книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие

Поэтому

<J> Hdl = H mb = I m.

ABCDA

Активное сопротивление будет равно

Для характеристики поверхностного эффекта вводится понятие толщины эквивалентного поверхностного слоя или эквивалентной глубины проникновения электромагнитной волны, под которой по­ нимается толщина проводника, отсчитанная от его поверхности, когда образованный таким путем слой проводника обладает сопро­ тивлением постоянному току, равным активному сопротивлению всего проводника при переменном токе. Найдем выражение для эквивалентной глубины проникновения А.

С этой целью напишем выражение для сопротивления постоян­ ному току проводника длиной d, шириной b и высотой А при удель­ ной проводимости уэ:

Сопротивления равны друг другу (R&= R) при условии

м1Ча7э

2

В качестве примера приведем длину волны К = — и эквивалент­

ную глубину проникновения электромагнитного поля для провод­ ника из меди (уэ = 5,7- \07 сим/м, р =1) при двух частотах:

Следует отметить, что амплитуды векторов поля в проводнике на расстоянии от его поверхности, равном эквивалентной толщине поверхностью слоя, в е= 2,72 раза меньше, чем аналогичные вели­ чины у поверхности проводника:

1

рр — а ( 2+ Д )

Величина вектора Пойнтинга соответственно меньше в е2 раз. Подобным образом находят реактивную мощность Р і в объеме параллелепипеда по мнимой части комплексного вектора Пойн-

197

Тинга:

P t = bd п г = bd Y Im {ÈH).

Величину Pi можно трактовать так же, как амплитуду реактив­

ной мощности. Так как для проводника <К — — и, следовательно, 4

cos i|)c = sin фс, то:

Im (£7/) — Re {ÈH) и P t = P a.

Реактивная мощность внутри проводника, как известно из курса «Основы теории цепей», связана с внутренним индуктивным сопро­ тивлением выражением

ственно модулю (7.29) и аргументу волнового сопротивления про­ водника Z c. Следовательно,

(7.36)

198

До сих пор мы рассматривали поверхностный эффект в провод­ нике с плоской поверхностью при бесконечных его размерах. Ре­ альные проводники имеют конечные размеры и часто неплоскую поверхность (например, провода кругового сечения). При этом раз­

личают резко выраженный и слабо выраженный поверхностные эффекты.

При слабом проявлении поверхностного эффекта необходимо строгими методами решать задачу на распространение переменно­ го тока в проводнике, что и будет сделано в дальнейшем. Здесь же рассмотрим резко выраженный поверхностный эффект, когда элек­ тромагнитное поле и ток в проводнике сосредоточены лишь в очень ” тонком слое, толщина которого мала по сравнению с наименьшим радиусом кривизны линии, ограничивающей поперечное сечение провода. Такое распределение поля в проводнике характерно для тока, изменяющегося с большой частотой, что представляет значи­ тельный интерес для радиотехники.

Из физических соображений, подтверждаемых в дальнейшем строгим исследованием поверхностного эффекта в проводе кругло­ го сечения, следует, что при резко выраженном поверхностном эф­ фекте поле внутри поверхностного слоя практически будет таким же, как в плоском слое. Поэтому при сильном проявлении поверх­ ностного эффекта для проводника произвольного сечения будут справедливы все выражения, установленные ранее для случая плос­ кой границы проводника и диэлектрика.

Таким образом, активное и внутреннее индуктивное сопротив­ ления проводника переменному току частотой f при резко выражен­ ном поверхностном эффекте равно каждое сопротивлению постоян­ ному току, проходящему по пустотелому проводнику (рис. 7.6, б), имеющему тот же периметр поперечного сечения и толщину стен­ ки, равную глубине проникновения в проводник электромагнитной

определяются только электромагнитными параметрами провод­ ника и частотой и не зависят от размеров и формы его поперечного сечения. Размеры и форма поперечного сечения реального провод­ ника влияют на величину полного сопротивления, так как от них зависят размеры и форма соответствующего сечения эквивалентно­ го пустотелого проводника.

Сопротивление единицы длины всего проводника {Rs\, ^si) будет меньше поверхностного сопротивления в число единиц периметра поперечного сечения проводника, по которому протекает перемен­ ный ток. В рассматриваемом случае круглого провода радиуса а длина периметра поперечного сечения равна 2яа, т. е.

(7.37)

В случае плоской весьма широкой шины в формулу (7.37) надо подставить вместо 2па ее ширину Лш (рис. 7.6, в).

199

Внутреннее комплексное сопротивление провода радиуса а на единицу длины будет равно

Z sl= - ± - Z g.

Чтобы получить полное комплексное сопротивление на единицу длины провода, надо к Z S\ прибавить индуктивное сопротивление, связанное с внешним магнитным потоком (}аЬѣттш).

Практически замена сплошного провода трубчатым допустима,

При этом сдвиг по фазе между напряженностями электрическо­ го к магнитного полей по всей глубине проникновения принимает­ ся приближенно равным Ѳ = фс = 45°.

Если радиус провода а не удовлетворяет приведенному неравен­ ству, то задачу на протекание переменного тока, как указывалось, необходимо решить строгими методами. При этом получаемые фор­ мулы будут справедливы как при слабом, так и при резком прояв­ лении поверхностного эффекта.

Перейдем к решению такой задачи. Так как в проводнике мож­ но пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости, то в волновом уравнении для вектора Е можно пренебречь членом

!Ѵ а -^ г • Тогда волновое уравнение будет иметь вид dt*

V2E - [M > s - f- = 0.

Для интересующих нас гармонических процессов это уравнение запишется следующим образом:

200

Поскольку 8 = уэЕ, для плотности тока дифференциальное урав­ нение будет подобным

Для прямолинейного цилиндрического провода кругового сече­ ния, введя цилиндрические координаты р, ф, г (рис. 7.6, г) и прини­

мая во внимание, что вектор 6 направлен вдоль оси z, получим

0=8„ = 0, ) = zt

О"г-

Кроме того, полагаем, что амплитуда плотности тока вдоль про­ вода не изменяется и провод удален на значительное расстояние от других проводов с током, так что влиянием последних на распреде­ ление тока по поперечному сечению рассматриваемого провода

Тогда в соответствии с приложением III уравнение (7.39) в ци­ линдрической системе координат запишется так:

Введем новую переменную

х = р Ѵ — ушр.аѴе-

Тогда получим

1 1 I g ______________ Q

dx2 X dx z

Это уравнение представляет собой уравнение Бесселя нулевого порядка. Его решение может быть записано в виде (см. П. III)

(•*)>

где А 1 и А 2— постоянные интегрирования; J 0(x) — функция Бессе­ ля нулевого порядка; No(x) — функция Неймана нулевого порядка.

При |лс|->-0 функция No(x)->oo, а так как на оси провода плот­ ность тока остается конечной, то необходимо принять Л2= 0. Тогда

8 = Ьг = А j/q(х ) = А XJ Q( р У — усорауэ).

При р= 0 функция /0 (0) = 1, откуда следует, что постоянная ин­ тегрирования А 1 равна комплексной амплитуде плотности тока на

оси провода (Лі = 6о) и, следовательно,

201

Функция /о от комплексного аргумента является комплексной величиной:

®т0

координатой р опережает плотность тока на оси провода:

JL = 8fflP е-/Фр _ &Q ®т0

Тогда отношение амплитуд плотностей тока можно выразить через модуль функции Бесселя, а угол фр — через аргумент этой функции ßo, т. е.

ömp

bn, Фр — ßo*

По результатам расчетов модуля и аргумента функции Бесселя на рис. 7.6, д построены кривые зависимости их от безразмерной

величины Р іЛйР'аѴэИз кривых следует, что амплитуда плотности тока имеет наи­

меньшую величину на оси провода. При этом отношение амплитуд

плотности тока на поверхности провода и на его оси —— будет

®т0

тем больше, чем больше круговая частота, удельная проводимость,

расстоянии от оси фаза плотности тока может оказаться противо­ положной фазе (сдвинутой на 180°) плотности тока на оси, а при дальнейшем увеличении р — снова совпасть по фазе с плотностью тока на оси, и так далее.

Перейдем к определению комплексного внутреннего сопротив­ ления цилиндрического провода кругового сечения на единицу его длины. Для этого воспользуемся соотношением [4]:

где Еі = Ё х — комплексная амплитуда тангенциальной составляю­ щей напряженности электрического поля на поверхности провода

(падение напряжения в проводе на единицу его длины); / — ком­ плексная амплитуда тока в проводе.

202

Величина £) может быть рассчитана по плотности тока у поверх­ ности провода (р = а):

— Л U Ѵ ^ вУэ е - ' і

Тэ 7э

Ток / находят, как интеграл от плотности тока по поперечному сечению провода, которое с этой целью разбивают на бесконечно тонкие круговые кольца толщиной dp (см. рис. 7.6, г);

Тогда (7.43) можно записать следующим образом:

где 0 = Роа —Ріа—я/4- Можно показать [16], что Ѳ представляет собой угол, на который

запаздывает по фазе напряженность Н относительно Е на поверх­ ности провода.

Из (7.43а) следует, что активное и индуктивное внутренние со­ противления на единицу длины провода будут равны

По этим формулам произведены расчеты, результаты которых приведены в табл. 7.1 [16].

203

Сопротивление и индуктивность при переменном токе представ­ лены в виде отношений к аналогичным величинам, определенным для постоянного тока в зависимости от безразмерного аргумента:'

При расчетах принято 1=1 м. В случае резко выраженного по­ верхностного эффекта, т. е. при больших значениях \ka\a~^>\ и, '■ следовательно, когда радиус кривизны а поверхности проводника значительно больше глубины проникновения А электромагнитной

же Ѳ, приведенный в табл. 7.1, на который запаздывает по фазе на­ пряженность магнитного поля относительно напряженности элек­ трического поля на поверхности провода, с увеличением радиуса провода а или других величин, входящих в выражение |£п|а, воз-

растает, асимптотически приближаясь к фг — — = 45°:

Ѳ—* Фс = 45°.

Учитывая сказанное, для резко выраженного поверхностного эф­ фекта из (7.43а) и (7.44) получаем формулы, аналогичные выра­ жениям, найденным ранее для поверхностного эффекта в провод­ нике с плоской поверхностью:

§ 7.3. ПОНЯТИЕ О РАСП РО СТРАН ЕН И И ЭЛ ЕК ТРОМ АГНИ ТНЫ Х ВОЛН

ВАН И ЗО ТРО П Н Ы Х С Р Е Д А Х

Ванизотропной среде, как указывалось в главе 1, электромаг­ нитные параметры различны в различных направлениях. Следова­ тельно, в такой среде векторы поля волны и переносимая ею элек­ тромагнитная энергия будут зависеть от направления, по которому

пришла волна в течку наблюдения. По указанной причине электро­ магнитное поле в анизотропной среде не подчиняется теореме вза­ имности. Примером таких сред являются широко применяющиеся

204

в радиотехнике сверхвысоких частот «подмагниченные» ферриты — ферромагнитные полупроводники, электропроводность которых весьма мала (в 10И-УІ013 раз меньше) по сравнению с электропро­ водностью ферромагнитных материалов. Электромагнитные волны, распространяясь в ферритах, обнаруживают ряд характерных осо­ бенностей.

В феррите анизотропия проявляется в его магнитной проницае­ мости. При отсутствии подмагничивающего поля феррит изотропен:

{Вх = р лН х, Ву=\).лНу, B Z= ^ H Z или В=р.аН и В||Н).

Если же феррит намагнитить постоянным полем Н_ например, параллельным оси z ( H _ = z 0H _ ) , то магнитная проницаемость для переменного электромагнитного поля будет разной для различных направлений. Можно показать, что в случае гармонических волн при рассматриваемом направлении подмагничивающего поля связь между индукцией и напряженностью магнитного поля будет сле­ дующей [5]:

В х = Ы ^ х — У > а 2 ^ , B y ^ ^ H y + j ^ H x , B z - = ^ abH z,

Следовательно, напряженность, соответствующий вектор кото­ рой параллелен, например, оси Ох, вызывает магнитную индукцию

не только по оси Ох (ца\Нх), но и по оси Оу (/цаг^ж). Можно пока­ зать [2], что в случае линейно поляризованной волны, рас­ пространяющейся в намагни­ ченном феррите вдоль направ­ ления постоянного поля Н_, плоскость поляризации будет поворачиваться. Это явление называется эффектом Фарадея, а среда, в которой он прояв­ ляется, — гиротропной (вра­ щающей) средой.

Направление поворота плоскости поляризации зависит от на­ правления подмагничивающего поля. Так, если смотреть вдоль на­ правления распространения волны Ог, совпадающего с направле­ нием поля Н_, то при Ца2>0 плоскость поляризации будет вращаться по часовой стрелке (рис. 7.7, а); при изменении направ­ ления Н_ на противоположное изменяется знак ца2, и плоскость поляризации будет поворачиваться против часовой стрелки (рис. 7.7, б). Указанная зависимость направления поворота плос­ кости поляризации электромагнитной волны, распространяющейся в феррите, от направления подмагничивающего поля используется для различных целей, в частности, для коммутации цепей (каналов) СВЧ.

Если же в гиротропной среде линейно поляризованные электро­ магнитные волны распространяются перпендикулярно к подмагни­ чивающему полю, то в случае произвольного направления векто­

205

ра поляризации волны относительно направления поля Н_ (угол между Е и Н _ отличен от нуля и ±я/2) указанная волна по выходе из гиротропной среды будет иметь эллиптическую поляризацию. Это явление носит название эффекта Коттона — Мутона. Кроме намаг­ ниченного феррита, гиротропными свойствами обладает ионизиро­ ванный газ (в общем случае плазма) в присутствии постоянного магнитного поля. Однако при этом гиротропные свойства опреде­ ляются, как увидим в дальнейшем (см. главу 14), анизотропией диэлектрической проницаемости.

Вопросы для самопроверки

1.Найдите решение однородного волнового уравнения для плоских волн и поясните физический смысл входящих в него членов.

2.Получите выражения для фазовой скорости плоской волны в различных

средах.

3.Найдите выражения для коэффициента фазы и коэффициента затухания в случае ереды с конечной проводимостью.

4.Запишите и проанализируйте выражения для мгновенных значений векто­ ров поля в среде с конечной проводимостью.

5.Какая среда называется диспергирующей?

6.Напишите выражения для групповой скорости и поясните ее физический

смысл.

7.Дайте определения поверхностного эффекта, поверхностного сопротивле­ ния и глубины проникновения электромагнитной волны в проводник.

8.Поясните физический смысл эффектов Фарадея и Коттона — Мутона.

-------= 132,5 [м,сек].

Р-ОТэ

Ѵф]

— = 0,132 5 см.

/

Волновое сопротивление меди

—Ш - Ю - Ѵ * - 4 [ом].

Ъ

Коэффициент затухания

206