книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие

димо трактовать как мощность, преобразующуюся в рассматривае­ мом объеме в тепло:

Подынтегральное выражение представляет собой известный из физики закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме, опре­ деляющий мощность тепловых потерь в единице объема:

Р ТІ= ЧаЕ > = ^ - = Е Ъ аѵ. (2.45)

ъ

Второй интеграл в правой части выражения (2.42) представляет собой мощность, расходуемую на накопление энергии электромаг­ нитного поля в объеме V:

Смысл приведенного выражения раскрывается, если рассмот­ реть случай линейной, изотропной среды. Тогда подынтегральные выражения можно записать так:

Подставляя полученные выражения в (2.46), найдем

Рассмотрим третий член правой части уравнения баланса энер­ гии (2.42). Подынтегральное выражение третьего члена является

вектором и измеряется как плотность мощности в — ■ — = [sr/.n2].

57

Этот вектор, равный векторному произведению векторов напря­ женности электрического и магнитного полей, носит название век­ тора Пойнтинга:

Направление вектора Пойнтинга определяется по правилу век­ торного произведения, т. е. он направлен перпендикулярно к плос­ кости, в которой расположены векторы Е и Н (в сторону распро­ странения энергии). Векторы Е, Н и П образуют правовинтовую си­ стему (рис. 2.10, а). Модуль вектора П равен

Вектор Пойнтинга численно равен количеству энергии, переноси­ мой электромагнитными волнами -за единицу времени через еди­ ничную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению распространения энергии.

Таким образом, третий член уравнения (2.42) представляет со­ бой поток вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность, огра­ ничивающую рассматриваемый объем V. Этот член определяет мощность, которая в зависимости от знака интеграла либо выходит (при знаке «плюс») через поверхность 5 (рис. 2.10, б) из объема V, либо входит (при знаке «минус») в этот объем. Следовательно, тре­ тий член характеризует распространение, излучение электромагнит­ ной энергии:

5

Приведенный интеграл имеет важное значение в электродинами­ ке, так как позволяет определить энергию, переносимую полем за единицу времени через любую заданную поверхность (в том числе

инезамкнутую, рис. 2.11).

Взаключение рассмотрим теорему и вектор Пойнтинга в комп­ лексной форме. Для получения математического выражения теоре­ мы Пойнтинга в комплексной форме выразим мгновенные значения

векторов в формуле (2.42) через полусуммы комплексных векторов и сопряженных с ними векторов.

Далее, проинтегрировав от нуля до Т составленное таким путем соотношение и затем поделив на Г и отбросив знак действительной части, получим теорему Пойнтинга в комплексной форме [1]:

Левая часть приведенного выражения представляет собой комп­ лексную мощность, создаваемую источниками электрического и

58

магнитного типов. Первый член правой части представляет собой активные потери в среде, возникающие за счет ее электрической проводимости. Второй член характеризует амплитуду реактивной мощности, запасенной электромагнитным полем в объеме V. Третий

член представляет собой поток комплексного вектора П, называе­ мого комплексным вектором Пойнтинга, через поверхность 5.

Комплексный вектор Пойнтинга связан с комплексными векто­ рами напряженностей поля следующим образом:

n = ^ - [ H H ] = - i - [ È H ] = i- R e [ É H ] + y - } Im[ÉH],

где Im обозначает мнимую часть.

Среднее за период значение вектора Пойнтинга находят подоб­ но среднему значению мощности (2.39), т. е. оно равно действитель­ ной части комплексного вектора Пойнтинга:

Действительная часть комплексного вектора Пойнтинга харак­ теризует перенос энергии через единичную поверхность, построен­ ную в окрестности рассматриваемой точки нормально к направле­ нию распространения поля, а мнимая часть — колебание энергии через ту же поверхность.

Напишем уравнение баланса для активной мощности. Для этого возьмем от левой и правой частей теоремы Пойнтинга в комплекс­

Левая часть полученного уравнения выражает среднюю мощ­ ность, которую расходуют источники поля в объеме V. Первый член правой части представляет потери мощности, связанные с проводи­ мостью среды. Второй член выражает активную мощность, уходя­ щую за пределы поверхности 5.

59

Подобным же образом можно написать уравнение баланса для амплитуды реактивной мощности. Для этого следует взять от урав­ нения баланса для комплексной мощности мнимые части. При этом в правой части останутся только второй член и мнимая часть треть­ его члена. Мнимая же часть от первого члена равна нулю.

Вопросы для самопроверки

1. Используя уравнения Максвелла, получите выражения для баланса энергии электромагнитного поля в дифференциальной и интегральной формах и поясните

Пренебрегая краевым эффектом, т. е. полагая величину вектора смещения D постоянной по всей площади пластины, определить величину тока смещения и за­ тем найти вектор магнитной индукции и вектор Пойнтинга при р= рі. Рассчитать

3. Полный ток смещения

/см = 8CMnpj = 0,00696 cos at [a].

4. Вследствие симметрии в распределении 6CMz относительно оси z силовые линии вектора Н будут представлять собой концентрические окружности, т. е. будет иметь место только составляющая Н ? , зависящая лишь от координаты р.

Поэтому величина Н может быть получена на основании закона полного тока:

60

Г л а в а 3

ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМ ИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

§ 3.1. ВОЛ Н ОВЫ Е УРАВН ЕН И Я для ВЕКТОРОВ поля. УРАВН ЕН И Е Д А Л А М БЕРА

Для решения уравнений электромагнитного поля обычно их при­ водят к волновым уравнениям. Поэтому основной задачей настоя­ щей главы будет изучение способов и приемов преобразования уравнений Максвелла в волновые уравнения. Напомним, что вол­ новыми называются такие дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных, которые описывают распростра­ нение колебаний в среде. Они содержат наряду с пространствен­ ными производными второго порядка также вторые производные по времени.

От уравнений Максвелла можно перейти к:

а) волновым уравнениям для векторов электромагнитного поля; б) волновым уравнениям для электродинамических потенциа­

лов; в) волновым уравнениям для вектора Герца.

Для гармонических процессов все эти три вида уравнений могут быть записаны в комплексной форме.

Уравнения будем рассматривать для общего случая полупроводящей линейной среды, считая ее однородной и изотропной. Урав­ нения же для полей в диэлектрике и проводнике получим как част­ ные случаи вышеуказанных уравнений, принимая в первом случае уэ = 0, во втором случае еа= 0.

Для упрощения рассуждений при переходе от уравнений М ак­ свелла к волновым уравнениям электромагнитного поля в настоя­ щей главе не будем вводить магнитные сторонние токи и заряды. Особенности же подобных волновых уравнений и их решений с уче­ том магнитных источников будут рассмотрены в главе 5.

Для получения волновых уравнений относительно векторов Е или Н воспользуемся уравнениями Максвелла при наличии сторон­ них электрических зарядов и токов (2.25). При этом будем пола­ гать, что среда линейная, изотропная и ее электромагнитные пара­ метры не зависят от времени. Сначала исключим из указанных уравнений вектор Н, а затем — вектор Е. Для исключения вектора Н продифференцируем по времени первое уравнение Максвелла и умножим полученный результат на ра, а затем из второго уравне­

62

После изменения порядка дифференцирования в левой части первого уравнения и сложения уравнений получим

Используя известное соотношение rot rot E = grad div Е —Ѵ 2Е и учитывая третье уравнение Максвелла, будем иметь

Уравнение (3.1) условно назовем обобщенным неоднородным векторным волновым уравнением. В случае диэлектрика (уэ= 0),

когда член рауэ— = 0, уравнение (3.1) переходит в неоднородное

векторное волновое уравнение, или векторное уравнение Даламбе-

равна нулю и оно приобретает вид однородного векторного волно­

Аналогично находят уравнение для вектора Н. Для этого необ­ ходимо от обеих частей первого уравнения Максвелла взять rot, а второе уравнение продифференцировать по времени и полученный результат умножить-на ваПосле таких преобразований и сложения с учетом четвертого уравнения Максвелла будем иметь

§ 3.2. ВОЛ Н ОВЫ Е УРАВН ЕН И Я Д Л Я ЭЛ ЕК ТРО Д И Н А М И Ч ЕСК И Х П ОТЕН Ц И АЛ ОВ

Неоднородные уравнения (3.1) и (3.3) для векторов поля обла­ дают серьезным недостатком, заключающимся в том, что в их пра­ вой части стоит не сама возбуждающая функция, а ее grad (3.1) или rot (3.3). Так как градиент и ротор представляют собой опре­ деленные комбинации частных производных по координатам, то мо­ жет оказаться, что на границе области, охватывающей источники поля, эти величины вычислить невозможно. Так, например, в слу­ чае стороннего возбуждающего тока, текущего но проводу, плот-

SCэT на границе проводника скачком уменьшается до нуля, и, следовательно, производная ее по нормали к поверхности

63

провода равна бесконечности. По указанной причине для опреде­ ления электромагнитного поля в области, содержащей сторонние заряды и токи, желательно ввести вспомогательные функции, для которых дифференциальные уравнения содержали бы в правой час­ ти не grad р" или rot 8 ", а сами сторонние заряды (р£т) или воз­

буждающие токи (з")-Такими вспомогательными функциями явля­

ются скалярная функция U3 и векторная функция Аэ. Эти функции соответственно называют электрическим скалярным и векторным потенциалами, или электродинамическими потенциалами.

Электродинамические потенциалы вводятся на основании урав­ нений Максвелла следующим образом. Поскольку divB = 0, по­ стольку, используя известное тождество divrotA3 = 0, справедливое для любого вектора Аэ, можем принять

Подставим (3.4) во второе уравнение Максвелла. Тогда будем иметь

Затем, используя известное тождество векторного анализа (см. приложение III), заключающееся в том, что ротор вектора равен нулю только в случае, если вектор является градиентом скалярной функции, получим

Знак «минус» перед градиентом поставлен для того, чтобы вве­ денная скалярная функция U3 в частном случае электростатическо­ го поля представляла собой электростатический потенциал, изме­ ряющийся работой, совершаемой силами поля при перемещении единицы положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Подставим выражения В и Е из (3.4) и (3.5) в первое уравнение Максвелла. В результате получим

Учитывая приведенное выше соотношение для двойного ротора, последнее равенство перепишем так:

= - М а

Это векторное уравнение представляет собой три скалярных уравнения, в которые входят в качестве неизвестных четыре функ­ ции—-три проекции вектора Аэ и скалярная функция U3.

64

Четвертое скалярное уравнение получают на основании следую­ щих рассуждений. Векторный потенциал Аэ определяется соотноше­ нием (3.4) неоднозначно, так как вектор В равен также ротору век­

Таким образом, соотношение (3.4) определяет вектор А8 с точ­ ностью до градиента произвольной скалярной функции.

Различные решения для вектора А/, удовлетворяющие данному дифференциальному уравнению и одним и тем же граничным усло­ виям, очевидно, дают одно и то же электромагнитное поле. Поэтому можно ограничиться одним из решений для векторного потенциала.’ С этой целью подчиним электродинамические потенциалы дополни­

§ 3.3. ВОЛ Н ОВЫ Е УРАВН ЕН И Я Д Л Я ВЕКТОРА ГЕРЦА

При решении электродинамических задач часто используют век­ тор Герца. Введение этого вспомогательного вектора дает возмож-

ность свести уравнения Максвелла лишь к одному векторному урав­ нению.

Поскольку Аэ и и э связаны дополнительным соотношением (3.6), их можно выразить через одну векторную функцию Гэ. Дей­ ствительно, пусть

Тогда Аэ на основании дополнительного соотношения

Введенный вектор Гэ называется электрическим вектором Герца, или электрическим поляризационным векторным потенциалом. Ес­ ли в уравнение (3.7) вместо Аэ подставить его выражение через Гэ, то получим

В случае диэлектрика находим

PCT = J 8lrdt.

Можно показать, что Рст имеет смысл удельного (приходящего­ ся на единицу объема) электрического момента сторонних токов. Этот вектор подобен вектору поляризованности Р вещества. Так, например, если сторонние токи в объеме ДЕ создают суммарный

дк^о ДЕ

Таким образом, слово «поляризационный» говорит о связи элек­ трического вектора Герца со сторонним вектором поляризованности среды.

Выражения для Е и Н через Гэ в соответствии с (3.4), (3.5), (3.9) и (3.10) следующие:

66