполняются следующие условия. 1°. Спектр а (Л) оператора А разбивается на замкнутые
непересекающиеся части о(Л) = о1 [J |
U ФГ таким обра |
||
зом, что при некотором а > 0 |
|
|
|
I Re А I < |
а, |
А, £ ах, |
|
Re А > |
а, |
А £ о^, |
|
Re А < |
— а, |
А £ а2 . |
|
2°. Вектор-функции X (/, х, у, e), Y (t, х, у, е) определе ны на множестве
В1 X В2 X R X ЕЕо,
сильно непрерывны по / и удовлетворяют неравенствам
|
!*(*, |
X, |
у, |
е) И-С сь |
|
|
IIУ (t, |
X, |
у, |
е) I < р, |
|
flX(t, |
X, у , e) — X(t, |
X, |
у, |
г)< £ (||л ; —х\ + \у — у\), |
|
IIУ (f, |
X, у, е) — Y (t, |
X, |
у, |
е ) К ^ ( ||х — х\ + \ у ~ 0 |), |
|
§ 5. УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
439 |
В силу неравенств (5.5) и условия 2° для функций ¥ |
и ¥ |
|||||||||||||||||||
из класса С (р, г|) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
II h(t, |
z, |
¥ (t, г), E ) ~ h |
(t, |
zL |
¥ |
(t, |
z), |
e) fl < |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
< |
k ( f z - z l |
+ |
\\V(t, |
|
|
|
|
|
z ) | | ) < |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
< ^ (1 |
+ TJ) iг — z\\ + |
k8, |
|
|
|
||||||||
||i;(^ |
z, |
¥ (f, z), z ) — gi{tL z, |
|
¥ (/, |
z), e)||< |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
< М 1 1 г -г(| + |
||¥((, |
5 ) - ¥ ( ( , |
г )||)< |
|
|
|
||||||||||
где |
|
|
|
|
А, |
|
|
|
|
|
|
(1 |
+ |
т]) Iг — |
г I -j- |
Яб |
(t =1, |
|||
|
|
|
¥ |
(t, z), e) = h (t, |
|
|
y1 -i- ¥ (/, |
|
|
|
e), |
|
|
|||||||
h(t, |
z, |
X, |
|
x, |
y L), |
|
|
|||||||||||||
g(t, |
z, |
¥ |
(t, z), e) = g(t, |
X, |
yl + |
¥ |
(t, |
X, |
yx), |
e), |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
gi = p ig (г = 1 , 2 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
8 = sup 1 ¥ (t, |
X, |
yx) — ¥ (t, |
X, |
yx) |. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
t.x,yt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая |
в |
этих неравенствах |
¥ |
= |
¥ , |
убеждаемся, |
что |
|||||||||||||
правые |
|
части |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
“2Р |
= h(t, X, |
ух- f |
¥ |
(/, |
|
X, |
ух), |
е), |
|
|
|
|
|
|
|||||
8 -ЗГ |
= |
АіУі + |
8 (*, |
х> Уі + |
У (t, |
X, |
ух), |
г) |
|
|
|
|||||||||
удовлетворяют |
условию |
Липшица |
относительно |
вектора |
||||||||||||||||
z = (х, ух) с постоянной, не зависящей от t. Поэтому урав |
||||||||||||||||||||
нения |
(5.7) |
в пространстве В1 X В\ обладают |
|
при каждых |
||||||||||||||||
А) € |
zo = |
(х0, Ую) € В1 X В\ |
|
единственным |
решением, |
|||||||||||||||
которое обозначим через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
zt = |
Z (t0, s, г0/¥), |
|
s = t — t0 |
(zt = |
(xt, |
уlt)). |
|
|
||||||||||||
Оценим разность zt — zt, где zt — Z (t0, s, |
z0|¥ ). |
Из урав |
||||||||||||||||||
нений |
(5.7) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
; ________ ____ |
|
|
|
I |
|
g) |
|||||||
xt — xt = x0 — x0+ ) [h (V, z„, ¥ |
(v, z0), e) — j |
^ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
— h(v, |
zv, ¥(n, |
zv), |
e)]dv, |
|
|
|
||||||||