книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

390 ГЛ. VIII. М НОГ ООБ Р . У Р - Н И Й В БАН АХ ОВ ОМ П Р ОС Т РА НС Т ВЕ

где H = P0B —■линейный оператор, спектр которого не пе­ ресекается с мнимой осью и расположен, в общем случае, в левой и правой полуплоскостях; функции R (t, ф, г, s), S (t, ф, г, s), со значениями в инвариантных подпространствах

непрерывными функциями своих аргументов, периодически­ ми по ф с периодом 2Т. В силу ограниченности оператора

892 ГЛ. VIII. МН О Г О О Б Р . У Р - Н ИЙ В БАН АХ ОВ ОМ П Р О С Т Р А Н С Т В Е

Ввиду того, что функции X (t, х), А0 (х) удовлетворяют усло­ вию Липшица по ф, 2 с некоторой константой L, из выраже­ ний (2.20) и (2.22) следует, что (t, ф, г, s), eSx (t, ф, г, s) удовлетворяют условию Липшица по ф, г, s с константой, пропорциональной е.

Таким образом, функции s R (t, ф, г, s), eS (t, ф, г, s), определенные посредством выражений (2.18) и (2.19), удов­ летворяют условию Липшица по ф, г, s с константой Лип­ шица X (е, а) 0 при е -»- 0, а -ѵ 0.

Итак, функции E R (t, ф, г, s), eS (^, ф, г, s), стоящие в правой части уравнений (2.24)х, (2.24)2 со значениями в ин­ вариантных подпространствах Вг и В2, определены на мно­ жестве R X ¥ X £/(jt X X Ее„, непрерывны, перио­ дические по ф с периодом 27’ и обладают ограниченными и . равномерно непрерывными частными производными по

Преобразуем теперь уравнение (2.24)х к угловой перемен­ ной ф. Для этого представим уравнение (2.24)х в виде

Предположим, что уравнение

(2.33)

имеет периодическое решение

где л(ф)— дважды непрерывно-дифференцируемая функ­ ция ф. Очевидно, имеем тождественно

Рассмотрим теперь (2.34) как формулу замены перемен­ ных в уравнении (2.32). Подставляя г = г (ф) в уравнение (2.32) и принимая во внимание тождество (2.35), получаем

396 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н ИЙ В БАН АХ ОВ ОМ П Р ОС Т РА НС Т ВЕ

из которой в силу произвольности б > 0 получаем требуе­

порядка удовлетворяют условию (2.41) леммы, причем роль

lim Evh(t, g, h, e) = 0

e-+0

равномерно относительно t £ R, g £ Q, h £ £/s0>e £ £)>„, из которых следует, что при достаточно малом е операторы

ратные и, следовательно, преобразование (2.40) обратимо. При этом всегда можно указать такие достаточно малые по­ ложительные ег <; е0, 6j С 60, что при е < ег и | А|| < бх переменная s не будет выходить из области своего определе­

Подставляя выражения (2.40) в уравнения (2.37) и учитывая соотношения (2.44) (заменяя при этом р на е),

398 ГЛ. VIII. МНОГООБР. УР-НИП В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

где функции Р (t, g, h, г), Q (t, g, h, e) со значениями в ин­ вариантных подпространствах Blt В2 определены на мно­

константой Липшица к (е, б) -> О при е ->-0, б 0 (б С 6L) *). Спектр оператора W распадается на два спектральных мно­ жества о_ (W) и а-i- (W), не пересекающихся с мнимой осью и расположенных соответственно в левой и правой полу­ плоскостях.

2. Существование и свойства интегрального многообра­ зия. Для доказательства существования интегрального многообразия Щ уравнений (2.46) достаточно доказать существование ограниченных на всей оси решений gt,ht этих

F (t, g)**) со значениями из В2, определенных на множестве R X Й и удовлетворяющих неравенствам

Для некоторой вектор-функции F (t, g) £ CD,д рассмот­ рим уравнение

*) В дальнейшем для сокращения записи вектор-функцию / (t, g, h, г), обладающую указанными свойствами, будем считать принадлежа­ щей классу (ga ; М (е)|л=0; к (в, 6)g hj.

**) Зависимость вектор-функции от е не указываем для простоты

записи.

на основании которых, в силу известных теорем существо­ вания и единственности решений дифференциальных урав­ нений в банаховом пространстве, следует существование единственного решения уравнения (2.50), удовлетворяющего заданному начальному условию. Обозначим его

St = Ы - г =--=t — t0, (2.53)

при этом Bo,t0(go) ^ go-

Из уравнения (2.50), используя неравенства (2.51), (2.52), нетрудно получить следующее неравенство:

II Blu (go) —B(h (go) II < II go —go II exP {*■(e D) (1 +A)|z|} +

+ 1Т Т ^ {ехр^ (е' 0И1 + A )|2ll~ 1'- (2-54)

где F (l, g), F (t, g) вектор-функции из класса Сол-

С другой стороны, согласно свойствам вектор-функции

в силу теоремы 1.8, имеет ограниченное на всей оси R ре­ шение h (t) = f (t, g (t), e), представимое в виде

— oo

где G (г) — главная функция Грина оператора W в подпро­ странстве В2, при этом

где К, у — некоторые положительные постоянные. Рассмотрим теперь решение уравнения (2.50) gz =*

= Bz't0 (g), обращающееся при t = t0 в фиксированный элемент g. Для этого решения из уравнения (2.56) получим интегро-функциональное уравнение

оо

определяющее F (i, g, в).