книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

8 7 0 г л . VIII. М НОГ ООБ Р . У Р - Н ИЙ В Б АН А ХО ВО М П Р О С Т Р АН СТ В Е (

Определим функцию ф й ( А , ) следующим образом:

которые характеризуют операторы параллельного проекти­ рования.

Подпространства Вк — PkB (k = 1, ..., т) — инвари­ антные подпространства оператора А, и спектральным мно­ жеством оператора А в Вк является ок (Л).

8. Операторная экспонента. В теории дифференциальных уравнений особую роль играет функция еАІ, которая может быть задана посредством ряда

§ 1. Г ЕО М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР ОСТ РАНСТ В 371

или посредством интеграла

га

Эта функция удовлетворяет соотношениям, справедливым для показательной функции:

Пусть Ф (О (О С t<Z оо)— некоторая положительная функ­ ция. Величина

называется показателем экспоненциального роста функции Ф (/). Эта величина совпадает с нижней гранью тех значе­ ний р, для которых существует константа Np такая, что

роста.

Строгий показатель экспоненциального роста совпадает

вектор-функция со значениями в банаховом пространстве Вг, определенная в окрестности U (х0) некоторой точки х0 банахова пространства В0.

Функция / (х) называется дифференцируемой по Фреше

в точке х0, если в окрестности U (х0) ее можно представить

подмножество банахова пространства В. Пусть операторS, не обязательно линейный, отображает М в себя и явля­ ется оператором сжатия, т. е. удовлетворяет условию

ISxj — Sx21 •< k fl Xj — x2fl ( I 4 < l ) (1-25)

для любых xlt х2 £ М . Тогда в М существует одна и только одна неподвижная точка х оператора S . Sx = х. Эта точка может быть получена как предел последовательности

при т -у 0 следует, что х является неподвижной точкой преобразования 5.

отображений обычно роль М играет либо все пространство В, либо шар Dp. В некоторых случаях множество М констру­ ируется специальным образом.

11.Отображения. Пусть X и Y — некоторые множества.

В случае, если Y есть в точности множество всех значений Fx для X £ X, то F есть отображение Х н а Y (или накрытие,

или сюръективное отображение).

Пусть F : X -> Y и пусть U — некоторое подмножество множества X. Тогда образ множества U содержится в Y.

на U. Любое сужение постоянного отображения есть посто­ янное отображение.

Отображение F называется взаимно однозначным (или

вложением, или инъективным отображением), если из F (х) — F (х') следует х = х '.

Пусть X — некоторое множество метрического простран­ ства N, X — точка множества Х и г — некоторое положи­ тельное число. Тогда окрестностью Dr радиуса г точки X в множестве X называется множество всех точек из X, расстояние которых от х меньше г.

Пусть N и N’ — два метрических пространства., Отобра­

F (х0) в N' существует такая окрестность Dr точки х0 в N,

что F (Dr) с: Dr. Отображение F называется непрерывным в N, или просто непрерывным, если оно непрерывно в каж­ дой точке пространства N. Отображение F называется

§ 1. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР ОСТ РАНСТ В 375

гомеоморфизмом, если: 1°)оно есть отображение на и взаим­

но однозначно; 2°) F и обратное отображение/7“ 1 непрерыв­ ны. Такие отображения называются также взаимно непре­ рывными. Имеет место следующая теорема.

свойством, что для любой пары точек ylt у2 шара Dr выпол­ няется неравенство

открытую окрестность точки 0 в В.

Подробное доказательство этой фундаментальной теоре­

Решением уравнения (1.31) будем называть абстрактную функцию X (t) скалярного аргумента t со значениями в В,

В, и, следовательно, если х (f) £ В, то d x при каждом t

также принадлежит В.

Полагаем, что вектор-функция X (t, х, е) удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование и единственность

376 ГЛ. VIII. МН О Г О О Б Р . У Р - Н И Й В Б А Н А Х О В О М ПР ОС Т РАНС Т ВЕ

решений этого уравнения. Подробно на вопросе существо­ вания решений уравнения (1.31), их единственности и про­ должимости на бесконечный интервал времени мы останав­ ливаться не будем. Эти вопросы достаточно подробно осве­ щены в известных монографиях (см., например, [32], [76]).

13. Линейные дифференциальные уравнения с постоян­ ным оператором. Рассмотрим уравнение

в банаховом пространстве В с постоянным операторным коэффициентом А £ [В].

Решением уравнения (1.32), удовлетворяющим условию

причем это решение единственно в классе дифференцируемых функций.

причем это решение также единственно.

Поведение решений уравнения (1.32) на бесконечности зависит от расположения спектра оператора А.

Если спектр о (Л) расположен внутри левой полуплос­

при любых t >- (0 и некоторых положительных постоянных

К, у.

Верно и обратное утверждение: если оценка (1.37) выполняется для всякого решения х (!) уравнения (1.32), то спектр а (А) лежит внутри левой полуплоскости.

§ 1. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР О СТ Р АН СТ В 377

Пусть спектр а (Л) расположен в левой и правой полу­ плоскостях: о (Л ) = а+ (Л) U о_(Л). Обозначим через Р+, Р - спектральные проекторы, соответствующие рассмат­

странства оператора Л. Заметим, что,так как В+, ß _ — ин­ вариантны и относительно оператора еАі ( 0 < / < оо), то решение х (t) = eAtx0 уравнения (1.32), начинающееся в ка­ ком-либо из них, не будет выходить из соответствующего под­ пространства.

Рассмотрим такие случаи.

I. Пусть Р+х0 = 0, т. е. х0 £ ß_. В этом случае решение X (t) = eAtx0 уравнения (1.32) стремится к нулю.

II.Пусть Р-Х0= 0, т. е. х0 £ В+. В этом случае решения

сначальными значениями из В+ неограниченно возрастают при t оо.

Кроме того, из разложения

X(t) == eAtx0= eAtP_x0+ eAtP+x0 (— P^eAtx0+ P+eAtx0)

(1.38)

следует, что любое решение, для которого Р+х0 Ф 0, неогра­ ниченно возрастает. В частности, если а (Л) = а+ (Л), то ненулевое решение уравнения (1.32) уходит на бесконеч­ ность при t -> оо.

Выясним условия, при которых решения уравнения (1.32) ограничены на всей вещественной оси. Из условия ограниченности решений уравнения (1.32), определяемых

где Сс0зависит лишь от х0.

Из (1.39) следует, что совокупность операторов eAt огра­ ничена на каждом элементе х0 £ В. По теореме Банаха — Штейнгауза (см., например, [32], теорема 1.1.2) такая со­ вокупность является равномерно ограниченной:

( — о о < ; < о( о1 )-,4 0 )

откуда, согласно следствию 1.1, вытекает, что спектр опе­ ратора Л лежит на мнимой оси.

Если фазовое пространство является гильбертовым, то, согласно [32] (теорема 1.6.3), условие (1.40) будет выпол­ няться тогда и только тогда, когда оператор Л подобен

378 гл . VIII. МНОГООБР. УР-НИЙ в б а н а х о в о м п р о с т р а н с т в е

косоэрмитову оператору. Таким образом, имеет место следую­ щая теорема.

оператор А подобен косоэрмитову оператору.

14. Функция Грина. Рассмотрим уравнение (1.35). Пред­ положим, что спектр сг (Л) распадается на два спектральных множества (Л) и о2 (Л). Обозначим через и В2 инвари­ антные подпространства оператора Л, соответствующие этим множествам, и РІУ Р2 — соответствующие спектраль­ ные проекторы, определяемые посредством выражений (1.14).

§ 1. Г Е О М Е Т Р И Я Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Х ПР ОС Т РАНС Т В 379

называется глазной функцией Грина уравнения (1.35). Здесь Р+, Р_ — спектральные проекторы, соответствующие час­ тям спектра о_ (Л), ст+(Л), расположенным соответственно

влевой и правой полуплоскостях, причем

Р+ = І , Р - — 0 при а(Л) = а+ (Л), 1

Р+ — О, Р - — І при а(Л) = а_(Л). J ^

Поскольку спектр а (Л) не пересекается с мнимой осью, существуют числа у > О и 0, при которых справедлива оценка

(1.47)

При помощи функции Грина можно выяснить условия существования ограниченного на всей оси решения урав­ нения (1.35).

Справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а 1.5. Для того чтобы любой ограниченной на всей оси непрерывной вектор-функции f (t) соответство­ вало одно и только одно ограниченное на всей оси решение уравнения (1.35), необходимо и достаточно, чтобы спектр о {А) не пересекался с мнимой осью.

Это решение дается формулой

Рассмотрим теперь уравнение (1.35) в предположении, что / (0 является непрерывной и периодической функцией t с периодом Т.

Представив периодическую функцию / (t) в виде

о о 2kill 4

2 &ЗТі

оси - у , k — 0, гЬ 1, ± 2,..., после ряда выкладок получаем