Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

22.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 5242 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

410 г л . Ѵ Ш. МНОГООБР. УР-НИП В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Размерность корневых подпространств Ви .... В2 равна соответственнот1, ..., mk; Ах, Ak, W — линейные огра ниченные операторы, при этом спектр Ах в Вх состоит из

точки KOJ алгебраической кратности	тх; спектр	Аг в В2
состоит из точки кв2 алгебраической	кратности т2 и т. д.
и спектр W в В0совпадает с сг0 (Л).	m) имеет конечный
Если каждая точка ia>k (k = 1,
ранг mk и, кроме того, каждой точке	iwk (k — 1, ..., т) со
ответствует тк линейно-независимых собственных		векторов
(собственная кратность ak точки iwk равна mk),		то вместо
исходного уравнения (3.6) получим уравнения

;"Ч+1	mk -l + l
12	***>

(t, ä , . . . ,

■mk. h; e),

**I )k >

§ 3. У Р А В Н Е Н И Я , Б Л И З К И Е К Т О Ч Н О - И Н Т Е Г Р И Р У Ю Щ И М С Я 411

dt m /tb k + 9 k k(t,gu . . . , gr*;

S2 ,

d/г ~ЗГ =

:иі+1 э2 > ,

S2 'i	•. •	i 5âft	),	.. . , Eft k\ h', в),	(3.14)
Wh + R(t, gl, . . . .				I?';
j.m2.	• • •	. «.'»ft-l+'		Л . h. рЧ	}
52 .	• • •	» 5ft	....................	. , П, Ч-	}

Если каждая точка гсой является точкой конечного ран га, равного 1, то относительно новых переменных получим уравнения вида

dl1	=		{t, Ei,		■• •	> Eft.		8)>
dt	=
dik	= '4 4 +		(t,	Ei,	• • •	, Ел- К		(3.15)
dt								e)
dh	= Wh + R(t, Ei,			••• .		Eft,	h, e),
dt
причем уравнения		относительно			критических переменных
gb .... gfc рассматриваются в одномерных							собственных под
пространствах Вх, ..., Вк.
В простейшем случае, когда у оператора А удается выде
лить две изолированные точки спектра,							расположенные на
мнимой оси KOJ, т.2, каждая конечного							ранга, равного 1
(остальной спектр обозначим о0 (Л)), получим уравнения
	~	fft)lEl +	(А El. Ег.				6)>
	=	^2^2 +	Q ((, Еі, Е2>h,				е),	(3.16)

J!L = Wh + R(t, glt g2, h, e).

З а м е ч а н и е 3.1. В случае вполне-непрерывного оператора А для критических переменных, соответствующих ненулевым изолированным собственным значениям, рас положенным на мнимой оси, мы всегда можем получить уравнения, рассматриваемые в конечномерных подпростран ствах (корневых или собственных).

412 г л . V I I I . М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н ИЙ В Б А Н АХ ОВ ОМ ПР ОС Т РАНС Т ВЕ

2. Существование и свойства локального интегрального многообразия. Пусть исходное уравнение (3.1) в окрестности статического решения х0 = 0 соответствующего невозму щенного уравнения приведено к специальному виду. Для простоты ограничимся рассмотрением уравнений (3.16), правые части которых обладают следующими свойствами.

1°. Вектор-функции ^ (t, £1( g2, h, г), Q (t, g1( £2, h, е), R (t, І!, g2, h, e) со значениями в инвариантных подпростран ствах, соответственно, By, В2, В0, определены в области

R ХІ/а,Х n ßo X Uöo X Еео		(3.1 7)
и принадлежат в этой области классу
(tr, М (в, а 2, ß2) \|Л„ 0; 4 е. “ 2. ß2. b2)(luh,h))-		(З-18)
2е. Спектр оператора W распадается на два спектральных
множества а_ (IV) и	(W), не пересекающихся с мнимой
осью и расположенных,	соответственно, в левой и правой
полуплоскостях.

Докажем лемму о существовании локального интеграль ного многообразия Щ уравнений (3.16).

Л е м м а 3.1. Пусть функции в правой части уравнений (3.16) обладают указанными выше свойствами.

Тогда всегда можно указать такое положительное по стоянное ех (Еу < е0), что для каждого е > 0, в < егуравне ния (3.16) обладают двупараметрическим локальным интег

ральным многообразием	Tlt, представимым	соотношением
g =	4 ( t ,h ,h , в),	(3.19)

где вектор-функция cp (i, ly, g2. е) со значениями в В0 опреде лена в области t £ R, | £ * | < ß i , в £ ЕЕі, не прерывна, Т-периодическая по t и удовлетворяет условиям

ІФ (t, gi, ga, e) [\|< D (e); ф (t,	ga, e) £ Lip {glf g2; А (e, a 2, ß2)).
	(3.20)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как и при доказательстве лем мы 2.1 гл. IV, вместо (3.16) будем рассматривать уравнения

§ 3. У Р А В Н Е Н И Я , Б Л И З К И Е К Т О Ч Н О - И Н Т Е Г Р И Р У Ю Щ И М С Я 413

в которых функции, стоящие в правой части, определены в расширенной области

t (: Д Еі. ^ 2 £ Z, А £ Д 0, е £ Е£і,

(3.22)

где Z является расширением локальной области изменения переменных h (t), ga (0 для / £ Д

При этом потребуем, чтобы в расширенной области функ ции

^ 1 Д У У	А, е)>	Ql Д Еі> Ег> А, е)>	Д Д Еі.	Еа>А, е)
обладали теми же свойствами, что и функции
^ Д Ei. У	А, 8),	<2 Д EL Еа. А, е),	Я (А Еі. У	А, е)
в области t £	R, \|£ j < а0, \|g * \| < ß0,		\| h \ < ö0, e £ Eto,

и в этой области совпадали с ними.

Докажем существование ограниченных по t решений уравнений (3.21). Отсюда, согласно определению, будет сле довать существование интегрального многообразия этих уравнений.

Фиксируя положительные числа D, А (Z>< 6J, рассмо трим класс С {.D, А) вектор-функций F (t, У У со значе ниями в В0, непрерывных по t и удовлетворяющих неравен ствам

		II ЯД у		у	к	д
IIF Д У у	- F Д У УII <				А (I - ё I + I h - Ъ			I),
где								(3.23)
где	II Я Д	Еі. У	11=	sup		I F (t, у	g2)\|.	(3.24)
	II Я Д	Еі. У	11=	sup		I F (t, у	g2)\|.	(3.24)
					tCR
Имеем
IIF \|\|=		sup	\F(t, у			\| a) I < D < 6 X.		(3.25)
		t£R
		I..I.GZ
Рассмотрим уравнения
		^	Д		l2,	F (t, \| lf	8), 8),	(3.26)
								(3.26)
-^r =	i(d&	+ Q1 Д			5a. F Д EL		Ea. У У

Нетрудно проверить, что функции в правой части урав нений (3.26) удовлетворяют условиям, обеспечивающим

4 1 4 ГЛ. Ѵ Ш. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

существование единственного	решения,			удовлетворяющего
заданным начальным условиям		^	= £10,	£2 = Ізо	при і —
•= t0. Обозначим					(3.27)
Іи — L it , (£10, Sa,,),	I 2 1	=	M z,t, (U. іго)-

Рассмотрим теперь оператор S, переводящий векторфункцию F (t, | t, І2 , 8) со значениями из В0, принадлежащие классу С (D, А), в

—• \	G(г) R [t	z\ Lz't (\|і, І2 , 8)>			(£ъ	e);
— oo
F\t + z'	Lit (llt l2, e);		Mz,t ß lt ga, e); e], e) dz,			(3.28)
где G (z) — оператор-функция			Грина, определяемая по
средством соотношений
—щ- = — WG — — GW,				г ф о,		(3.29)
G ( - 0) — G (ф 0) — I,						(3.29)
G ( - 0) — G (ф 0) — I,
при этом						(3.30)
	I G (/) I С К	е а 1	1 ,	t £ R .		(3.30)

Принимая во внимание свойства функций в правой части уравнений (3.22), для St,і,л, (F) можем получить следую щие оценки:

\\Saui A m < D ( s ,	а \ ß2),		(3.31)
"(^)ІК
•< А (8, “ 2>ß2) (I Ію —Ію I + IІ2 0 — І2 0	1) +	~2*1 F — F l!> (3.32)
где D (e, oc2, ßa) -> 0, A (e, a a, ß2) -> 0		при e	0, a 2 -*■ 0,
ß2-^0.
В частности, из неравенства (3.32) при F =			F находим
IS a ' , i '2^ - s a l t 2 {F) 1< A (e>a2> №	(I S*o -

— Ію I + I І2 0 — І2 0 IK

а при £io == Ію, І2 0 = іго получаем следующее неравенство:

I S F - S F l K - ^ W F - F l

(3.33)

§ 3. У Р А В Н Е Н И Я , Б Л И З К И Е К Т О Ч Н О - И Н Т Е Г Р И Р У Ю Щ И М С Я 415

Отсюда следует, что оператор S является оператором сжа тия, и, следовательно, уравнение

F = SF

(3.34)

имеет в классе Со,д единственное решение. Обозначим его

F = fi(*,gi,ga,e)-

(3.35)

По самому определению класса Со,д видим, чт[1 (t, g1( | 2,е)

£ CD,а-

Раскрывая теперь уравнение (3.34) с учетом выражений (3.28), (3.35), производя затем в нем замену z + t — г и дифференцируя полученное равенство по t как по параметру,

убеждаемся,		что функции
hu	=	А (/; Lfz]t (§і, ga, е);	Mfz)t (gx, g2> e); e),
	=	1>І2> e)>	(3.36)
ga	=	(gl, g2, e)


являются	решениями		уравнений (3.21),			сводящимися при
t — А) К /і	(^0, gl> ^2, е)> gl, ^2-
Отсюда, согласно определению, следует, что многообра
зие, определяемое посредством hv = f1						\| 1( g2, е), является
интегральным для уравнений (3.21).
Но так как		в	области	t £ R,	'\| £ \|<ос0,		\|\|*\|<Го»
I /гI <Г б0, е £ ESl		уравнения		(3.21)	эквивалентны уравне
ниям (3.16), то в		этой	области	/х (t, \| х, £2, е) == f			(t, £г, \| 2, е)
является представлением двумерного локального							интеграль
ного многообразия уравнений (3.16).
С л е д с т в и е 3.1. На многообразии Щ рассмотрение

уравнений (3.16) сводится к рассмотрению двух уравнений вида

+	& (*, Іъ	ga> f (t, Іо ga , e), e),
		(3.37)
= ^ 2 +	Q (t, g i,	ga,f (t, g i, ga, e ) , «0,

где функции, стоящие в правой части обладают свойствами, аналогичными свойствам функций в правой части уравне ний (3.16).

Установим теперь свойство устойчивости многообразия ~Щ, которое сформулируем в виде следующей леммы.

416гл. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Ле м м а 3.2. Пусть правые части уравнений (3.16) об ладают свойствами, указанными на стр. 412.

Тогда всегда можно указать такие положительные посто янные е', а, 63, 62 (е' с е* -< е0; 63 < ö2 < 6j), что для каждого г < е', любого вещественного t0 в окрестности Uв, существует особое многообразие ЭЛ (t0, g10, g20, е) точек {h} со свойствами:

1) Если для t — t0

	К € Uв,,	но ht £ ЭЛ (tQ, gl0, g20>		е),	(3.38)
то тогда для некоторого t >			t0
2) Если для t — t0		h, ё	Uа,.
2) Если для t — t0
	й<еЯП(о.£іо.&о,в).				(3-39)
то тогда для всех t >		t0: ht £ U(,t и
IIht ~ f	(t, hu, ht, e) II < Ke-v1 1I\hn- f			(t0, g10l g20	E)\|\|
					(3.40)
где h0 =	Л/о.

3) Если спектральное множество а_ (W') пусто, то много образие ЭЛ (/0, g10> g20, е) вырождается в точку h0 = / (/„,

£і0> І20і е)-

4) £слы спектральное множество а+ (W) пусто, то много образие ЭЛ (t0, t10, g20, е) совпадает со всей окрестностью UÖs.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим интегро-диффе- ренциальную систему, эквивалентную уравнениям (3.16):

ОО Ъ ht = $ G (T - f)R (т, git, g2x, hx, е) di -f G (t0— t) N,

— ioEh‘ + ^ (t, ht, ht,	ht, e),
dt — ісо2^2і -f- Q (t, ht, h tI	hf, e),	t^> tQ
~ £l0 >ht = ^ 2 0 при t = t0,

(3.41)

где N — некоторый произвольный фиксированный вектор из банахова пространства В0 и оператор-функция G (т — і) удовлетворяет неравенству (3.30).

§ 3. УРАВНЕНИЯ,- БЛИЗКИЕ К ТОЧНО-ИНТЕГРИРУЮЩИМСЯ 417

Применяя к системе (3.41) способ получения оценок, не однократно применявшийся выше, учитывая при этом свой

ства вектор-функции		(t,	ga,	h, e), Q (t, \| lf gs, h, e),
R (t,	g2, h, e), а также неравенство (3.30),				нетрудно по
казать,	что при всех е <	е'	(е' <	ех <!е0), \|	\| <Г б2 опера

тор в правой части интегрального уравнения (3.41) является оператором сжатия, а система дифференциальных уравнений удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование единственного решения и, следовательно, интегро-дифферен-

циальная	система уравнений (3.41) имеет единственное
решение (£», ht,		ht), для которого ht £ и&г при всех t		> t0,
причем		ft<=	’P(f0, / , g1/;b ,W ,e ),	(3.42)

где W (t0,	t, ht,	ht,	N , e) — сильно-непрерывная	функ

ция своих аргументов удовлетворяющая условию Липшица вида

IIY (/„, t, Іи Ъ, N', е) -						¥	(/„, f, Ь, Й, /V", е) I <
< А	( I Й	-	Й I +		I Й	-h	I) +	К е - а 1 1- * ° 1 IIN ' -	N " fl,	f > t0,
										(3.43)
/С — постоянная					из условия (3.30).
Запишем систему (3.41) в виде
	t
ht =	I G(т — f) R (т, gix, І2Х,							hx, 8) dt +
	t.
		oo
	+	1 G { x		—	t)R ( T ,		£ I T , І 2 Т, hx, e) d x +		G (70 —	0 W,
—				^	(*» iw, I»,			e),
—	=	m fyt		+ Q (*, iu, ht, ht, e),
	=	£io>	ht = І2 0			ПРИ ^ = ^o-				J
										(3.44)

Принимая во внимание соотношения (3.29), нетрудно ви деть, что решения интегро-дифференциальной системы (3.44) являются в то же время решениями дифференциальной си стемы уравнений (3.16).

14 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова

418 ГЛ. V III. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Назовем решением типа 62 любое решение системы диф ференциальных уравнений (3.16), удовлетворяющее условиям

Іі =	£м>	^ 2	= ^2 0 >	hf — h0 £ U(,3 при t ~ t0,	I ^
Ei =	Іи,	І 2	= h t,	ht £U62 при t'^>tl > t ü.	)

Легко показать, что всякое решение типа 63 удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (3.16) при N — к0 и, следовательно, для этого решения имеем

ht = 4 ( t0,t,b t.b i> N ,e ),	\|Л /\|< 0 3.	(3.46)
С другой стороны, для е <; е' (для	которого	D (е) < 62

(62-<61))все решения, лежащие на интегральном многооб разии Ж ,, принадлежат к типу 62 и, следовательно, являются решениями системы (3.44) при некотором N = N’, удовлет

воряющем условию \N' I <С 62.		имеющем место
Поэтому, полагая в неравенстве (3.43),
для решений интегро-дифференциальной		системы (3.44),
вместо одной из функций Ф (t0, t,	Ьи,	N, е) функцию

/ (t, SH, %2 і, е), принадлежащую интегральному многообразию

Ж,, и соответствующее ей значение N =				N ', получим
	<	к (е, а2, ß2) е~у 1*~и 11\| N' — N \|\|				(3.47)
и, в частности, для любого решения типа 62, заменив						здесь
произвольные	£2 на Ей, Ьм, найдем
II f (t, Ен bt, e ) - h t \\< K (8 а2, ß2)			1	1 x
		X l/(^ E x o ,U .8 ) - Ä 0ll,				(3.48)
при этом следует иметь в виду, что эти оценки					справедливы
до тех значений	t0 Е	(/„, tx], пока\| %и \| < а 2,			\| < ß2 (а2<■
■^7 ocj < а0; ß2	ßi ^	ßo).	значений		при	t =
Обозначим множество начальных

для решений типа 62 через Ж (t0, | 10, £20, е). Это есть множест

во точек {h}	из і/ба, для которых
h =	Т (t0, t0, l 10, g 20, N, e ) ,	I N I < 6 S.	( 3 . 4 9 )

Так как для всякого решения типа 5 выполняется соот ношение (3.46), то, положив в нем t — t0, убеждаемся, что Іг0 должно принадлежать Ж (t0, | 10, £20, е).

Поэтому, если для t = t0
ht € ^6j> но h( £ Ж {t^, ^10, ^20, e),	(3.50)

§ 3. УРАВНЕНИЯ. БЛИЗКИЕ К ТОЧНО-ИНТЕГРИРУЮІДИМСЯ 419

то соответствующее этим начальным условиям решение (bt, £2 (, ht) не может принадлежать к типу б2, так что ht не мо жет оставаться в окрестности i/öi для всех t > t0, т. е. най

дется такое t Д> t0, что /г- £ U6s.

Пусть теперь %t, ht — решения уравнения (3.16), для которых ht £ ЭЛ (f0, £10, g20, е) при t = (0. Нетрудно убедиться, что это решение является решением типа 62 и, следовательно, для него выполняется неравенство (3.48)

(для всех t 6 Uo, пока | gu | < a 2, | | < Рг)- Действительно, как мы показали, решения системы урав

нений (3.44) являются в то же время решениями уравнений (3.16). Для решений уравнений (3.44) имеем

(3.51)

Так как решения уравнений (3.16) всецело определяются начальными условиями, то если ht есть какое-либо решение уравнений (3.16), для которых имеет место соотно шение (3.51), то оно является также решением уравнений (3.41).

С другой стороны, любое решение типаб2 является реше нием уравнений (3.44) при N — h0 и для него

	ht = 4 (t, t0, Іи , b t, N, г), ii N I <			63.
Далее,	через ЭЛ (/0,	£10, £20, е)	мы обозначили множество
точек	[h) из области	0^,, для	которых Іг0 =	W (t0, t0, \| 10,

£2о, N, s). Следовательно, решения, принадлежащие при некотором t = t0 множеству ЭЛ (t0, £10, £20, 6). являются ре шениями типа 62, и поэтому для них будет выполняться не равенство (3.48) для всех t >• і0.

Установим теперь справедливость третьего и четвертого утверждений леммы.

Пусть спектральное множество о_ (W) пусто. Тогда, со гласно определению оператор-функции Грина G(t), имеем

и интегральное уравнение в системе (3.41) принимает вид

0 0
ht = ] ew «-v R (x, \|ix, bn !h, e) dx,	t > x, (3.52)

14*

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 5242 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ