книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие

Указанное обстоятельство, как известно, является одним из подтверждений электромагнитной природы света. В диэлектриче­ ской среде скорость распространения электромагнитных колебаний меньше скорости света, в вакууме:

ния с отрицательной скоростью связано с уменьшением расстояния до начала координат. Волна, распространяющаяся по направлению

Так как согласно (5.33) С\ не зависит от сферических координат 0 и Ф , то распространение колебаний происходит симметрично во все стороны от начала координат. Следовательно, полученное ре­ шение в соответствии с известной из курса физики классификацией (см. § 6.2) определяет сферические волны. При этом первый член этого решения определяет сферическую волну, распространяю­ щуюся из начала координат и изменяющую свою величину обрат­ но пропорционально первой степени расстояния. Второй же член определяет волну, приходящую к началу координат из бесконечно­ сти и при этом возрастающую повеличине.

Разумеется, волна, идущая к началу координат, при расположе­ нии источников в начале координат возможна лишь при наличии отражения, чего в рассматриваемом случае нет, так как -среда пред­ полагается однородной и -безграничной. В связи с изложенным второй член решения отбрасывается как не имеющий физического смысла. В результате получаем

Теперь необходимо определить вид функции М і и найти зависи­ мость величины С] (точнее С$) от интенсивности источников, соз­ дающих поле. На эти вопросы можно ответить путем сравнения полученного решения с решением (4.9а) уравнения Лапласа (4.4) и Пуассона (4.3) для электростатического поля. Из (4.9а) следует, что решение для потенциала поля, создаваемого элементарным то­ чечным зарядом (dq = pdV), расположенным в начале координат

12Т

(х' = 0, у' = 0, z' = 0), можно записать в виде

В общем случае элементарный заряд расположен в точке с ко­ ординатами (х ', y', z') (рис. 5.5). Тогда элементарный потенциал в точке наблюдения Р(х, у, z) будет равен

Полный же потенциал, создаваемый всеми распределенными в области V зарядами, определяется выражением (4.9а).

Сопоставим решения (5.34) и (5.36). Волновое уравнение (5.30) превращается в уравнение Лапласа, если полагать, что производ­

ная по времени -д^1,0 = 0 или же V -э оо:

Ѵ 2С і , 0= 0 .

Соответствующее ему решение вида (5.34) будет зависеть только от координат x', y', z’ и не будет зависеть от времени

V

Так как (5.36а) и (5.36) являются решением одного и того же уравнения, то в случае электростатического поля

128

вместо — в (4.3), то, выполняя соответствующую замену, нахо-

Еа

ДИМ

„1 mt (x', у ', z')

Решение уравнения Пуассона для Се0 представляет собой интег­ рал от предыдущего выражения:

Функция Alu определяющая решение С Е уравнения Даламбера (5.29), формально отличается от функции М\,о, из которой состав­ лено решение С$0 (5.37) уравнения Пуассона, лишь тем, что учиты­ вает зависимость интенсивности источников (т$ ) не только от ко-

электрической среде при источниках как электрического, так и магнитного типов.

Запишем подробнее решения уравнений только при источниках электрического типа, так как решения при источниках магнитного типа можно легко получить из них на основании принципа переста­ новочной двойственности.

Решение волнового уравнения для составляющей Н х напряжен­ ности магнитного поля [см. (3.3)] при уэ = 0 будет иметь вид

Из выражений (5.40) и (5.41) видно, что электродинамические потенциалы существенно отличаются от потенциалов статических и стационарных полей, для которых можно пренебречь временем запаздывания. Величина же электродинамических потенциалов в некоторой точке наблюдения Р(х, у, г) (см. рис. 5.5) в момент вре­ мени t определяется состоянием источников поля в точке (x', y', z')

в предшествующий момент времени t ' = t --- —. Другими словами,

V

электромагнитное колебание приходит в точку наблюдения с запаз­

дыванием на воемя ixt— — , которое необходимо для того, чтобы

V

электромагнитное колебание распространилось из точки источника {x', y', z') до точки наблюдения Р(х, у, г). По указанной причине электродинамические потенциалы называют также запаздывающи­ ми потенциалами.

Найдем решение волновых уравнений в безграничной среде для векторного потенциала и вектора Герца в случае монохроматиче­ ских полей. Решение неоднородного волнового уравнения для век­ торного потенциала [см. (3.17)] найдем на основании выражения (5.40), введя в него зависимость векторов поля от времени в виде

S" С Т _____І С Т р j( s > t

3 — 0т

под интеграл (5.40) вместо времени t должно быть поставлено время

130

Вопросы для самопроверки

1.Получите решение неоднородного волнового уравнения для диэлектриче­ ской среды.

2.Поясните физический смысл понятия «запаздывающих» электродинамиче­ ских потенциалов.

3.Запишите решение неоднородного волнового уравнения для монохромати­ ческого поля при различном распределении сторонних токов.

§5.6. РЕШ ЕН И Е В О Л Н О ВО ГО УРАВН ЕН И Я

М ЕТОДОМ РАЗД ЕЛ ЕН И Я П ЕРЕМ ЕН Н Ы Х

. Найденные в предыдущем параграфе строгие решения волновых уравнений для однородной среды в случае краевых задач электро­

динамики можно трактовать как частные решения Сч неоднородных волновых уравнений. Таким образом, для ограниченных областей

необходимо, кроме того, найти решение С0 однородного уравнения. Для монохроматических волн однородное векторное волновое

уравнение, как мы видели, переходит в уравнение Гельмгольца:

данных источниках и известных граничных условиях решить ана­ логичные скалярные волновые уравнения. Чтобы решить эти урав­ нения, в принципе можно использовать все известные точные мето­ ды решения дифференциальных уравнений второго порядка в част­ ных производных. Практически чаще всего находит применение метод разделения переменных, называемый также методом Фурье

[11, 12, 19, 22].

По этому методу решение задачи проводится в системе прямо­ угольных или криволинейных ортогональных координат, выбран-

132

пых таким образом, чтобы граничные поверхности совпадали (или были параллельны) с координатными поверхностями системы. Так, например, при решении задачи дифракции радиоволн на сфере целесообразно выбрать сферическую систему координат с началом в центре сферы. Граница раздела — поверхность сферы здесь будет совпадать с поверхностью г = const = а (а — радиус сферы).

Выбрав систему, будем искать решение дифференциального уравнения в виде произведения трех множителей, каждый из кото-

Рис. 5.7

рых является функцией только одной координаты. Приведем общий вид решения для трех наиболее часто используемых ортогональных систем координат.

В прямоугольной системе координат (х, у, г, рис. 5.7, а) скаляр­ ное волновое уравнение, соответствующее уравнению (5.46), запи­ сывается в виде

Решение же этого уравнения отыскивают как произведение сле­ дующих трех функций-множителей

В цилиндрической системе координат (р, ср, г, рис. 5.7, б) по аналогии будем иметь

133

Соответственно для сферической системы координат (г, ф, ф, рис. 5.7, в) можно записать

(5.51)

и

Для нахождения функций-множителей, входящих в выраже­

ние С с, , последнее подставляют в соответствующее ему волновое уравнение. После этого волновое уравнение разделяют на три дифференциальных уравнения, в каждое из которых входит только одна координата (например, х) и соответствующая ей функция (в рассматриваемом случае Х ( х ) ) . В результате решений полученных таким путем дифференциальных уравнений находят общие выраже­ ния для множителей [например, Х ( х ), Y (у) и Z(z)], куда входят по­ стоянные, введенные при разделении волнового уравнения.

Обычно данному волновому уравнению соответствует множест­ во значений Се,. Поэтому общее решение уравнения С £ представ­

ляется в виде суммы от Се, . Вошедшие в общие решения постоянные разделения находят из граничных условий.

Методика нахождения функций-множителей в дальнейшем из­ лагается при рассмотрении конкретных задач электродинамики: решение волновых уравнений для плоских волн (см. главу 7), для электромагнитных волн в волноводах (см. главу 8) и др.

Необходимо отметить, что решение задач электродинамики ме­ тодом разделения переменных может быть построено до конца только в том случае, если во введенной криволинейной системе координат разделяются переменные в дифференциальном уравне­ нии. Решение, полученное этим методом, в общем случае имеет вид бесконечных рядов по специальным функциям. Как правило, ряды быстро сходятся в случае длинных по сравнению с размерами тела волн. Для сравнительно коротких волн ряды начинают эффективно сходиться только с достаточно большого номера их составляющих. Однако при этом ряды удается преобразовать к интегралам, поэ­ тому становится возможным их приближенное вычисление.

§ 5.7, РЕШ ЕН И Е ВО Л Н О В О ГО УРАВН ЕН И Я Д Л Я ОБЛАСТИ ,

ОГРА Н И Ч ЕН Н О Й ЗАМ КНУТОЙ П О ВЕРХН О СТЬЮ .

ФОРМ УЛА КИРХГОФ А И ТЕОРЕМ А ЭК ВИВАЛ ЕН ТН ОСТИ

Скалярная формула Кирхгофа

При рассмотрении вопросов прикладной электродинамики мо­ жет представлять интерес определение электромагнитного поля в некотором ограниченном объеме при наличии исходных данных

134

только в пределах указанного объема. При этом задача формулиру­ ется следующим образом: необходимо найти поле внутри некото­ рого объема V при условии, что известны лишь источники, располо­ женные в этом объеме, а также заданы соответствующие характе­

точным решением этого уравнения будет выражение [11]

-----— . При этом интегрирование производится по координатам

точек источников, т. е. по координатам x', y', z'. Формула (5.53) определяет функцию С g внутри области V, ограниченной замкутой поверхностью S, через характеристики источников mg, распо­

ложенных внутри области, и через значения этой функции С t и ее

дС£

Формула (5.53) по имени предложившего ее в 1882 г. ученого называется формулой Кирхгофа. Под C g , как и прежде, может пониматься скалярный потенциал U или любая из декартовых со­ ставляющих векторов Е, И, А, Г, когда векторное волновое урав­ нение разбивается на независимые скалярные уравнения.

Из сопоставления формул (5.53) и (5.38) следует, что первое слагаемое правой части формулы (5.53) (интеграл по объему) представляет собой решение неоднородного волнового уравнения (5.29) для безграничной среды, т. е. является частным решением, определяющимся источниками т g, расположенными внутри обла­

135

сти V. Иначе говоря, это слагаемое определяет поле в рассматри­ ваемой точке, созданное внутренними источниками.

Тогда естественно предположить, что второе слагаемое (поверх­ ностный интеграл) является решением однородного волнового уравнения

ное внешними неоднородностями среды. Из сказанного следует, что если внешние источники и неоднородности отсутствуют, то поверх-

равен нулю.

При деформации поверхности 5 Н, например при ее увеличении, внешние источники частично попадают внутрь объема и объемный интеграл изменяет свое значение на величину поля, создаваемого этими дополнительными источниками. При этом поверхностный ин­ теграл изменяется на ту же величину, но другого знака, в резуль­ тате чего сумма обоих интегралов не изменяется. Если бы такое изменение имело место, то величина поля в данной точке зависела бы от выбора поверхности 5 и, следовательно, решение задачи не

jx

Поверхностный же интеграл, представляющий решение однород­

Метод получения частного решения неоднородного волнового уравнения, которое определяется объемным интегралом формулы (5.53) и выражением (5.55), изложен в § 5.5. Поэтому здесь оста­ новимся только на получении решения (5.57) однородного волно­ вого уравнения (5.56).

Формулу (5.57) можно получить двумя путями:

1) подстановкой в поверхностный интеграл формулы (5.53) вместо величины С е. соответствующего ей комплекса [12];

136