книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие

Если направление распространения волны 1 не совпадает с осью Ог (см. рис. 7.1), то и в этом случае векторы поля перпенди­ кулярны к указанному направлению (ELI, Н Е 1 и Е ± Н) и их ве­ личины будут изменяться вдоль него:

§7.2. П Л О СКИ Е ЭЛЕКТРОМ АГНИ ТНЫ Е ВОЛНЫ

ВРАЗЛ И ЧН Ы Х ИЗОТРОПНЫ Х С РЕ Д А Х

Электромагнитная волна в диэлектрике

Прежде чем перейти к изучению особенностей распространения плоской волны в однородных средах, рассмотрим физическую сущ­ ность решений (7.5) и (7.6), подобно тому, как это было сделано в § 5.5 для сферической волны.

Для наглядности произведем анализ указанных решений на примере распространения плоской волны в диэлектрике, для кото­ рого волновое число вещественно:

k= ">VPasa-

Не ограничивая общности рассмотрения, полагаем, что плоская волна распространяется в направлении оси Ог. Тогда в соответствии с (7.8) указанные решения можно записать в виде

В некоторый момент времени t\ напряженность электрического поля волны, выраженная этим слагаемым, распределена по оси oz (рис. 7.3) косинусоидально:

Е г(г) = Е ті cos (orfj — kz).

По прошествии времени At волна переместится вправо по оси Ог на расстояние Аг. Величина напряженности Е/, имевшая место в точке 2], теперь будет в точке г2 = гі + Дг.

Для этих точек справедливо равенство

Е ті cos (ütfj — kz) = E mt cos [io(tx-|- Дt) — k { z l Ar Дг)],

откуда получаем равенство фаз:

lo^—- kz = a>(/j-f- At) — k {zx-\- Az) или (оД/— k&z = 0.

187

Из последнего соотношения находим

условия перемещения точек постоянной фазы, то она представляет

иметь место, если, кроме источника, находящегося по левую сторо­ ну от начала отсчета координат (точка 0, на рис. 7.3) и создающего волну Ei (t), существует источник по правую сторону, или по пра­ вую сторону находится препятствие, от которого отражается пря­ мая волна.

В настоящей главе будем предполагать, что имеются источники только по левую сторону от начала координат и что среда безгра­ ничная, т. е. отсутствует отражение волн. Следовательно, будем рассматривать прямую волну [см. формулы (7.8), (7.9), (7.10)].

188

Найдем выражение для длины волны электромагнитных коле­ баний в диэлектрике. В соответствии с определением длины волны К, приведенным в § 6.2, по прошествии расстояния, равного длине волны (г" — г' = к, рис. 7.3), при фиксированном моменте времени 11 фаза колебания изменится на 2я. Указанное изменение фазы на основании формулы (7.13) можно представить в виде

(crfj — kz') = (uitl — kz") — 2л

или

- k z ' + k(z' + l) = 2л.

Из последнего выражения находим

V

Необходимо отметить, что в случае гармонической плоской вол­ ны в диэлектрике для данного момента времени напряженность поля периодически повторяется в направлении распространения (О г ) через расстояние, равное X (см. рис. 7.3):

в пространстве для диэлектрической среды. С этой целью на осно­ вании (7.8) и (7.9) напишем выражение для напряженности элек­ трического и магнитного полей (предполагая вектор Е параллель­

Стечением времени изображенное распределение векторов Е и

Нперемещается со скоростью ѵ в положительном направлении оси Ог. Найдем выражения для вектора Пойнтинга плоской волны в

диэлектрике:

мгновенное значение вектора Пойнтинга

É1

П {t) —z0E xH y= zü —— cos2 (<d— kz); (7-18) <2C

189

среднее значение вектора Пойнтинга

Электромагнитная волна в полупроводящей среде

Как указывалось в § 6.3, в случае среды с конечной проводи­ мостью к — величина комплексная:

Рис. 7.4

Чтобы получить выражение для векторов поля плоской электро­ магнитной волны, распространяющейся в среде с конечной прово­ димостью, необходимо (7.19) подставить в (7.8), (7.9), или при произвольной ориентации осей координат, в (7.10).

Воспользуемся выражениями (7.8) и (7.9). Тогда для комплекс­ ных амплитуд получим (Е т = Е т ):

Введя временной множитель е^ы в (7.20) и взяв действитель­ ную часть, найдем выражения для мгновенных значений векторов

190

напряженностей поля:

Е (t) = E nfi-'lz cos (ші —3z),

(7.21)

H (/)= -^ - e~“z cos [wt — $z —фс),

Zc

где Z c и фс — соответственно модуль и аргумент волнового сопро­ тивления среды.

Легко показать, что они связаны с а и ß следующими соотноше­ ниями:

Проанализируем формулы (7.21). Из этих формул следует, что при распространении в среде с конечной проводимостью электро­ магнитная волна ослабляется (затухает при увеличении расстоя­ ния z). При этом затухание амплитуд напряженностей опреде­ ляется множителями e_ “z, т. е. коэффициентом затухания. Фазовая скорость распространения и длина волны определяются фазовым коэффициентом ß [что наглядно следует из сопоставления первой формулы (7.21) с формулой (7.13) и определением из последней Ѵф и Я]:

Из выражений (7.21) следует также, что напряженность маг­ нитного поля волны, распространяющейся в полупроводящей сре­ де, отстает по фазе от напряженности электрического поля на угол фсНа рис. 7.5 представлена картина распределения напряженно­ стей поля плоской волны в полупроводящей среде в направлении распространения для фиксированного момента времени. Для общ­ ности было принято, что вектор Е не совпадает с координатной осью Ох. Его направление представлено единичным вектором п0',

191

а направление вектора Н — единичным вектором п0", перпендику­ лярным к п0'. Структура поля волны представляется двумя взаим­ но перпендикулярными гармоническими колебаниями, не совпа­ дающими по фазе (волна Н сдвинута в пространстве относительно

Из сопоставления (7.24) и (7.18а) следует, что по мере распро­ странения волны среднее значение вектора Пойнтинга, характери­ зующее перенос энергии полем, в диэлектрике не изменяется, тогда как в среде с конечной проводимостью оно уменьшается за счет тепловых потерь электромагнитной энергии.

Теперь установим факторы, влияющие на фазовую скорость рас­ пространения и на ослабление волны в среде с конечной проводи­ мостью. На основании (7.23) и выражений для ß и а фазовая ско­ рость распространения волны и ее поглощение в полупроводнике зависят от частоты. Из формулы для а вытекает, что затухание (поглощение) вначале возрастает с увеличением частоты со, так как

определенной частоты поглощение (если величины уэ и еа сами не зависят от частоты) начинает уменьшаться, стремясь при весьма

му, начиная от малых частот и до частот, соответствующих инфра­ красному диапазону (ІО14— ІО15 гц), поглощение растет с возраста­ нием частоты. Для воды такая закономерность справедлива вплоть до миллиметрового диапазона электромагнитных волн [18].

Фазовая скорость в среде с конечной проводимостью при уве­ личении частоты всегда будет возрастать, как это следует из вы­ ражения

192

При больших частотах (уэ/“ 2^ <С 1) фазовая скорость стре­ мится к скорости распространения в диэлектрической среде (уэ=0)

с параметрами у.а и еа : иф ->■ ---- -1----- .

^аеа Зависимость скорости распространения колебаний от частоты

называется дисперсией, а среда, в которой имеет место это явле­ ние,— дисперсной или диспергирующей средой.

Перейдем к определению скорости распространения электромаг­ нитного колебания, под которым понимается некоторый электро­ магнитный процесс, несущий определенную информацию. Непре-. рывно продолжающаяся синусоидальная волна не передает сигна­ ла. Возбуждая приемник, она может вызвать только однотонный непрерывный звук, который не передает никакой информации.

Для передачи информации непрерывную синусоидальную волну необходимо модулировать по тому или иному закону. Таким обра­ зом, сигналом может быть только электромагнитная волна с не­ синусоидальным законом изменения электромагнитных величин. Такую электромагнитную волну, как известно, можно представить спектром непрерывных синусоидальных составляющих (гармоник) с различными частотами.

Сигнал, передаваемый в дисперсной среде, будет искажаться, так как его отдельные гармоники будут распространяться с раз­ личной скоростью и поглощаться по-разному. Следовательно, в точ­ ке наблюдения гармонические составляющие будут дополнительно сдвинуты по фазе относительно друг друга и иметь неодинаково из­ мененные амплитуды. В результате этого сигнал в точке наблюде­ ния будет отличаться по форме от излученного сигнала. Так как скорости распространения гармоник, на которые разлагается сиг­ нал, различны, то под скоростью распространения сигнала следует понимать скорость перемещения той части сложного электромаг­ нитного колебания, которая, достигая приемного устройства, сооб­ щает ему энергию, достаточную для изменения режима его работы (например, появляется звук в репродукторе, включенном на выхо­ де приемника). Таким образом, скорость сигнала — это скорость распространения той части электромагнитного колебания, в кото­ рой сконцентрирована некоторая величина электромагнитной энер­ гии. Вследствие этого скорость сигнала не может превысить физи­ ческую скорость перемещения электромагнитной энергии, т. е. ско­ рость света.

Как отмечалось, в дисперсной среде по мере распространения электромагнитного сигнала его форма изменяется, что можно при­ ближенно трактовать как результат различной скорости движения разных участков сигнала. Поэтому в общем случае скорость сигна­ ла является неопределенной величиной.

В практических приложениях установившуюся скорость рас­ пространения сигнала обычно принимают равной групповой скоро­ сти игр, которая представляет собой скорость движения максимума сигнала, состоящего из группы гармонических волн, образующих весьма узкий частотный спектр:

Д(й (й,

где о — средняя круговая частота гармонических составляющих

сигнала.

При указанном условии фазовые скорости гармонических со­ ставляющих сигнала сравнительно мало отличаются одна от дру­

гой.

Из физики известнр, что групповую скорость рассчитывают по формуле

параметры которого р,а и еа не зависят от частоты] групповая и фа­

зывается меньше фазовой.

Дисперсия, при которой групповая скорость меньше фазовой, называется нормальной (например, дисперсия в ионосфере за счет зависимости ее диэлектрической проницаемости от частоты элек­ тромагнитных колебаний).

На основании анализа формул (7.25) и (7.27) приходим к вы­ воду, что дисперсия, обусловленная проводимостью среды, будет аномальной.

194

Электромагнитная волна в проводнике. Явление поверхностного эффекта

Вследствие больших тепловых потерь, характеризующихся величиной а, электромагнитное поле в проводнике быстро затухает. Это приводит к тому, что ток высокой частоты, проходя по провод­ нику, сосредоточивается главным образом у его поверхности. Указанное явление носит название поверхностного эффекта, или скин-эффекта.

Изучение поверхностного эффекта начнем с процесса распро­ странения электромагнитной волны в проводнике, проникшей из окружающего его диэлектрика.

Пусть проводник имеет плоскую границу и заполняет нижнее полупространство (рис. 7.6, а). Направление распространения элек­ тромагнитной волны в проводнике предполагаем нормальным к его поверхности, что, как увидим в § 7.6, соблюдается практически не только при нормальном падении электромагнитной волны из ди­ электрика на поверхность проводника, но и при широком диапазо­

не наклонных углов падения. При этом условии векторы В и Н будут параллельны границе раздела сред.

Пусть у этой границы амплитуды векторов поля соответственно равны Е т и Н т. Тогда на расстоянии г от поверхности проводника комплексные векторы в соответствии с (7.20), (7.28) и (7.29) будут следующими:

Е = Е я,е _ “ге- -'“г и Н — Н т е ~ аге-■ Кяг+т )

где Н т = ^ ~ .

Распространение электромагнитной волны в проводнике сопро­ вождается тепловыми потерями электромагнитной энергии. Най­ дем мощность, теряемую в объеме прямоугольного параллелепипе­ да, основание которого (B C F G , рис. 7.6, а) лежит на поверхности проводника, а боковые грани простираются вниз до бесконечности.

Очевидно, эта мощность равна мощности, поступающей в провод­ ник из диэлектрика через основание параллелепипеда, и ее среднее за период значение может быть найдено путем умножения среднего значения вектора Пойнтинга П Ср у поверхности проводника на пло­

Активное сопротивление, оказываемое параллелепипедом про­ хождению через него переменного тока с амплитудой Іт, равно

2Ря

Яа

Чтобы найти эт<^ сопротивление, выразим ток Іт через напря­ женность магнитного поля Н т. Для этого применим закон полного тока к контуру A D C B A . Стороны A B и C D перпендикулярны к век­

тору Н, на стороне же A D , удаленной в бесконечность, Н =0 .

196