книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие

Момент магнитного диполя можно выразить также через маг­ нитный ток /м, аналогично выражению момента электрического ди­

поля через электрический ток: ри— — j 0> . Следовательно,

Выражения для составляющих напряженности электромагнит­ ного поля магнитного вибратора можно получить, найдя векторный потенциал магнитного типа Лм, определяемый через магнитный ток подобно (6.8):

Более быстро можно прийти к результату, воспользовавшись свойством перестановочной двойственности, т. е. заменив Н на Е

и наоборот, а момент электрического диполя ра= — / — и ди- О)

электрическую проницаемость еа соответственно на —рм и —(иа. Тогда на основании (6.9) — (6.12) получим

Из формул (6.30), (6.31) следует, что для построения силовых линий поля магнитного диполя необходимо в распределении сило­

вых линий Н и Е поля электрического диполя поменять местами наименование этих силовых линий, т. е. линии Н назвать Ем, а ли­

нии É — Нм.

Направление силовых линий напряженности поля магнитного диполя для одного из полупериодов переменного тока в контуре и

соответствующее ему направление момента рм показано на рис. 6.14, б. Из рисунка следует, что поле магнитного диполя в отличие от поля электрического диполя (см. рис. 6.9, б) имеет поперечно­ электрическую структуру (ТЕ), при которой вектор напряженности электрического поля лежит в плоскостях, перпендикулярных к оси диполя (параллельных контуру).

Необходимо отметить, что все сказанное относительно характе­ ра изменения векторов Е и Н в поле электрического диполя спра­ ведливо и в отношении поля магнитного диполя (с заменой Е на Нм и наоборот).

177

Среднее значение вектора Пойнтинга доля магнитного диполя на основании (6.30), (6.31)

Из сопоставления (6.34) и (6.24) следует, что при одинаковых

V s

длинах проводов обоих диполей ( 2я — - / сопротивление из- \ я

противления излучения магнитного диполя. Так, например, если

взять 0,1Я, то RnjR™ > 400.

Указанное обстоятельство говорит о том, что излучающая спо­ собность разомкнутых систем больше, чем излучающая способ­ ность замкнутых систем. По этой причине отдается предпочтение обычно незамкнутым излучающим системам.

§6.7. И ЗЛ УЧЕН И Е ЭЛ ЕМ ЕН ТА ГЮ Й ГЕН СА

Внекоторых случаях заданным является поле на определенной поверхности, например на какой-либо поверхности равных фаз.

178

создается каждым элементом поверхности. При этом будем пола­ гать, что волны поперечные, а элемент поверхности AS (рис. 6.15) перпендикулярен к направлению распространения, т. е. представ­ ляет собой элемент фронта волны, называемый элементом Гюй­ генса.

Направление осей координат выберем так, чтобы ось Ох была параллельна вектору E = ESx, а ось Оу — вектору Н = Н8г/. При при­

нятых допущениях векторы напряженности Е и Н касательны к элементу поверхности AS.

В соответствии с принципом эквивалентности касательные век­ торы напряженности ноля могут быть заменены поверхностными электрическими и магнитными токами, имеющими плотности

На основании главы 5 электрический и магнитный векторные потенциалы на расстояниях, значительно превышающих размеры площадки AS, запишутся следующим образом:

а—і*г

iS

Впределах малой площадки AS мы приняли напряженности по­

лей E xS и HyS неизменными.

Выражения (6.36), (6.37) аналогичны выражениям для вектор­ ных потенциалов элементарных электрического и магнитного ди­ полей, повернутых относительно друг друга на 90°. При этом виб­ раторы расположены в начале координат в плоскости хОу.

Для определения векторов поля используется сферическая си­ стема координат. При этом сферические составляющие векторных потенциалов будут равны:

Затем, пользуясь формулами (3.19), (3.20) и соответствующими выражениями для магнитного векторного потенциала, а также пре­ небрегая членами, убывающими быстрее чем 1/г (волновая зона), найдем после сложения обоих полей следующие выражения для составляющих напряженности электрического поля [1]:

179

Составляющие напряженности магнитного поля, создаваемого элементом Гюйгенса, определяются выражениями (6.38), (6.39) и волновым сопротивлением среды, а именно:

Из (6.38), (6.39) следует, что в дальней зоне вектор É электро­ магнитного поля, создаваемого элементом Гюйгенса, имеет две со­

ставляющие: меридиональную Ев и азимутальную*— È 9. Следовательно, в волновой зо-

Направление вектора Е в указанной плоскости можно задать

составляющая E f.

Линии магнитного поля Н, как обычно, перпендикулярны к ли­

ниям Е и вместе с вектором плотности потока энергии П образуют правовинтовую систему.

Из выражений (6:38), (6.39) следует, что диаграмма направ­ ленности элемента Гюйгенса в плоскости Ѳ определяется функцией

180

Г л а в а 7 ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА, ЕЕ ОТРАЖ ЕНИЕ

ИПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА СРЕД

§7.1. РЕШ ЕНИ Е ВО Л Н ОВОГО УРАВН ЕН ИЯ

Д Л Я П Л О СК И Х ВОЛН

Для определения электромагнитного поля плоской гармониче­ ской волны целесообразно воспользоваться -волновыми уравнения­ ми непосредственно для векторов напряженностей поля (3.15), (3.16). При этом источники считают бесконечно удаленными, по­ этому правые части уравнений следует принять равными нулю:

Решение этих уравнений будем производить в прямоугольной системе координат, так как только в этой системе координатные поверхности являются плоскими. Для определения векторов поля достаточно решить одно из уравнений Гельмгольца. Так, например,

если найдено решение уравнения Гельмгольца для вектора Е, то

вектор Н можно определить на основании второго уравнения Мак­ свелла:

rot Ё== — ;'шраН или И — — " rot É. (7.3)

“ ІЧа

Найдем в общем виде решение однородного волнового уравне­ ния (7.1). Как известно, каждая прямоугольная составляющая век­ тора удовлетворяет аналогичному скалярному уравнению, напри­ мер,

182

Оставляем член с функцией X в левой части, а все остальные члены переносим в правую часть уравнения:

Так как левая и правая части уравнения зависят от разных пе­ ременных, то эти части могут быть равны друг другу только в слу-

Решение полученного уравнения, как известно из курса матема­ тики, отыскивают в виде показательной функции:

Рб= АеРх.

Подставляя это выражение в последнее дифференциальное

■ Х^ = А х<еГ)ах и Х , = В ^ ах.

Величина а в принципе может быть любым числом. Однако фи­ зический смысл полученные решения при принятом нами времен­

числом. В этом случае первое решение соответствует волне, рас­

Оба решения соответствуют экспоненциально изменяющимся с расстоянием величинам и не отражают волнового характера поля.

Для получения функции Y подставляем в исходное уравнение (7.4) вместо первого члена выражение его через постоянную разде­ ления (—а2) и аналогично предыдущему в левой части оставляем член, зависящий от у, а в правую часть переносим все остальные члены:

По подобным же соображениям приравниваем обе части урав­ нения постоянной разделения ( —Ь2). Тогда получаем уравнение для функции Y и затем находим его решения:

183

Далее, подставляя в исходное уравнение постоянные разделе­ ния а и Ь, получаем уравнение и его решения для функции Z:

=/cosß, z — l cosy.

Запишем решение в виде:

Прежде чем перейти к нахождению вектора Н, покажем, что в плоской однородной волне отсутствуют составляющие векторов Е

и Н в направлении распространения (Ні = Еі = 0) и что эти векторы взаимно перпендикулярны. Для доказательства предположим, что

184

фронт волны совпадает с плоскостью хОу (рис. 7.1) и, следователь­ но, направление ее распространения 1с осью Oz (EXt у> z= E Xi У}

Х е _;'*г). Тогда по определению плоской однородной волны векто­

ры Е и Н будут постоянны в плоскостях, параллельных координат­ ной плоскости хОу, поэтому производные от их составляющих по ко­ ординатам х и у равны нулю, т. е.

185

\

= Н2= 0). Этим доказано, что плоская однородная волна является

щие (Ех, Еу и Н х, Ну соответственно). Не ограничивая общности рассмотрения, повернем плоскость хОу вокруг оси Oz так, чтобы

ось Ох стала параллельной вектору Е. Тогда Е Х = Е, а Е у= О

(рис. 7.2). При таком направлении осей координат связанная с Е ѵ перпендикулярная к ней составляющая вектора магнитного поля

Н х в соответствии с первым уравнением системы (II) также равна нулю (НX = 0). Тогда остается два скалярных уравнения:

Как и следовало ожидать, векторы Е и Н плоской волны вза­ имно перпендикулярны. Вектор Пойнтинга при выбранной ориен­ тации прямоугольной системы координат направлен параллельно оси Oz и равен:

п = у [ ÈH] = Y [х0Е хУоНу] = -~ È xH yzü= .

Имея решение для электрического вектора поля, можно найти выражение для магнитного вектора поля, воспользовавшись урав­ нением (б):

£а

186