книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие

Аналогично можно показать, что при наличии источников маг­ нитного типа теорема, взаимности запишется в виде

Сущность теоремы взаимности наглядно можно пояснить на примере радиопередачи между двумя антеннами. Пусть в объемах ДК! и ДѴ2 находятся две антенны, представляющие собой два пря­ молинейных проводника (рис. 5.3):

Д І / j — Zj A S j И Д И 2—-

Положим, что в данный момент времени в каждом проводнике сторонний ток по его длине имеет одинаковую плотность. Тогда для первой антенны в соответствии с левой частью выражения (5.9) можно напи­ сать

где 11 — сторонний ток в первой антенне; Э 2\— э. д. с., наведенная

полем тока І Г в первой антенне.

Для второй антенны аналогично находим

f & ld V = I ? 3 n.

дѴ2

В соответствии с теоремой взаимности имеем

Из (5.96) следует, что отношение тока первой антенны к о*бусловленной им э. д. с. второй антенны равно отношению тока второй антенны к обусловленной им э. д. с. первой антенны. Следователь­ но, независимо от свойств промежуточного пространства между антеннами (лишь бы оно не содержало нелинейных и анизотроп­

117

/ст, обусловливает появление в приемной антенне той же э. д. с. Э, которую в передающей антенне вызвал бы аналогичный по величи­ не ток приемной антенны. Следовательно, процесс прием— переда­ ча не изменяется от взаимной замены передающей и приемной антенн.

Вопросы для самопроверки

1.В чем сущность принципа суперпозиции решений уравнений электромагнит­ ного поля?

2.Сформулируйте принцип перестановочной двойственности уравнений элект­

ромагнитного поля.

3.Поясните физический смысл теоремы взаимности.

§5.4. Д В А К Л АССА Н ЕЗАВИ СИ М Ы Х РЕШ ЕН И Й У РАВ Н Е Н И Й

МА К СВ ЕЛ Л А

Вобщем случае уравнения электромагнитного поля являются неоднородными [см. (2.25), (2.26), (5.6)]. Решение каждого такого уравнения состоит из решения однородного уравнения (известные члены правой части, характеризующие источники поля, равны нулю) и частного решения неоднородного уравнения. В силу этого при нахождении общего решения системы уравнений электромаг­ нитного поля можно независимо решать две самостоятельные груп­ пы уравнений, составленных из полной симметричной системы

(5.6) следующим образом: в первой труппе 'сохраняются только источники поля электрического типа (первое и третье уравнения — неоднородные, второе и четвертое — однородные), а во второй группе— только источники магнитного типа (первое и третье урав­ нения— однородные, второе и четвертое — неоднородные).

Запишем эти две группы уравнений (без введения величины ум, которая весьма редко используется даже в специальных приложе­ ниях) .

118

Вторая группа:

После решения первой (Еэ, Нэ) и второй (Ем, Нм) систем урав­ нений полученные результаты на основании принципа суперпози­ ции необходимо сложить, чтобы найти общее решение задачи:

Чтобы решить системы дифференциальных уравнений поля (5.10), (5.10а), (5.11), (5.11а), необходимо привести их к волновым уравнениям относительно векторов поля или дополнительно вводи­ мых потенциальных функций. Приведение уравнений первой груп­ пы к волновым уравнениям подробно рассмотрено в главе 3. Вол­ новые же уравнения для векторов поля, соответствующие второй группе уравнений, легко найти из волновых уравнений первой груп­ пы, пользуясь принципом перестановочной двойственности.

Произведя операции над второй группой уравнений, подобные операциям, выполненным в главе 3 над первой группой уравнений, или пользуясь свойством

119

где J " определяется из уравнения (3.12): —— = — 8 " .

Как указывалось, магнитные потенциалы и магнитные источники целесооб­ разно вводить в случае сторонних источников в виде замкнутых контурных токов.

Тогда можно показать, что J ” и 8'т связаны с контурными электрическими

токами 5 " , вместо которых они вводятся, соотношениями

J cr. создаваемый сторонними токами:

B = p 0(H + J + J CT).

120

Тогда уравнение связи со сторонними токами запишется так:

rot [i.ajCT = Р-а8" или rot J cr = 8 " ,

т. e. получаем обычное дифференциальное уравнение, связывающее стороннюю напряженность магнитного поля в среде с плотностью стороннего тока. При этом HaJCT представляет собой объемную плотность магнитного момента сторонних

токов:

На основании (3.13), (3.14), (5.19) и (5.20а) получаем выражения для век­

торов полного поля через векторы Герца электрического и магнитного типов

(Ѵэ=0):

(5.21)

д1

Н— — rot Г э + — rot rot Г м. ut [Ха

Из рассмотрения следует, что при наличии источников поля обоих типов векторы поля Е и Н могут быть найдены как функции составляющих векторов Герца электрического (например, в декартовой системе координат) Гэ*, Тзу, F3Z

и магнитного Г м*, Г м„, Г Мг типов.

В однородной среде при отсутствии сторонних токов электромагнитное поле можно выразить через вектор Герца электрического или магнитного типа, т. е.

121

через три составляющие вектора Герца любого типа, например:

решение для поля вектора Е.

Можно показать, что из приведенных трех систем уравнений, определяющих частные решения поля, независимыми остаются только две. Следовательно, в однородной изотропной среде в области, где отсутствуют сторонние токи, векто­ ры поля Е и Н в общем случае могут быть найдены через любые две составляю­ щие вектора Гэ (либо Г м) по ортогональным координатным осям, т. е. через две скалярные функции.

В прямоугольной декартовой системе координат вместо (3.11) (без правой

Тогда в каждое скалярное уравнение, получаемое из однородного векторного уравнения (3.11), будет входить только одна проекция вектора Герца. Так, на­ пример, для проекции на ось у будем иметь

Часто приходится решать задачи в обобщенной цилиндрической системе координат, в которой одна из осей (г) является прямолинейной и две остальные координаты (а, ß) криволинейны. Частным случаем этих координат являются обычные цилиндрические координаты (г, р, <р).

входит наряду с проекцией вектора на эту ось (Гэ^ ) также проекция вектора на ось р(Гэ р).

Из изложенного следует, что в координатной системе, у которой все три оси

122

дикулярно к оси 2 и возьмем ее в виде ротора вектора Т2г^ направленного по оси г:

Гг = rot (r2z0),

где Г2 — соответствующая функция координат и времени. Тогда

Гэ = Г х + Г 2 = TjZq + rot (Г2г0) и Е = Е 1 + Е 2 і Н = Hi + Н2,

где Е] и Hi определяются вектором Г ь а Е2 и Н2 — вектором Г 2.

Из выражений (5.23) следует, что вектор напряженности магнитного поля Й!

же скалярному однородному уравнению вида (5.22).

Таким образом, в случае цилиндрической системы координат в области одно­ родной изотропной среды, где отсутствуют сторонние токи, полное поле можно найти как сумму двух полей, определяемых векторами Герца электрического и магнитного типов, направленных параллельно оси z системы координат.

Отметим, что в сферической системе координат поле можно найти путем вве­ дения соответствующих векторов Герца, направленных по радиусу г.

§ 5.5. РЕШ ЕН И Е Н Е О Д Н О РО Д Н О ГО ВО Л Н О ВО ГО УРАВН ЕН ИЯ Д Л Я ПОЛЯ В Н ЕО ГРА Н Й Ч ЕН Н О И О Д Н О РО Д Н О Й СРЕ Д Е

Вое три вида рассматриваемых уравнений [(3.1) и (3.3), (3.7) и (3.8), (3.11)], а также соответствующие уравнения при наличии ис­ точников ма-гнитного типа (см. § 5.4) представляют собой один и тот же тип неоднородных волновых уравнений, который для век­ торных величин в общем виде может быть записан следующим 0,6- разом:

где С (или С) — один из векторов поля (Е, Н или Е, Н ), или вектор­ ных потенциалов (А, Г или А, Г); m (или т ) — заданная векторная функция координат, определяемая источниками поля (о , р )•

123

Проекциям векторов на оси х, у, z и скалярному потенциалу соответствуют подобные скалярные уравнения:

Рст

Ранее указывалось, что решение (С) неоднородного волнового уравнения, или уравнения Даламбера, в общем случае представ­ ляет собой сумму частного решения (Сч), определяемого правой частью этого неоднородного уравнения (т. е. источниками поля), и

Если границы раздела сред отсутствуют, то решение неоднород­ ного волнового уравнения соответствует частному решению. Таким образом, частное решение определяет электромагнитное поле заданных источников в безграничной среде.

Рассмотрим метод отыскания решения задачи электродинамики для безграничной однородной и изотропной среды.

Вначале решим задачу для диэлектрика, в котором имеются объемно-распределенные заряды и токи. Для этого положим в урав­

функцией C\ — dCt ,

Поместим точечный источник в начало координат и рассмотрим поле во всех точках, за исключением начала координат, где распо­

ложен источник. Для этих точек уравнение (5.29) переходит в од­

124

Так как величина С\ создается точечным источником, то она зависит только от удаления точки наблюдения от источника (в на­ шем случае от 'расстояния г между точкой наблюдения и началом координат). Поэтому задача становится сферически симметричной.

Тогда на основании выражения оператора Лапласа в сфериче­ ской системе координат (П .III.13) уравнение (5.30) приобретает вид

После умножения последнего уравнения на г, учета независи­ мости г и / и введения обозначения С хг= М, приходим к уравнению

Для решения этого уравнения обычновводят новые переменные

125

Произвольная интегрирования М 2 не зависит от £ и в общем случае является функцией оттр Таким образом,

M = M l (q + M 2(rl).

После подстановки t, и ц окончательно находим

ж='и'(г-т)+ЛЧ'+т (5.31)

Рассмотрим физический смысл решения (5.31). С этой целью, приняв выбранное направление г за абсциссу (рис. 5.4), отложим

Так как функция М\ произвольна, то указанное равенство будет иметь место при равенстве аргументов:

Аг

t .= t+ b f .

Выполняя несложные преобразования, находим

Таким образом ѵ представляет собой скорость, с которой будут перемещаться ординаты кривой М ь а следовательно, и вся кривая не меняя своего вида, в направлении возрастания г. Следователь­ но', первое слагаемое решения (5.31) представляет собой аналити­ ческое выражение колебания (возмущения), распространяющегося от источника (из начала координат) в бесконечность со скоростью ѵ. Волна, распространяющаяся в направлении от источника, называ­ ется прямой волной. Для вакуума скорость распространения элек­ тромагнитны« колебаний равна скорости света:

126