![](/user_photo/_userpic.png)
книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие
.pdfциала и напряженности магнитного поля упрощаются:
Г |
53T d S d l |
|
|
Ы |
г |
dl |
(4.46) |
|
|
и| |
|||||
4Я L S |
Г |
|
|
4 л |
9 |
г |
|
и |
Н |
4/ |
|
|
|
|
(4.47) |
|
L |
|
|
|
|||
|
|
л |
|
|
|
|
|
Здесь интегрирование ведется вдоль контура L, по которому проте кает ток I.
Преобразуем формулу (4.47). Из векторного анализа известно,
что
rot ба = ф rot а - f [grad Ф, а].
Если положить б = — и а = dl, |
то подынтегральное выраже |
||
ние в (4.47) преобразуется к виду |
grad — , |
dl |
|
rot1-^ - = — rot |
dl + |
|
|
|
|
|
\ r\ |
r v |
r
Так как поле вычисляется в точке наблюдения Р с координа тами X, у, z (рис. 4.11), а не в точке dl и сам элемент dl не за висит от координат точки Р, то первый член в правой части по следнего равенства обращается в нуль, и оно записывается следу ющим образом:
rot |
сП |
grad — , |
dl |
г |
|||
|
|
г |
|
Подставив это выражение под знак интеграла в (4.47), получим
L |
( 4 '4 8 ) |
|
Формула (4.48) представляет собой закон Био — Савара в инте гральной форме, дающий возможность находить напряженность магнитного поля, создаваемого линейно распределенным током. Следует отметить, что закон Био — Савара.вначале был установлен опытным путем. В дифференциальной форме этот закон записы вается как
I |
dH: |
4лг2 [dl, г0]. |
(4.48а) |
4—3195 |
|
|
97 |
Закон (4.48а) определяет напряженность dH магнитного поля, создаваемого в точке наблюдения Р элементом тока / dl.
Необходимо обратить внимание, что в случае цилиндрического проводника бесконечной длины для определения поля внутри и вне проводника целесообразнее пользоваться законом полного тока [первая формула системы (4.42)].
Задача. По круглому витку радиуса р0 протекает ток / (рис. 4.12). Опреде лить на большом расстоянии от витка (гс >Ро) векторный потенциал и показать, что при этом виток действует как магнитный диполь.
Idlr
Р е ш е н и е . Поместим начало |
Рис. 4.12 |
|
|
сферической системы координат (гс, Ѳ, ф) в |
|||
центр витка (рис. 4.12, а), причем |
полярную ось |
Oz |
направим перпендикулярно |
|
к плоскости витка, а отсчет азимутального угла ср будем производить от плоско
сти, проходящей через ось |
Oz |
и точку наблюдения |
Р |
(плоскость |
zO Р ') . |
|
|
|
|
||||||||
Из симметрии распределения токов относительно указанной плоскости сле |
|||||||||||||||||
дует, что векторный потенциал имеет |
лишь |
азимутальную |
составляющую |
А э = |
|||||||||||||
= ф (Иэ. В этом можно убедиться, если |
|
рассмотреть |
попарно |
элементы тока /dl, |
|||||||||||||
равноудаленные в противоположные стороны от плоскости |
zOP' |
(точки |
1- |
и |
1' |
на |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
z O P ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рис. 4.12, б). Каждый из этих элементов можно разложить на две составляющие: |
|||||||||||||||||
|
Ро |
|
Р , |
|
Id lr, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
перпендикулярную к< плоскости |
|
|
и |
|
и, следовательно, параллельную ази |
||||||||||||
мутальному направлению |
|
в точке |
|
|
|
|
параллельную |
|
указанной |
плос |
|||||||
кости. |
|
» |
|
но имеют противоположные направления. |
|||||||||||||
Элементы /dlr равны по величине, |
Создаваемые ими составляющие векторного потенциала в соответствии с форму
98
лой (4.46) взаимно компенсируются. Элементы же /dl? с координатами ср и —Ф
создают в точке наблюдения Р равные составляющие векторного потенциала, имеющие направления, совпадающие с азимутальным направлением ?о- Переби рая попарно все элементы витка, убеждаемся, что вектор Аэ имеет только состав
ляющую Лэ<рdlf. |
= d l |
cos ф, то из (4.46) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как |
|
cos tp |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Аэ = <?о |
Р а |
1 |
|
|
dl |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из геометрии задачи следует также, что |
dl = pod(p |
и |
|
|
c o s? р( |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
О Р ' |
|||||||||||||
Г2 = (Р'Р)2 + |
(]ѴР')2 = |
(Р '.Р )2 + (0 Р ')2 + |
р2 — 2 |
|
||||||||||||||
ИЛИ |
|
|
|
г2 = |
г \ |
+ Ро —• 2ро^с s in |
9cos ¥• |
|
|
|
||||||||
поэтому |
|
|
|
4л |
/и. |
|
|
|
Po —Po cos |
<?d!f |
|
|
|
|
14.49) |
|||
|
Аэ = 9о |
|
|
|
|
|
sin ö cos |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ff |
{ r l |
+ |
|
|
|
2Por c si |
|
|
|
|
|
||
Если учесть, что |
|
|
ро, |
то |
|
|
|
1/2 |
|
|
11 |
+ /■сPo’csin |
Ѳ |
|||||
|
|
|
|
|
ISin ѳ |
|
|
|
|
|
Гс V |
|
||||||
|
(г* + Ро — 2рогс |
|
cos <р) |
|
|
|
|
|
|
|
o s |
|
||||||
Тогда после интегрирования выражение для векторного потенциала приобре |
||||||||||||||||||
тает вид |
|
|
|
|
|
:90 Ра^ Ро sm |
|
|
|
|
|
|
(4.50) |
|||||
Напряженность магнитного поля найдем, выполняя операции дифференциро |
||||||||||||||||||
вания в сферической системе координат (см. приложение III): |
|
|||||||||||||||||
|
Н = |
|
1 |
|
|
h l |
|
|
|
|
|
Ѳо sin Ѳ). |
(4-51) |
|||||
|
— rot Аэ = |
-------(го 2 cos Ѳ+ |
|
|||||||||||||||
Сравнение |
(4.51) с |
Pa |
|
|
4r \ |
|
что виток |
ведет себя подобно дипо |
||||||||||
|
(4.15a) |
показывает, |
|
|||||||||||||||
лю, находящемуся в точке О и ориентированному по оси |
Oz. |
Перепишем (4.51) |
||||||||||||||||
|
так, чтобы множитель перед скобками по форме был аналогичен множителю вы
ражения (4.15а): |
Н = --------- — (r02 cos Ѳ+ Ѳ0 sin Ѳ), |
(4.52) |
|||
|
|
|
|
Pit |
|
где |
рм |
|
|
4лр.аг® |
|
|
— абсолютное значение момента диполя: |
|
|||
|
|
|
|
Рм — z oPm• |
|
|
Из сравнения (4.52) и (4.51) находим магнитный момент витка: |
||||
где S b — площадь витка. |
Рм = ^оРа^ИРо ~ ^Ора^в> |
(4.53) |
|||
|
Выражение (4.53) может быть использовано для определения момента витка |
||||
некруглой конфигурации, |
если его размеры значительно меньше |
расстояния до |
точки наблюдения, в которой рассчитывается поле, создаваемое витком. |
|
4* |
99 |
|
§ 4.8. И НДУКТИ ВНОСТЬ. ЭН ЕРГИ Я СТАЦ И О Н АРН О ГО М АГН И ТН ОГО ПОЛЯ
В теории цепей важным параметром является индуктивность. Найдем выражение для этого параметра как результат решения уравнений электромагнитного поля, в частном случае, уравнения Пуассона для векторного потенциала.
Любое стационарное магнитное поле создается системой замк нутых токов, протекающих по замкнутым контурам из проводников. Каждый из этих контуров пронизывается суммарным магнитным потоком Фі (иначе говоря, с каждым контуром сцеплен магнитный поток), состоящим из потока, создаваемого током рассматриваемо го контура (Фц), и потоков, создаваемых токами других контуров
(Фг'/і) ■
'фі = Ф/1- f Ф/2 -(-••• + Ф« + . . . + фіи- |
(4.54) |
Если магнитная проницаемость постоянна, то в силу линейности уравнений поля (4.41), (4.42) магнитные потоки прямо пропорцио нальны токам, их вызывающим:
|
|
|
|
|
|
Фи = |
МцІ[, |
|
Ф/£=44,й/ъ |
(4.55) |
|
где |
М ц = £ і |
|
|
|
|
индуктивность, или коэффициент само |
|||||
|
|
М— собственная |
|
||||||||
индукции; |
|
ік |
— взаимная индуктивность, или коэффициент взаим |
||||||||
ной индукции. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В |
интересующем нас случае двух контуров поток, сцепленный |
|||||||||
с контуром |
1, |
будет равен |
|
|
|
-1-Л412/2. |
(4.56) |
||||
|
1 |
1 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
= Ж / |
|
Для определения взаимной и собственной индуктивностей рас смотрим два контура весьма малого поперечного сечения или, как говорят, две элементарные трубки с током dU и dlk (контуры і и £,
рис. 4.13).
Определим поток, создаваемый током dU, протекающим по кон туру і, и пронизывающий контур k. Воспользовавшись формулой (3.4) и теоремой Стокса (см. приложение III), получим
ДФй/= I* cfB;dSft — J rot A 3;dSft= (j)Ae/dlÄ> |
(4.57) |
где S k — поверхность, ограниченная контуром k длиной L h. После подстановки (4.46) в (4.57) находим
100
Li Lk |
(4.58) |
В случае контуров из линейных проводников, размеры попереч ных сечений которых весьма малы по сравнению с длиной контуров и расстоянием между ними, можно считать, что токи протекают по осям проводников и в формуле (4.58) можно заменить АФ/u и dU
соответственно на Ф^гкіи /,. Тогда коэффициент взаимной индукции |
|||||
М |
Ф |
hi |
|
dlidlfc |
(4.59) |
|
h |
4 я |
г |
|
|
|
|
|
|
Из формулы (4.59) следует, что M ki = M ik, так как результат интегрирования остается прежним при изменении порядка интегри рования.
Если же проводники нельзя считать линейными (рис. 4.14), то необходимо определить потокосцепление со всеми трубками конту
ра |
k |
магнитных потоков, |
создаваемых трубками с током контура |
і. |
|||||||||
Для этого подставим, |
в формулу |
(4.58) |
вместо |
dh |
выражение |
6 |
|
||||||
|
jdSi |
||||||||||||
и проинтегрируемl |
по |
S u |
а также заменим в ней выражение |
|
|
||||||||
С dlft_= _l_ |
С |
dl* |
для линейного тока соответствующим ему вы- |
||||||||||
J r |
|
/* |
J k— |
||||||||||
‘■ к |
|
|
‘-к |
|
|
|
|
|
M S< |
|
|
|
|
ражением для объемного тока |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
_ J _ |
Г g |
dSfedlft |
Ц |
dVb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iк .) |
* Г |
hh j |
|
|
|
|
|
101
![](/html/65386/283/html_YuQwUgG1Zl.sY5L/htmlconvd-gDxPOe106x1.jpg)
Тогда
ф“ = - й , 1 |
8'dS' 5dlf 5 |
5 5 |
• (4-6°) |
,5( |
Ll vk |
vi vk |
|
Отсюда коэффициент взаимной индукции двух объемных конту*
ров с токами |
М ы |
h |
— |
Г С |
bibkdVidVk _ |
(4.61а) |
|
|
|
|
4n///*J > |
г |
|
v і ѵ k
Из (4.61a) следует, что размерность коэффициента взаимной ин дукции не зависит от размерности тока, однако в общем случае его величина зависит от распределения токов по объемам контуров.
Коэффициент самоиндукции одного из контуров (например, і) получим из выражения (4.61а), принимая h = Ih и Vi—Vh-
Sib'-dVidV]
Г
ш { );
(4.616)
где Ьі — плотность тока в элементе dVn 6/ — плотность тока в эле менте dVi (см. рис. 4.14).
Виток из тонкого провода дает возможность упростить выраже ние для %і. Однако формулу (4.616) нельзя привести непосредст венно к виду (4.59), так как при двукратном интегрировании по оси проводника интеграл обращается в бесконечность.
Чтобы получить более простое выражение для Х и разделим маг нитный поток на две части (рис. 4.15, а): Ф = ФВнешн+ФвНутр. При этом Фвнешн определяется линиями магнитной индукции, располо женными целиком во внешней по отношению к проводнику среде, а Фвнутр — линиями магнитной индукции, проходящими внутри тела проводника. Следовательно,
102
2 г |
ф„ |
+ фвну тр |
; ^ в н сш н “ Ь ^ ВНуір* |
Внешнюю индуктивность приближенно определяют как взаим ную индуктивность между контуром L u совпадающим с осью про водника, и контуром Ь2 (рис. 4.15, б), ограничивающим виток с внутренней стороны:
( « U l
£. £»
Величину Фвнутр принимают приближенно равной внутреннему потокосцѳплению в отрезке длиной L\ бесконечно длинного прямо линейного провода круглого сечения. Можно показать, что внутрен няя индуктивность такого провода длиной L\ равна [2, 4]
•
- |
(4.62) |
где ра.п — абсолютная магнитная проницаемость материала провод ника.
Приведем для двух практических случаев расчетные формулы, найденные на основании полученных выражений.
1. Индуктивность тонкого круглого витка (из неферромагнитно го материала), расположенного в воздухе
|
|
£ = 1Ѵ к ( ln - ^ - 1 , 7 5 ) , |
(4.63) |
||||||
где |
гк |
— радиус витка, |
а |
— радиус провода. |
|
||||
2. |
|
двухпро |
|||||||
|
Индуктивность, |
приходящаяся |
на |
единицу длины |
|||||
водной линии (см. рис. 4.7, |
а) |
|
- ^ |
) . |
(4.64) |
||||
|
|
2 i = — L in — + |
|||||||
|
|
|
|
|
я; V |
а |
4 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к рассмотрению энергии стационарного магнитного поля. Энергия в некоторой области V, связанная с магнитным по лем, в соответствии с главой 2 и выражением (3.4) определяется интегралом:
Ц7м= у ^ HBrfl/ = ^ H r o t A 3tfl/. |
(4.65) |
V V
Пользуясь тождеством Н rot Аэ = біѵ[Аэ,Н] + Аэ rot Н, находим
Гм = |
Т |
$ div[A- |
Н]</И + -і-^ А эгоШ<ИЛ |
|
V |
V |
103
С помощью равенства Остроградского — Гаусса первый член
преобразуется в поверхностный интеграл — ф [ А э, H]öfS, который
s
при удалении границы в бесконечность и локализации токов в огра ниченной области Го равен нулю.
Таким образом, учитывая всю энергию в пространстве, прихо
дим к выражению |
3 |
[ |
к М Ѵ . |
(4-66) |
^ и = Y |
$ A r o t = |
|
||
|
Vo |
Vo |
|
|
Интеграл (4.66) выражает магнитную энергию не путем непо средственного учета ее распределения в пространстве, а через ток, связанный с магнитным полем. Интеграл обращается в нуль во всех областях безграничного пространства, не содержащих тока.
Преобразуем выражение (4.66) для случая линейных токов:
V„J AJ6dV = |
L§ ÄSf A 38dSdl = |
L(j) |
7A3dl = |
/(j)L |
A 3dl. |
Согласно теореме Стокса |
|
f BdS = |
Ф. |
|
|
cf Agdl = J rot A 3dS = |
|
||||
L |
s |
|
s |
|
|
Тогда вместо (4.66) получим выражение
/Ф 5512
Для п контуров
і- 1 |
‘ |
/=1 |
Использовав (4.54), (4.55), получим
= т |
У] z ‘1' + і 2 |
1 M J , , i {‘ + k); |
(4.67) |
I ? |
|
|
Первый член в правой части определяет собственную, а второй член —■ взаимную энергию системы.
Для двух контуров с учетом того, что M ih= M ki, находим
Wu= ± { X xl\ + %2ІІ) + М пІ хІ 2. |
(4.68) |
104
Вопросы для самопроверки
1.Почему нельзя использовать скалярный потенциал для определения маг нитного поля в областях с током?
■2. Как можно получить решение уравнения Пуассона для векторного потен циала и формулу Био — Савара?
3.Что называется коэффициентом самоиндукции и как его находят для вит ка из тонкого провода?
4.Что называется коэффициентом взаимной индуктивности и как его рассчи тывают для линейных контуров?
5.Получите выражение, связывающее магнитный поток с векторным потен циалом, а также формулы, определяющие собственную и взаимную энергию маг нитного поля системы линейных токов.
Задача. По прямолинейному цилиндрическому проводнику радиуса а проте кает ток /. Найти энергию магнитного поля, сосредоточенного внутри участка про водника длиной Li, и внутреннюю индуктивность.
Р е ш е н и е . Энергия в элементарном объеме проводника
|
|
|
,\vr |
V-a.n^2 |
|
^ 2 |
|
|
||
|
|
|
dw внутр = |
— |
----- dV, Tf = |
------Р-а.п------ pdpdydz, , , , |
|
|||
где p, ф и z — цилиндрические координаты. |
|
поля внутри |
проводника равна |
|||||||
По |
закону |
полного тока |
напряженность |
|||||||
Н |
|
/р |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
■ 2 . |
Подставляя выражение для Я |
и интегрируя, |
находим |
||||||
|
|
|
а |
2-тг |
L |
ІЧ.дІ2 |
p3dpd<fdz = |
|
|
|
|
|
|
г внутр = ^ |
! |
Р-а.п/2^1 |
|||||
|
|
|
|
|
л |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
16л |
|
||
|
|
|
0 0 0 |
8 2я4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражаем И2внутр через внутреннюю индуктивность:
Wвнутр =
S6внутр/2
2 16л
откуда
.п^І
■ З'внутр —
8 л
' как и принято нами в (4.62)
Г л а в а 5
ОСНОВНЫ Е МЕТОДЫ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫ Е ТЕОРЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫ Е ПРИ РЕШ ЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§5.1. О БЩ И Е С В ЕД ЕН И Я . ЗАД АЧ И , РЕШ АЕМ Ы Е СТРОГИМ И
ИП РИ БЛ И Ж ЕН Н Ы М И М ЕТОДАМ И
Большинство задач электродинамики связано с анализом элек тромагнитных процессов в изотропных линейных средах. На мето дах решения таких задач и будет сосредоточено внимание в настоя щей главе.
Многочисленные задачи электродинамики в соответствии с про странственным изменением электромагнитных параметров в рас сматриваемой области можно разбить на три основные группы:
1. Задачи по определению поля в однородной (безграничной) среде согласно заданному распределению в пространстве источни ков поля (при быстро-переменных электромагнитных процессах обычно их называют задачами на излучение).
2. Задачи по определению поля в неоднородной среде со срав нительно плавным изменением электромагнитных параметров от точки к точке (например, задача по распространению электромаг нитных волн в неоднородно-слоистой атмосфере).
3. Задачи по расчету поля при наличии резких границ раздела сред, т. е. когда рассматриваемая область состоит из участков про странства, заполненных однородными средами с существенно раз ными электромагнитными параметрами. Это имеет место, если в рассматриваемой области содержатся сплошные тела, электромаг нитные параметры которых значительно отличаются от параметров окружающей среды (металлическая сфера в свободном простран стве), или когда область полностью или частично ограничена сре дой с существенно отличающимися электромагнитными параметра ми (полость внутри металлического тела). Возможны и смешанные случаи.
Неоднородность пространства, особенно наличие в нем границ раздела сред с резким изменением электромагнитных параметров (границы воздух — металл, воздух — земля, воздух — вода), суще ственно влияет на распространение, излучение и прием электромаг нитных волн. В одних случаях неоднородность пространства затрудняет распространение электромагнитных волн, в других слу чаях наоборот (например, влияние ионизированного слоя атмосфе ры на распространение радиоволн коротковолнового диапазона, приводящее к увеличению дальности действия радиостанций).
Рассмотрим качественную сторону влияния границы раздела
среда |
на распространение электромагнитных волн. Электромагнит |
||||
ная |
волна, характеризующаяся вектором Пойнтинга Ппад (рис. |
||||
5.1, |
|
), |
падая на плоскую границу раздела сред |
MN, |
частично про |
|
|
|
|
106