книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие

Перейдем к получению выражений для поперечных составляю­ щих векторов поля. Для этого воспользуемся основными уравнения­

237

Общее решение волнового уравнения (8.8) и аналогичного урав­ нения для вектора Е нами найдено, однако остались неизвестными

238

математического анализа известно, что значения постоянных разде­ ления, при которых возможны решения аналогичных задач, назы­ ваются собственными значениями, а соответствующие им решения — собственными функциями. Число собственных значений бесконечно, поэтому общее решение должно быть записано в виде бесконечной

т,л-=О

оо

239

Критическая длина волны. Фазовая и групповая скорости

Из (8.21) следует, что одной угловой частоте <о соответствует бесконечное число полей поперечно-электрического типа. Каждый вид поля определяется собственными значениями, равными т и п. Теоретически все виды полей могут возбуждаться и существовать одновременно, однако большая часть этих частных полей затухает в волноводе.

Обозначим конкретный вид колебания через TEmn (или Н,п„). При этом коэффициент распространения будем находить из преды­ дущего выражения:

(8.22)

Коэффициент kmn в реальном волноводе (конечная проводи­ мость стенки и наличие потерь в диэлектрике, заполняющем волно­ вод) является комплексной величиной: kmn= amn + /ßm«- Для рас­ сматриваемого волновода с идеально проводящими стенками, запол­ ненного идеальным диэлектриком, т. е. волновода без потерь, коэффициент распространения kmn в соответствии с (8.22) — чисто мнимая величина {kmn= j$mn), если

или действительная величина (kmn — amn), если указанное неравен­ ство не выполняется. В последнем случае поле даного вида быстро уменьшается с расстоянием 2 вследствие экспоненциального мно­ жителя e~amnz. Поэтому, чтобы волна данной угловой частоты

ном диэлектрике, примененном для заполнения волновода) распро­ странялась в волноводе как волна типа ТЕтте(Нтп), соответствую­ щая этой частоте длина волны X в неограниченном диэлектрике должна быть меньше критической длины волны Якр. Величину ЯКр = = %тп находят из (8.22) и условия kmn = 0:

(8.23)

. Отметим, что иногда :[5] критическую длину волны и длину вол­ ны в неограниченном диэлектрике, называемую также рабочей дли­ ной волны, определяют по отношению к скорости с. Указанные ве­ личины связаны следующими соотношениями:

о __

•тп—

где е и р — электромагнитные параметры диэлектрика,

240

Критическая частота

волны в воздухе Прежде чем перейти к определению длины волны в волноводе,

установим, в каком направлении распространяется энергия в волно­ воде. Для этого воспользуемся (8.21) и примем во внимание, что

] —

kmn —/ßmn и j = e 2 . Тогда из (8.21) следует, что Е х будет в фазе с Ну, а Еу в противофазе с Н х, и, следовательно, они дадут опреде­ ленное значение вектора Пойнтинга в направлении оси Z, так как

Пср = Е хН у cos 0° + Е уН х cos 180°= Е хН у - Е уН х,

В поперечном же направлении происходит лишь колебание энергии, как это всегда бывает в случае стоячей волны.

Найдем длину волны в волноводе. С этой целью преобразуем, на­

Множитель sin(co^—ßmn2) в выражении (8.25) показывает, что имеет место бегущая волна, длина которой в волноводе Лв опреде­ ляется фазовым коэффициентом:

241

Так как для распространяющейся волны в волноводе Â<Amn, то ѵ<1 и, следорательно, Хв> л , т. е. длина волны в регулярном прямо­ угольном волноводе, как и в случае распространения электромаг­ нитных колебаний между двумя бесконечными плоскостями, всегда больше длины волны в неограниченном пространстве (рабочей дли­ ны в о л н ы ) , заполненном тем же диэлектриком, что и волновод. Каж ­ дому типу колебаний соответствует своя фазовая скорость:

Если волновод заполнен воздухом, то фазовая скорость анало-' гично фазовой скорости волновода, образованного параллельными идеально проводящими плоскостями, оказывается больше предель­ ной скорости — скорости света в вакууме. Передача же сигнала происходит со скоростью ѵ с , меньшей скорости света. Величина ѵ с оценивается групповой скоростью ѵ гр, которая определяется по фор­ муле (7.26). При этом, если фазовый коэффициент линейно зависит

Зависимость фазовой и групповой скоростей от нормированной величины рабочей длины волны ѵ —АД,„„ приведена на рис. 8.8, б.

Из (8.28) следует, что ѵ грѵ ф = ѵ 2.

Основная волна (Ню)

и структура поля волн типа Н

Колебание, которому соответствует наибольшая критическая длина волны, называется основным колебанием.

Наибольшая критическая длина волны, как видно из (8.23), по­ лучается при наименьших значениях т и п . Из рассмотрения фор­ мул (8.21) следует, что волна типа ТЕ0о существовать не может, так

242

как все составляющие напряженностей поля при яг = 0 и я = 0 равны

В первом случае имеют место колебания типа ТЕю (Ню), составля­ ющие напряженности поля для которых согласно (8.21) будут

(£mn = /ßio= /ß) равны:

О,.

ÄL Я пе - ^ г sin —

размерах применяют волноводы сложной формы, например П-об- разные (рис. 8.9, а) и Н-образные (рис. 8.9, б). При этом, как по­ казывают расчеты [19, 23], критическая длина волны достигает 4-f-

Ѵ а * + г>2

^20 — а-

Передачу электромагнитной энергии от генератора к нагрузке следует вести на основном типе колебаний ТЕю, так как при этом потери энергии в волноводе минимальны [23].

Для того чтобы в волноводе имели место только колебания ти­ па Н 10, необходимо выбрать рабочую длину волны Л менее Лю, но более Лоі, Лц, Л2о и других критических длин волн. Практически не­ обходимо соблюдать условие Лоі<Л<Лю-

243

Каждая волна типа ТЕ в волноводе имеет свою отличительную структуру электромагнитного поля. Чтобы представить себе струк­ туру этого поля, необходимо построить электрические и магнитные силовые линии. Наиболее простая структура поля соответствует основному типу колебаний. Поэтому начнем рассмотрение со струк­ туры поля колебаний типа ТЕю (Ню). На основании выражений для комплексных амплитуд (8.30) запишем соотношения для мгновен­ ных значений составляющих поля. Для этого в указанных выраже­

ниях заменим ±/ на e ^ f и умножим их в соответствии с § 2.5 на

временной экспоненциальный множитель e;W . Тогда, принимая Яо = Я 0, получим

ПХ ) (.о><-Рг- у ) -ДДД. я 0 sin — е

Воспользовавшись формулой Эйлера (см. § 2.5) и взяв от при­ веденных выражений действительную часть, окончательно находим:

Е (t)— ы?ХаЯ:. ң sin ДД. sin (urf—ßz),

аа

рического поля в любом поперечном сечении, параллельном плос­

середине широкой стороны волновода. Следовательно, зависимость напряженности поля от координаты х характеризуется полусину­ соидой (рис. 8.10, б). В направлении оси z величина Е у при фикси­ рованном моменте времени изменяется по закону синуса и при 1=0 в плоскости z = 0 напряженность Е у= 0. Поэтому мы построили

244

вая на максимум напряженности поля, и становятся более редкими по направлению к краям. Силовые линии начинаются и кончаются на зарядах. Поэтому в рассматриваемый момент времени на верх­ ней стенке поперечного сечения (см. рис. 8.10, а) находятся положи­ тельные заряды, а на нижней — отрицательные. Через половину пе­ риода направление силовых линий становится обратным.

Величина составляющей Н х напряженности магнитного поля из­ меняется по координатам, как это следует из (8.31), аналогично из­ менению величины напряженности электрического поля (рис. 8.10,

мальные противоположные по знаку значения у вертикальных сте­ нок волновода (х = 0, х = а) и значение, равное нулю, на середине

поперечного сечения волновода ( х = — j .

'2 г

Внаправлении распространения электромагнитных колебаний со­

245

> - ~ j : силовые линии вектора Е показаны сплошными линиями,

а вектора Н — пунктирными. При этом на рис. 8.11, б показаны си­ ловые линии поля в поперечном сечении волновода, на рис. 8.11, в —

д)

Рис. 8.11

силовые линии поля при фиксированном моменте времени (/4 = 0)

246