книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие

ходит через нее — преломляется, частично же отражается от грани­ цы, которая при этом является как бы источником отраженной вол­ ны. В самом деле, при падении электромагнитной волны на границу раздела сред поле волны во второй среде вызывает вынужденные колебания свободных и связанных зарядов. Эти колебания создают во второй среде (теле) и в первой среде (окружающем простран­ стве) вторичные электромагнитные поля, изменяющиеся во времени с частотой падающей волны. Направления прошедшей и отражен­ ной волн на рис. 5.1, а показаны соответственно векторами Пойнтинга Ппр и Потр*

Рис. 5.1

При падении электромагнитных волн на тело ограниченных раз­ меров (порядка или меньше длины волны, рис. 5.1, б) наблюдается принципиально аналогичное, однако значительно более сложное яв­ ление, приводящее к изменению структуры поля падающей волны. При этом суммарное электромагнитное поле, характеризующееся вектором Пойнтинга П сум (рис. 5.1, в), имеет место и в так назы­ ваемой геометрической тени, т. е. электромагнитные волны как бы огибают тело. Наряду с этим электромагнитное поле будет прони­ кать и внутрь тела, если только проводимость его не бесконечно велика (Ппр, рис. 5.1, б).

В физике явление огибания волнами препятствий (тел, объек­ тов) называют дифракцией электромагнитных волн. Однако изме­ нение структуры поля первичной волны далеко не всегда полностью характеризуется огибанием препятствий. Поэтому под дифракцией будем понимать любое изменение структуры поля волны при паде­

107

нии ее на тело или совокупность тел. Следовательно, понятию «ди­ фракция» будем придавать более широкий смысл. Дифракция элек­ тромагнитных волн является также более общим понятием по срав­ нению с их отражением от плоской границы раздела сред.

Возможна классификация задач электродинамики и по другим признакам. Так, часто эти задачи делят на внутренние и внешние. При этом под внутренней понимается такая задача, когда требует­ ся найти электромагнитное поле в области, ограниченной извне ко­ нечной поверхностью, удовлетворяющее на этой поверхности соот­ ветствующим граничным условиям. Примером внутренней задачи является определение поля в замкнутой металлической полости — объемном резонаторе (см. главу 9).

Внешняя задача соответствует случаю, когда необходимо опре­ делить поле во всем бесконечном пространстве вне конечной обла­ сти, ограниченной замкнутой поверхностью, удовлетворяющее за­ данным граничным условиям на этой поверхности и соответствую­ щим условиям в бесконечности. Примерами внешних задач могут служить задачи дифракции электромагнитных волн на металличе­ ских телах. Частным случаем внешних задач являются также зада­ чи на излучение электромагнитных волн заданными источниками в свободном пространстве.

Приведенная классификация в определенном смысле условна. Имеются задачи, например изучение распространения электромаг­ нитных волн-в волноводе (см. главу 8), в которых переплетаются свойства внутренних и внешних задач [15].

Следует заметить, что задачи определения поля, в которых за­ даны граничные условия и дифференциальные уравнения для этого поля д рассматриваемой части пространства или плоскости, называютсй также краевыми. К ним можно отнести все указанные зада­ чи электродинамики с известными граничными условиями на по­ верхности, ограничивающей извне или изнутри рассматриваемую область пространства.

Краевые задачи и в их числе задачи на дифракцию электромаг­ нитных волн характерны математической сложностью, обусловлен­ ной сложностью механизма волновых процессов. К настоящему вре­ мени наряду с имеющимися решениями задач по отражению и преломлению электромагнитных волн на плоской границе раздела сред получены строгие решения дифракционных задач для шара и бесконечного цилиндра, а также частных случаев дифракционных задач для некоторых других тел правильной формы (идеально про­ водящих бесконечного конуса и клина, образованного двумя пере­ секающимися бесконечными полуплоскостями, сфероида при неко­ торой его ориентировке в падающем поле и др.).

поверхностях, которыми, в частности, являются поверхность Земли (тары, населенные пункты, лес и т. д.) и взволнованная поверх­

108

ность моря, и другие задачи. Для решения таких весьма сложных задач применяются те или иные приближенные методы. Точность приближенных методов проверяется либо экспериментально, либо на примерах приложения их к задаче, для которой известно точное решение.

Таким образом, широкое разнообразие • имеющихся методов решения электродинамических задач можно объединить в две груп­ пы — точные (строгие) и приближенные методы.

При изучении статических и стационарных полей (см. главу 4) были рассмотрены некоторые методы решения задач по определе­ нию этих полей. Строгие методы решения задач электродинамики являются более общими, чем соответствующие методы решения задач электростатики и магнитостатики, так как уравнения стати­ ческих полей являются частным случаем полных уравнений пере­ менных электромагнитных полей. Следовательно, решения стати­ ческих задач обычно могут быть получены как частные случаи точ­ ных решений соответствующих задач электродинамики. Подобной связи, как правило, нет между приближенными, методами.

§ 5.2. ЕД И Н СТВЕН Н О СТЬ РЕШ ЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛ ЕК ТРОД ИН АМ И К И

Задача определения электромагнитного поля в общем случае формулируется следующим образом. В пространстве задано распре­ деление источников поля как функций времени. Известы также на­ чальные (значения векторов поля в момент ^ = 0) и граничные усло­ вия. Требуется найти решение уравнений Максвелла или соответст­ вующих им волновых уравнений, удовлетворяющих начальным и граничным условиям.

Методы решений уравнений электромагнитного поля могут быть различными. Поэтому необходимо доказать, что решение, получен­ ное любым возможным методом, единственное, если оно действи­ тельно удовлетворяет уравнению поля и соответствующим началь­ ным и граничным условиям.

Теорема единственности решений уравнений электромагнитного поля доказывается сначала для ограниченного пространства и за­ тем распространяется на неограниченное пространство. Для огра­ ниченного объема V, замкнутого поверхностью S, пользуясь теоре­ мой Пойнтинга о балансе электромагнитной энергии, можно дока­

Е2, Н2), удовлетворяющих одинаковым начальным и граничным ус­ ловиям. Подставим сначала первое решение в первое и второе урав­

109

нения системы, а затем то же сделаем совторым решением. Далее, взяв разность между соответствующими частями первых и вторых уравнений, получим для разностного поля Е' = Еі— Е2, Н/ = Ні— Н2 уравнения, в которых сторонние токи отсутствуют:

по условию б) зачения тангенциальных составляющих на этой по­

Проанализируем приведенное уравнение баланса энергии для разностного поля с учетом начальных и граничных условий.

Выражение под знаком третьего интеграла можно представить таким образом:

[ E 'H 'Jd S ^ n U s ,

где П „' — нормальная к поверхности S составляющая вектора Пойнтинга ІГ.

Составляющая ГТ/ определяется тангенциальными составляю­ щими Е х и Я х векторов разностного поля на поверхности 5.

Ввекторном виде она может быть представлена как

п; = [ е ;н ;].

ПО

сутствующего запаса энергии не имеет физического смысла, поэто­

магнитного поля в течение всего рассматриваемого времени остает­ ся равной нулю, и, следовательно, разностное поле отсутствует, т. е.

Аналогично доказывается теорема единственности и для неог­ раниченного пространства, однако при этом вместо условия б) должно соблюдаться иное условие, так как нельзя задать танген­ циальную составляющую вектора Е или Н на бесконечно удален­ ной от источников поля поверхности 5. В этом случае следует убе­

Увеличение поверхности S, которую можно рассматривать как сферическую поверхность, пропорционально квадрату радиуса сфе­ ры г2. Чтобы при беспредельном увеличении радиуса (г-ѵоо) интег­ рал (5.1) стремился к нулю, подынтегральная функция должна

убывание векторов поля с расстоянием должно происходить в об­ щем случае быстрее чем /г.

111

поверхности 5, расположенной далее г\, интеграл Ф[E 'H ']d S = 0.

Дальнейшее доказательство ничем не отличается от предыдущего. Следовательно', при неустановившемся в безграничном прост­ ранстве режиме электромагнитных колебаний решения уравнений Максвелла единственны, в том числе в случае идеализированного пространства, лишенного потерь, когда векторы поля убывают об­

ратно пропорционально первой степени расстояния (1 /г).

На основании изложенного для решения внешней задачи, кро­ ме рассмотренных начальных и граничных условий, приходится вводить дополнительные условия, определяющие поведение поля в бесконечно удаленных точках. При этом электромагнитное поле во внешней области должно уходить от источника в пространство. Иными словами, оно должно удовлетворять в бесконечности прин­ ципу излучения.

Для гармонических электромагнитных полей, которые нас и будут главным образом интересовать, нет необходимости, в на­ чальных условиях, поскольку рассматриваются установившиеся волновые процессы. В этом случае для удовлетворения требовани­ ям единственности решения уравнения поля при временном множи­ теле е^“ ' должно выполняться соотношение

É и Н.

Соотношение (5.2а) называют условием излучения [см. § 5.7]. Условие (5.2а) удовлетворяется как для среды с потерями, так и для идеализированного пространства, лишенного потерь (идеаль­ ного диэлектрика). В этом можно легко убедиться, подставив вмес­ то О функцию e~ihr/r, которая, как увидим в дальнейшем, характери­ зует зависимость модулей и фаз векторов гармонического поля от расстояния точки наблюдения до источника.

Таким образом, в соответствии с теоремой единственности при заданных начальных и граничных условиях не может быть двух разных решений уравнений электромагнитного поля. Поэтому на практике, найдя каким-нибудь методом решение уравнений Мак­ свелла или соответствующих им волновых уравнений при заданных начальных и граничных условиях, можно быть уверенным, что оно реализуется на самом деле и что другого решения искать не надо.

Обосновав единственность решений задач электродинамики, перечислим некоторые из строгих методов их получения. Имеются

в неограниченной однородной среде с использованием электроди­ намических потенциалов;

2 ) метод разделения переменных;

3)метод, основанный на использовании формулы Кирхгофа;

4)метод зеркальных изображений.

112

Первые три метода излагаются в настоящей главе, метод же зеркальных изображений применительно к решению задач электро­ динамики рассматривается в главе 11 (см. § 11.4).

Перед изложением указанных методов рассмотрим дополни­ тельные теоремы, используемые при решении задач электродина­ мики.

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под отражением и дифракцией электромагнитных волн?

2.Изложите постановку задачи об определении электромагнитного поля.

3.Сформулируйте теорему единственности решения уравнений электро­ динамики.

4.Чем отличается доказательство единственности решений уравнения поля для внешних и внутренних задач?

5.Перечислите строгие методы решения задач электродинамики.

§5.3. П РИ Н Ц И П Ы СУП ЕРП О ЗИ Ц И И И П ЕРЕСТАН ОВОЧН ОЙ

Д ВО Й СТВЕН Н О СТИ УРАВН ЕН И Й М АКСВЕЛ Л А . ТЕОРЕМ А ВЗАИМ НОСТИ

В ряде случаев решение задач электродинамики ускоряется благодаря использованию свойства перестановочной двойственно­ сти уравнений Максвелла, принципа суперпозиции (наложения) их решений и теоремы взаимности.

Принцип суперпозиции

Для линейной изотропной среды, как это следует-из глав 2 и 3, дифференциальное уравнение относительно любого вектора элек­ тромагнитного поля остается линейным. Из курса математического анализа известно, что сумма частных решений всякого линейного дифференциального уравнения также является его решением. Из этого положения вытекает важный для теории электромагнетизма принцип суперпозиции, согласно которому поле, образованное не­ сколькими источниками, представляет собой сумму (векторную) полей каждого из источников.

В качестве примера напишем выражение для векторов поля, создаваемого распределенными в рассматриваемой области п систе-

Пусть при отсутствии всех других систем источников за исключени­

ем первой ( 5 эІ 4= 0 ) создается поле напряженности Е ь Нь Вторая система при отсутствии других систем источников создает поле Е 2, Н2, а п-система при тех же условиях — поле Е„, Н„. Тогда в соответствии с принципом суперпозиции все п систем источников при прежнем их распределении и одновременном действии будут создавать полное поле, напряженность которого определяется сле­ дующими векторными суммами:

113

Необходимо заметить, что принцип суперпозиции нельзя приме­ нять при определении мощности (энергии), так как мощность пол­ ного поля в рассматриваемом объеме не равна сумме мощностей полей каждого из источников. Например, для вектора Пойнтинга имеем

Принцип перестановочной двойственности

Принцип перестановочной двойственности, вытекает из симмет­ рии уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла для диэлектрика

в области, где отсутствуют сторонние источники, симметричны:

Соответствующие волновые уравнения для каждого вектора будут иметь одинаковый вид (3.2). Из рассмотрения приведенных

уравнений следует, что можно перейти от одного уравнения к дру­ гому и обратно простой заменой вектора Н на Е, вектора Е на Н, величины еа на —ца и величиныра на —еа.

Это дает возможность сформулировать принцип перестановоч­ ной двойственности уравнений электромагнитного поля. -Предполо­ жим, что имеются две электродинамические задачи, сформулирован­ ные таким образом, что все условия для вектора Н (или Е) одной задачи при указанной перестановке переходят в условия для векто­ ра Е (или Н) другой задачи. При этом геометрическая конфигура­ ция границы области в обоих случаях одинакова. Тогда, если известно решение первой задачи, то решение второй задачи может быть получено из первой путем той же перестановки, символически записываемой таким образом:

Н ^± Е и еа5± —[V

Например, если найденовыражение для вектора Е и постоян­ ные интегрирования определены из условия, что тангенциальная составляющая этого вектора равна нулю на некоторой граничной поверхности, то выполнив в этом выражении перестановку, полу­ чим решение для вектора Н, тангенциальная составляющая кото­ рого на отмеченной поверхности также равна нулю.

В общем -случае в результате перестановки получаем решение электродинамической задачи, для которой граничные условия нахо­ дят путем выполнения той же перестановки.

Принцип перестановочной двойственности, впервые сформули­ рованный советским ученым А. А. Пистолькорсдм, можно распрост­ ранить и на случай наличия в рассматриваемой области сторонних источников. При- это-м в уравнения должны быть введены и сторон­

114

При монохроматических колебаниях принцип перестановочной двойственности может быть распространен и на проводящую сре­ ду. При этом перестановка выполняется по схеме:

Чтобы рассматриваемый принцип применить для проводящей среды при немонохроматических колебаниях, необходимо ввести понятие о магнитной проводимости. При этом симметричная систе­ ма уравнений будет такой:

Для наиболее общей системы уравнений (5.6) схема перестанов­ ки имеет вид

Теорема взаимности

В основе теоремы взаимности лежит лемма Лоренца, которая устанавливает связь между сторонними токами в двух различных точках пространства и электромагнитными полями, возбужденны­ ми этими токами.

Пусть в линейной изотропной среде с параметрами ра, еа и уэ имеются две системы источников, одна из которых представляется

115

плотностью тока §эі, распределенного в объеме ДЕі (рис. 5.2),

другая — плотностью тока 5э2, распределенного в объеме ДЕ2. Первая система источников создает в каждой точке простран­

ства поле Еі, Нь вторая система — поле È2, Н2.

В силу независимости источников дифференциальные урав­

Для вывода леммы Лоренца умножим скалярно приведенные уравнения первой системы соответственно на векторы Е2, Н2, а

второй системы на векторы Éj, Нь После умножения вычтем из первого уравнения четвертое, а из третьего уравнения — второе. Тогда получим

Если каждая система сторонних токов локализована в ограни­ ченных объемах ДЕі » ДЕ2, то, распространяя границы интегриро­

вания на бесконечность и учитывая, что произведение ÉH в реаль­ ной среде (уэ=7^ 0) уменьшается с расстоянием быстрее чем 1/г2, получим, что в пределе интеграл по поверхности S, стоящий в левой части выражения (5.8а), будет равен нулю. При этом интеграл в правой части разбивается на два независимых интеграла по объ­ емам, где расположены источники, т. е.

Соотношение (5.9) является леммой Лоренца для бесконечно большого объема и представляет . собой математическую запись теоремы взаимности.

116