книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие

2) непосредственным решением уравнения (5.56) с помощью теоремы Грина (4.7).

Первый путь аналогичен способу получения формулы (5.43). Методика же решения уравнения Гельмгольца (5.56) с помощью теоремы Грина подобна методике решения уравнений Лапласа (4.4), только при решении уравнения Гельмгольца необходимо в

e~ßr

качестве простейшего решения взять функцию <р= --------.

Поэтому искомое решение (5.57) можно получить, если в (4.10) заменить L/s на Q , а 1/г —на e~^krjr.

Векторный аналог формулы Кирхгофа

Скалярная формула Кирхгофа не учитывает векторного харак­ тера поля, что затрудняет ее применение при решении задач элек­ тродинамики. Обычно для решения таких задач приходится решать векторное волновое уравнение вида (5.25), которое, как было пока­ зано, эквивалентно системе трех скалярных волновых уравнений

вида (5.27) для компонент вектора С. Эти уравнения в общем слу­ чае нельзя решить отдельно, так как, кроме прямоугольной системы координат, они не разделяются по компонентам.

При решении задач электродинамики указанные трудности удается преодолеть, если решать непосредственно векторное волно­ вое уравнение при помощи векторного аналога теоремы Грина, яв­ ляющегося обобщением скалярной теоремы Грина (4.7) на вектор­ ные функции.

Векторный аналог теоремы Грина требует, чтобы модули векторных функций (будем обозначать их С и Q) удовлетворяли тем же условиям, которым должны удовлетворять скалярные функции ф и U в скалярной теореме Грина. Для выво­ да векторной теоремы применим теорему Остроградского — Гаусса (2.9) к век­ тору [С rot Q]:

I (rot Q rot C — C rotrot Q) d V — (j) [C rot Q] n0d S .

Поменяв в последнем тождестве С и Q местами, после вычитания одного тождества из другого найдем векторный аналог теоремы Грина:

Если вместо единичного вектора внешней нормали п0 взять единичный вектор внутренней нормали п, то перед правой частью тождества (5.58) надо поставить знак «минус».

Векторная теорема Грина позволяет, выбрав одну из векторных функций (на­ пример Q), найти вторую функцию (С) в любой точке области V.

137

В качестве искомой функции (С) можно принять вектор напряженности Е или Н электромагнитного поля, так как они как векторные функции удовлетво­ ряют условиям теоремы Грина.

Задачу определения векторов поля будем решать для монохроматических колебаний с учетом наличия источников электрического и магнитного типов. В этом случае на основании (5.6) уравнения поля запишутся следующим образом

(Ум = Ѵэ = 0):

rot Н — > e aÈ + 8 " , rot É = — > р ан — 8 " ,

d iv È = — pC3T, divH = — p " .

грирования выполняются непосредственно над двойным ротором от вектора.

По аналогии со скалярным вариантом теоремы Грина вспомогательную век­ торную функцию Q выбирают в виде

(рис. 5.9), для которой гс-э-0 и |Q|->-oo, к оставшейся области (У — Ѵс и S + S c)

s

Выражение для вектора Н можно найти аналогичным образом. Получим его непосредственно из (5.61) на основании схемы пере­

138

Выражения (5.61) и (5.62) представляют собой общий интеграл (общее решение) уравнений Максвелла для векторов напряженно­ сти поля при заданных граничных условиях. Из этих выражений следует, что поле внутри области V в точке Р (рис. 5.10) в общем

случае определяется объемным и поверхностным интегралами. При этом объемный интеграл дает напряженность поля, создавае­ мого сторонними электрическими и магнитными токами (заряда­ ми), находящимися внутри рассматриваемого объема V. Поверхно­ стный же интеграл определяет напряженность поля, создаваемого источниками, расположенными за пределами этой области. Фор­ мулы (5.61) и (5.62) при отсутствии источников внутри рассматри­ ваемого объема, т. е. при равенстве объемных интегралов нулю, иногда называют векторизованными формами интеграла (формулы) Кирхгофа.

Подынтегральная функция объемного интеграла состоит из

нов подынтегральной функции объемного интеграла в выражении

для вектора Н [см. (5.62)].

Поверхностные интегралы выражений (5.61) и (5.62) содержат произведения вектора единичной нормали п на векторы поля É или Н. Очевидно, что векторные произведения [пН] и [пЁ] численно

139

равны тангенциальным составляющим векторов поля у замкнутой поверхности S, ограничивающей область V. Скалярные же произ­

ведения (пЕ) и (пН) представляют собой нормальные составляю­ щие соответствующих векторов у граничной поверхности.

Рассмотрим электромагнитное поле в неограниченной области при локально ограниченном расположении источников. Введем од­ ну ограничивающую поверхность — сферу S(r) с центром в точке наблюдения Р (см. рис. 5.8 и 5.10) и весьма большим радиусом г, который при предельном переходе будем считать стремящимся к бесконечности. В случае применения формул (5.61) и (5.62) поверх­ ностный интеграл берут лишь по бесконечно удаленной сфере. По условию источники поля расположены в ограниченной области про­ странства, поэтому поверхностные интегралы в указанных форму­ лах при г—>-оо должны быть равны нулю. Для этого векторы напря­

женности поля (Е, Н) должны удовлетворять условию излучения

[14] вида (5.2а). Например, для вектора É это условие запишется следующим образом:

Теорема эквивалентности

Из формул (5.61) и (5.62) следует, что в поверхностные интег­ ралы входят выражения [пН], —[пЕ], еа(пЕ) и ра(пН), подобно тому, как в объемные интегралы входят токи и объемные заряды, а именно:

Таким образом, влияние внешних по отношению к рассматри­ ваемой области источников или неоднородностей на поле может быть определено через напряженности электромагнитного поля на граничных поверхностях или через соответствующие им поверхно­

стные токи ѵэ, ѵм и поверхностные заряды 0Э, омСледовательно, по возбуждаемому электромагнитному полю

поверхностные токи и заряды эквивалентны соответственно танген­ циальным и нормальным составляющим векторов напряженности поля на тех же поверхностях и связаны между собой соотношения­ ми (5.63). Сформулированные положения и представляют собой теорему, или принцип эквивалентности.

140

Принцип эквивалентности дает возможность решить задачу без векторного аналога теоремы Грина. Для этого распределение поля на граничной поверхности 5 в соответствии с (5.63) заменяют по­

формул (5.40), (5.41), (5.45) нахо­ дят электродинамические потенциа­ лы, по которым окончательно полу­

Следует отметить, что введение поверхностных токов и зарядов на граничной поверхности эквивалентно отбрасыванию поля во внешней области, т. е. равенству нулю его векторов. Действительно, в соответствии с граничными условиями (см. главу 2) при наличии поверхностных токов и зарядов на граничной поверхности имеют место скачки тангенциальных составляющих напряженности и нор­ мальных составляющих индукции электромагнитного поля. Но поскольку эти скачки равны по величине полным значениям со­ ответствующих составляющих векторов поля, создаваемого истин­ ными источниками на этой же поверхности, при таком методе ре­ шения задач принимается, что поле вне рассматриваемой области как бы равно нулю.

С помощью принципа эквивалентности можно решить и внешнюю задачу, которая формулируется следующим образом. Требуется

найти поле É, Н в пространстве V' (рис. 5.11), если его источники находятся внутри области V, отделенной границей S, на которой за­

дано поле Es, Hs.

Аналогично внутренней задаче заменяем на граничной поверх­ ности распределение составляющих векторов поля поверхностными токами и зарядами и по ним находим электродинамические потен­ циалы и векторы поля в заданной внешней точке Р(х, у, z).

141

Функция Грина

Чтобы применить для расчетов поля формулу Кирхгофа [напри­ мер, (5.57)], необходимо знать искомую функцию и нормальную производную от нее на поверхности, ограничивающей рассматри­ ваемый объем. Но точно на поверхности рассматриваемой области

(или ее нормальная производная) удовлетворяет нулевым гранич­ ным условиям, т. е. на граничной поверхности S эта функция или ее нормальная производная обращается в нуль.

Функция Грина, удовлетворяющая нулевым граничным услови­ ям, приводит формулу (5.57) к виду

<5 -65>

5

В частности, если требуется определить поле за плоским экра­ ном, имеющим отверстие (рис. 5.12), то функция Грина запишется следующим образом:

ния При этом замкнутую поверхность интегрирования берут в виде

изображенной пунктиром на рис. 5.12 поверхности S с удалением

142

Если не учитывать в (5.67) перед интегралом множитель /, добавляющий в фазу электромагнитных колебаний лишь постоян-

Вопросы для самопроверки

1.Изложите сущность метода разделения переменных при решении волновых уравнений.

2.Запишите общий вид решения однородного волнового уравнения в различ­ ных системах координат.

3.Запишите формулу Кирхгофа в общем случае и поясните физический смысл слагаемых, входящих в нее.

4.Какими способами для гармонических колебаний можно получить поверх­

ностный интеграл формулы Кирхгофа?

5.Поясните физический смысл принципа эквивалентности.

6.Напишите функции Грина, используемые при определении поля за плоским

экраном с отверстием, и назовите входящие в них величины.

§ 5.8. П РИ БЛ И Ж ЕН Н Ы Е М ЕТОДЫ РЕШ ЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛ ЕК ТРОД ИН АМ И К И

В ограниченных средах выбор метода решения задач электро­ динамики зависит от соотношения длины волны к и характерного размера / заданной области V, в частном случае дифракционных задач — от соотношения длины волны и размера тела, расположен­ ного в поле. В связи с этим различают три области расположения граничной поверхности в электромагнитном поле [15]:

1)квазистационарную (релеевскую) область, для которой

/Д < 1;

2)резонансную область, для которой 1/Х~ 1;

3)квазиоптическую область, для которой /Д^> 1.

Наиболее сложной для исследования является резонансная область, в которой может иметь место явление усиления поля за счет многократных отражений. Для исследования поля в резонанс­ ной области необходимо применять строгие методы, часть из кото­

143

рых была рассмотрена в предыдущих параграфах [II, 12, 15, 19, 22, 43]. Очевидно, полученное строгими методами решение справедливо для любой области, тогда как приближенное решение обычно спра­ ведливо только для рассматриваемой области при принятых огра­ ничивающих допущениях. Однако строгими методами, как отмеча­ лось, представляется возможным решить ограниченный круг задач.

Задачи для квазистационарной и квазиоптической областей час­ то можно решить приближенными методами.

Квазистационарная область

Для решения задач в этой области применяется так называе­ мый метод квазистатических приближений. Так как для этой обла­ сти то на поверхности объекта можно пренебречь фазовым запаздыванием, и задача может быть приближенно решена мето­ дами электростатики. При этом волновые уравнения электромагнит­ ного поля вырождаются в уравнения Лапласа и Пуассона. Нахо­ ждение электромагнитного поля сводится к решению двух более простых задач по определению электростатического и магнитоста­ тического полей. Очевидно, в случае дифракционных задач реше­ ние будет выражать рассеянное объектом поле только в ближней зоне (г<^К). Для определения поля в удаленных зонах (г>%) необходимо заменить на выбранной поверхности в ближней зоне составляющие найденных векторов эквивалентным распределением токов и, пользуясь формулами для электродинамических потенци­ алов, определить электромагнитное поле в интересующих точках.

Квазиоптическая область

Основными приближенными методами решения задач электро­ динамики в квазиоптической области являются методы геометри­ ческой или лучевой оптики, волновой оптики и метод краевых волн

[12, 15, 21].

Метод геометрической оптики

Геометрическая оптика, как известно из курса физики, решает задачу об определении направления световых лучей и их интенсив­ ности в среде с заданными оптическими свойствами. В электроди­ намике метод геометрической оптики в особенности находит при­ менение при решении задач на отражение электромагнитных волн идеально проводящими телами в однородной изотропной среде. Решения, которые получают с помощью этого метода, являются предельными для строгих решений, если в последних принять ?ѵ->0. Следует отметить, что метод геометрической оптики не дает возможности учесть явление дифракции.

Основные положения геометрической оптики, которые исполь­ зуются при решениях задач на отражение, кроме постоянства пото­ ка энергии в различных поперечных сечениях световой трубки, следующие:

144

1)падающий и отраженный лучи и перпендикуляр к отражаю­ щей поверхности в точке отражения (падения) лежат в одной плоскости;

2)угол отражения (ф0тр на рис. 5.1, а) равен углу падения (ср);

3)отражающая поверхность является зеркальной, т. е. не имеет шероховатостей; ее коэффициент отражения равен единице.

Метод геометрической оптики может быть применен также при решении задач на отражение радиоволн от абсолютно гладких поверхностей неидеально отражающих тел. В этом случае, кроме отраженного луча, имеется преломленный луч, проходящий во вто­ рую среду. При этом угол (фпр на рис. 5.1, а), под которым луч про­ ходит во вторую среду, а также коэффициенты отражения и пре­ ломления зависят от физических свойств сред и определяются за­ конами Снеллиуса и формулами Френеля. В последующих параграфах эти законы и формулы будут получены при строгом решении задач на отражение и преломление электромагнитных волн на плоских бесконечных поверхностях раздела сред.

Метод волновой оптики

В основе геометрической оптики лежит представление о локаль­ ном характере явлений распространения, отражения и преломле­ ния света. Поток света представляется в виде совокупности сколь угодно тонких пучков лучей, распространяющихся независимо друг от друга. Это приводит, например, в формулах для интенсивности отраженного света, к тому, что интенсивность зависит только от кривизны отражающей поверхности в точке отражения, но не от формы поверхности в целом.

Метод геометрической оптики нельзя применять в тех случаях, когда радиусы кривизны отражающей или преломляющей поверх­ ности сравнимы с длиной волны, а также когда точка наблюдения находится вблизи геометрической границы пучка лучей (например, границы тени, точки Р на рис. 5.1, в). В указанных случаях при решении задач электродинамики необходимо использовать более точный метод — метод волновой оптики.

Волновая оптика, называемая в литературе также физической оптикой, учитывает волновой процесс распространения света, явля­ ющегося одним из видов электромагнитных волн и характеризую­ щегося определенной напряженностью поля, частотой и скоростью распространения, зависящей от свойств среды. Волновая оптика базируется на представлении поля точечного монохроматического

где 'F — составляющая векторов поля или векторного потенциала;

145

В основе метода волновой оптики лежит известный из курса физики принцип Гюйгенса — Френеля. Согласно этому принципу каждый элемент dS в окрестности точки А в поверхности S (рис. 5.13), до которого в момент t дошла волна и, следовательно, в котором имеется электромагнитное возбуждение, рассматривается как воображаемый (виртуальный) вторичный источник, излучаю­ щий элементарную сферическую электромагнитную волну, с волно­

вой поверхностью АS 3. Огибаю­ щая 5 1 этих сферических волн определяет положение волновой поверхности в более поздний мо­ мент времени t\. Таким образом, в соответствии с принципом Гюй­

генса — Френеля поле в точке на- 7 блюдения Р представляется как И&

Вид А

5)

элементами волновой (или отражающей) поверхности. При сложе­ нии вторичных волн необходимо в точке наблюдения учитывать их фазу и амплитуду. Последняя зависит от угла <рв между нормалью к рассматриваемому элементу волновой поверхности первичной волны пв и направлением на точку наблюдения.

фаза колебания, вызываемого данной зоной в точке наблюдения, в среднем отличается на л от фазы колебания, вызываемого в той же точке рядом лежащей зоной. Поэтому обусловленные зонами

146