380 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И Й В Б АН А Х О В О М П Р О С Т Р А НС Т ВЕ
следующее выражение для решения х (t) уравнения (1.35):
г
X(f)~§Gr(t — s)f(s)ds,
(1-51)
где
о
JгÜ .
2 4 л <
.
,
1
GT(t) = - ± r
£
)
е
т \
(1.52)
k= —со
Оператор-функция
Gr (0
называется
Т-периодической
функцией Грина уравнения (1.35). Она характеризуется
следующими
свойствами.
функция
t.
за
1.
Gr (0 — периодическая
2.
Gr
(t)
I.
непрерывна в операторной норме при всех t,
исключением точек t = Tk
(k = 0, ± 1, ± 2 ), причем
Gr (+0) — Gr (— 0) =
дифференцируема
3.
В точках непрерывности GT (t)
по норме и удовлетворяет дифференциальному уравнению
G'T(t) — AGT (t).
(1.53)
Непрерывное решение уравнения (1.53) имеет вид ем = = С, где С — постоянный оператор, поэтому находим, что
GT(t) = eAt{I — еАТГ х (0 < t < T ) .
(1.54)
Оператор (/ — еА‘)~1 существует, так как в противном слу-
2 k j t і
чае спектр о (А) содержит хотя бы одну точку вида —f — • Остается продолжить полученное решение на всю ось пери
одически .
следующая
теорема.
Справедлива
Т е о р е м а
1.6. Если спектр а (Л) не содержит точек
2k4i
1> ...), то уравнение (1.35)
мнимой оси —-— (k — 0, ±
при любой непрерывной Т-периодической функции f (/) имеет одно и только одно Т-периодическое решение х (/), определяемое выражением
т
x ( t ) ~ I Gr (t — s) / (s) ds.
(1.55)
è
Д о к а з а т е л ь с т в о . Интеграл (1.55) существует, поскольку подынтегральная функция непрерывна. Перио дичность X (0 вытекает из периодичности функции Gr (t).
§ 1.
Г Е О М Е Т Р И Я
Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР О СТ Р АН СТ В
381
Представляя выражение (1.55)'в виде
г
т
X (t) = ' G, ( t — s)f (s)ds -f^GT{t — s)f (s) ds
о
<
и дифференцируя по t, получаем
t
г
x' (t) =
^ AGT (t — s) ds -f- J AGT (t — s)f (s) ds -j-
6
t
\
+
[Gr (+ 0) - Gr ( - 0)] f (t) =
Ax (t) +
/ (t).
Единственность решения следует из того,
что в
усло
виях теоремы однородное уравнение не может иметь нетри виальных непрерывных Т-периодических решений.
Предположим, что оператор монодромии U (7) имеет лога рифм, т. е. существует оператор V — ln U (Т), для которого ІІ (Т) — еѵ. Заметим, что в отличие от конечномерных про странств, в бесконечномерном пространстве оператор не всегда имеет логарифм. В частности, оператор монодромии
U (Т) имеет логарифм, если
его спектр
не окружает нуль.
Введем в рассмотрение оператор
В = ~
= \nU (Т)
(1.59)
и оператор-функцию
Q{t) = U(t)e~tB,
( 1.60>
382 гл. VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
которая, как нетрудно видеть, является Т-периодической. На сегменте 0 -< t •< Т оператор-функция Ѳ (/) непрерыв на, дифференцируема и имеет непрерывную обратную опе
ратор-функцию Ѳ“ 1 (t).
Из (1.60) следует представление Флоке оператора U (t):
U (t) = Q{t)etB.
(1.61)
Имеет место следующая теорема о представлении Флоке. Т е о р е м а 1.7. Для того чтобы разрешающий опе ратор линейного однородного уравнения с периодической оператор-функцией допускал представление Флоке (1.61), необходимо и достаточно, чтобы оператор монодромии это го уравнения имел логарифм. В частности, это имеет место, если спектр оператора монодромии не окружает нуль*).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточность существова ния логарифма вытекает из приведенных выше рассуждений. Необходимость следует из соотношений
Ѳ (Т) = Ѳ (0) = U (0) = /, U (Т) = Ѳ (Т) етв = етв.
Докажем последнее утверждение теоремы. Выбрав за мкнутый жорданов контур у, окружающий спектр ст (U(T)) и не окружающий нуль, и однозначную на этом контуре ветвь ln X, можем построить логарифм оператора монодромии с помощью формулы
ln U (Т) = —
ф ln %[U (Г) — XI]~ldX.
(1.62)
7
Это завершает доказательство теоремы.
призна
З а м е ч а н и е 1.3. Имеет место ряд других
ков существования представления Флоке в бесконечномер
ном банаховом пространстве (см., например,' [32],
гл. V,
а также [122]).
Посредством преобразования
у = Q (і) г
уравнение (1.56) приводится к виду
■§ = В(г)
(1.63)
с постоянным операторным коэффициентом.
*) Спектр а ( U (Т )) заведомо не окружает нуль, если пространство В конечномерно или если А (t) — оператор-функция с вполне-непрерыв- ными значениями.
. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР О СТ Р АН СТ В 383
16. Линейные дифференциальные уравнения с периоди ческой оператор-функцией, зависящей от параметра. Рас смотрим уравнение
JjL- = A(t,K)y
(1-64)
в банаховом пространстве В, где X — комплексный пара метр, I Я| < г, А (t, X) — Т-периодическая по t операторфункция, сильно непрерывная относительно t, аналитиче ски зависящая от X, и, следовательно, разлагающаяся в ряд
равномерно сходящийся для всех / £ [О, Т] и |Х| <; г. Обо значим U (t, К) разрешающий оператор уравнения (1.64):
= X) U it, X),
(1.66)
и (О, X) = I.
Можно показать, что оператор U (t, X) также будет аналити ческой функцией X, для которой справедливо разложение
с о
U ( t , X ) - = ^ U k (t)Xk,
(1.67)
k=0
сходящееся равномерно для t £ [О, Т] и | X| <
г.
В частности, аналитической функцией X является опе
ратор монодромии U (Т , X), определяемый посредством со
отношения
U(t + T,X) = U(t,X)U(T,X).
(1.68)
Воспользовавшись оператором монодромии, построим представление Флоке для оператора U (t, X). Для этого рас смотрим оператор монодромии U0(Т) = U (Т , 0) и предпо ложим, что его спектр не окружает нуль. Эго означает, что всегда можно выбрать простую кривую /, выходящую из на чала координат и уходящую в бесконечность, не пересека ющую спектр оператора U0 (Т). Разрежем по линии / рас сматриваемую комплексную плоскость и рассмотрим в ней некоторую однозначную ветвь In ц. Обозначим через Г про стой замкнутый контур, лежащий в этой плоскости и окружа ющий спектр a ((/„ (Г)). В силу непрерывности при достаточ но малых значениях |Я| в области, ограниченной Г, будет
384 г л . VIII. МН ОГ ООБ Р . У Р - Н ИЙ В Б А НАХОВ ОМ ПР ОС Т РАНС Т ВЕ
лежать также и спектр оператора U (Т, А). Для этих значе ний IАI построим оператор
F (К) = -і- ln U (T , А,) = —
(j) ln р (U (Т , X) — р /Г ^ р .
(1.69)
Построив ln U (Т , X) для некоторого X = Alf мы можем затем деформировать контур Г так, чтобы он не встретил особенностей подынтегральной функции для F (X), и затем аналитически продолжить F (А,) в некоторую окрестность точки X = Аг. Продолжая этот процесс до тех пор, пока кон тур Г не будет самопересекаться, мы получим аналитиче ское продолжение функции F (А) в некоторый круг (A j < /у (П О г), в котором аналитическая функция F (А) однознач на и разлагается в ряд
F (А) = Л) + А/71 -f- ••• -\-XnFn Jr ••• (I АI <сГ гх).
(1.70)
Рассмотрим оператор-функцию
Ѳ (/, А) = U (t, A) e~iFа>, Ѳ (0, А) = /.
(1.71)
Нетрудно проверить, что Ѳ (t, А) является Т-периодической оператор-функцией, непрерывной на сегменте [0, Т], диффе ренцируемой и обладающей обратной оператор-функцией
Ѳ -1(і, А).
Согласно (1.70) и (1.71), для Ѳ (t, А) также справедливо разложение в ряд
о о
Ѳ(С А )= 2 Ѳ * (0 А ‘,
(1.72)
*=о
равномерно сходящийся для всех ^ ^ [0, Т] и
|А] -< г.
Из выражения (1.71)следует представление Флоке
U(t, А) = Ѳ(/, А)е«н*>.
(1.73)
Посредством преобразования
y — Q(t,X)z
(1.74)
уравнение (1.64) приводится к виду
(1.75)
с постоянным операторным коэффициентом.
§ 1.
Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х
ПР ОС Т РАНС Т В 385
Способ последовательного определения коэффициентов
в разложениях
(1.70)
и (1.72) подробно изложен в [321.
Рассмотрим
теперь
случай, когда
А (t,
Я) =
ЯЛ (t).
Тогда уравнение (1.64) принимает вид
-%- = kA(t)y.
(1.76)
В разложении (1.65)
4
, ( 9 =
0, AL(t) = A(t),
Л*(0 = 0
(k =
1,2,3,
...)
(1.77)
и,
кроме того,
в (1.70)
В0 =
0.
Таким образом, в рассматриваемом случае в уравнении
- § ^ F ( K ) z ,
(1.78)
полученном из уравнения (1.76) посредством преобразова ния (1.74), разложение в ряд по степеням Я коэффициента F (Я) начинается с величин порядка Я.
17. Квазилинейные уравнения. Рассмотрим уравнение вида
- * . = Ax + F(t, X),
(1.79)
в котором вектор-функция F (t, х) со значениями в В опре делена для t £ R, X £ D, гдеО — некоторое подмножество пространства В, при этом полагаем, что F (t, х) удовлетво ряет условию
||Р(^, х)||<С (х)||х||, lim С (х) =
0,
(1.80)
а
спектр оператора А
не пересекается с мнимой осью и
расположен в левой и правой полуплоскостях
о(Л) = о+ (Л) U а_(Л).
(1.81)
Приведем теорему об ограниченности решений уравне
ния (1.79) на всей оси.
Пусть функция F (t,
х)
определена
на
Т е о р е м а
1.8.
множестве R
X Dp, где Dp — {х, |] х|] •< р},
непрерыв
на по t и удовлетворяет условиям
(1.82)
II
F(t, х)1< М ,
II F{t, x') — F (t, О ||< ? К - Г
fl,
(1.83)
13 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова
386 г л . VIII. МН О Г О О Б Р . У Р - Н И Й В Б АН А ХО ВО М - П Р О С Т Р А Н С Т В Е
где М, q — некоторые постоянные. Пусть спектр а (Л) удовлетворяет условию (1.81). Тогда уравнение (1.79) имеет одно и только одно решение -х (t), остающееся при всех te шаре Dp:
sup
||х ||< р.
(1.84)
—ОО<^t<Соо
решение х (t)
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Рассмотрим
уравнения (1.79), не выходящее из Dp. Тогда функция F(t, X {t)) ограничена на всей оси, и мы можем применить
теорему IX. 1.5,согласно которой решение уравнения
(1.79)
можно представить в виде
ОО
x ( t ) ~ j GA it — %) F (г, X (%)) d%,
(1.85)
— oo
где GA (0 — главная функция Грина оператора А. Опера тор-функция G (t) подчинена оценке
||Ол ( / ) ||< Л ^ |П,
(1.86)
где N, у —• некоторые положительные постоянные.
Таким образом, рассматриваемое решение х (і) уравнения (1.79) удовлетворяет интегральному уравнению (1.85), и, наоборот, каждое решение интегрального уравнения (1.85), на выходящее из Dp, на основании той же теоремы
удовлетворяет уравнению
(1.79).
(t), определенных
Итак, при рассмотрении решений х
на всей оси R и не выходящих из Dp,
уравнения (1.79)
и (1.85) можно считать эквивалентными.
Для доказательства существования и единственности
решения уравнения (1.85)
рассматривается шар Dp, состоя
щий из функций X (t), удовлетворяющих условию
III X 1 =
sup ||х ( 0 К р .
—co<f<Соо
Принимая во внимание свойства функции F (t, х), легко убедиться, что при достаточно малых М и q преобразова ние
у (t) — (Sx) (t) = I CA(t — s) F (s, X ( s ) ) ds
—oc
действует в шаре Dp и является сжатием. Отсюда вытекает существование единственного решения уравнения (1.85), а значит, и уравнения (1.79) в шаре Dp.
§ 2. У Р А В Н Е Н И Я В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ
387
§ 2. Уравнения в стандартной форме
В этом параграфа нами будут исследованы интегральные многооб разия нелинейных дифференциальных уравнений в стандартной форме
- ^at- = еХ (/, X)
(2.1)
в бесконечномерном банаховом пространстве В.
Понятие интегрального многообразия, введенное для евклидова пространства, переносится также на случай банахова пространства. Таким образом, под интегральным многообразием уравнения (2.1), как и обычно, мы будем понимать некоторое множество S< в произведении R X В (R — вещественная ось), составленное из траекторий этого
уравнения.
Что касается методов исследования интегральных многообразий в бесконечномерном банаховом пространстве, то они существенно опи раются на спектральную теорию линейных ограниченных операторов и теорию дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Все необходимые вспомогательные сведения нами приведены в предыдущем параграфе.
1. Приведение исходного уравнения к специальному виду. Рассмотрим уравнение (2.1), где вектор-функция X (t, х) со значениями в бесконечномерном банаховом про
странстве В определена на множестве R X D,
где D —■
некоторое открытое множество
пространства
В,
г — ма
лый
параметр, е £ ЕЁ0.
Пусть функция X (t, х) допускает существование сред
него
по t:
7
Х(х0) = 1іш4 j r \x ( t,x ) d t
(2.2)
г-°о 1 6
равномерно относительно х £ D,
и наряду с
уравнением
(2.1)
рассмотрим соответствующее ему усредненное уравне
ние
- § - = *„(*)•
(2.3)
Предположим, что уравнение (2.3) обладаетпериодическим решением
2C= X°((ÜT) (л:0(ф Т ) = х0(ф)).
(2.4)
Обозначим р0-окрестность решения (2.4) через DPo. Пусть вектор-функции X (t, %), Х0 (х) непрерывны на множестве R X DPo и обладают непрерывными сильными производ ными по X первого и второго порядка.
13*
888 г л . VIII. М Н ОГ О ОБ Р . У Р - Н И Й В Б АН А ХО ВО М П Р ОС Т РА НС Т ВЕ
Обозначим А (сот) сильную производную вектор-функ ции Х0 (х) по х при X = х° (сот) и рассмотрим линейное уравнение
— А (сот) у (А (сот) = Х0х(х° (сот))),
(2.5)
которое является уравнением в вариациях, составленным
для решения (2.4).
U (сот)
Введем в рассмотрение разрешающий оператор
уравнения (2.5), удовлетворяющий системе
= А (сот) U (сот),
(2.6)
di
U (0) =
/,
оператор монодромии U (Т)
(U (сот + Т) = U (сот) U (Т)),
оператор F =
ln U (Т)*),
оператор-функцию Ѳ (сот) =
= U (cüT)a-bnF и, наконец,
представление Флоке
U(сот) =
Ѳ (сот) емт/?.
(2.7)
Нетрудно проверить, что оператор-функция
Ѳ (сот) удовле
творяет соотношению
со + в (сот) F = А (сот) Ѳ (сот).
(2.8)
Представим исходное уравнение (2.1) в виде
ИY =
гХ0 (х° (сот)) +
гА (on) у + гХг (t, х, у),
(2.9)
где
гХ (t, х) — еХ0 (х) + гХ0(х) —
еХх (t, X, у) =
— еХ0 (х° (сот)) — еА (сот) у ,
(2.10)
при
этом ЦеХі (t,
X, у)\\ =
О (е, ||г/|2) при
\\у\\ -н- 0,
е -> 0
(у =
X — х°).
уравнении
(2.9) замену
переменной со
Произведем в
гласно формуле
X == х° (сот) 4- Ѳ0 (сот) г.
(2.11)
В результате,
воспользовавшись соотношением
(2.8),
а также очевидным тождеством
А
х° (сот) =
еХ0 (х° (сот)),
(2.12)
получим
~
= eFz +
eZ (/, ф, г),
(2.13)
') Предполагается, что ln U (Г) существует.
§ 2. У Р А В Н Е Н И Я В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ
389
где *)
eZ (t, ф, z) = еѲо-1 (-ф) Х г (t, х° (ф) + Ѳ0 (ф) г, Ѳ0 (ф) г).
Из существования периодического решения (2.4) следует, что оператор eTF имеет собственное значение, равное 1,
иследовательно, оператор F имеет нулевое собственное зна чение р = 0, которое полагаем изолированной точкой спек тра оператора F. Остальной спектр оператора F обозначим а0 (F) и предположим, что он не пересекается с мнимой осью
ив общем случае расположен как в левой, так и в правой полуплоскостях.
Введем в рассмотрение проекционные операторы
= -------
5НГ ф
— * ' Г ' Л . Р , = - - і - ф (Г - и г Ж
Г,
г„
(2.14)
где Г1!, Г0 — замкнутые жордановы контуры, окружающие соответственно точку р = 0 и спектр а0 (F). Проекторы Plt Р0 проектируют исходное пространство В в инвариантные подпространства Blt В0 со спектрами соответственно 0 и а0 (F), так что а (F) = {0} (J а0 (F). Обозначая элементы под пространств Вх и В0 соответственно через г и s, можем на писать
г = Ргг, s = P0z
(z = Pxz + P0z).
(2.15)
Дифференцируя соотношения (2.15) по t, принимая при этом во внимание уравнение (2.13), получаем
4t = Р Л
= Pi&Fz +
P ieZ (*» Ь
2) =
=
zFjZ +
e Z ^ , ф, г, s) = eR(t, ф, г, s),
(2.16)
4 t = P o 4 t
=
p oeFz +
ф, z) = eHs + eS(t, ф,
г, s),
______________
(2.17)
*) В отличие от евклидова и гильбертова пространств, в которых оператор F*, сопряженный некоторому линейному ограниченному опе ратору F, действует в том же пространстве, что и оператор F, в банахо вом пространстве В сопряженный к F оператор F* действует в сопряжен ном пространстве В*, и следовательно, мы не можем воспользоваться
преобразованием типа (1.61) гл. I, которое является вещественным. Чтобы оставить преобразование (2.11) вещественным, в рассматри
ваемом случае банахова пространства мы воспользуемся функцией Re (Ѳ(сот)} = Ѳ„ (сот), которая является 2Т-периодической операторфункцией сот.
