3.2. Классификация задач оптимального программирования

Задачи оптимального программирования в наиболее общем виде классифицируют по следующим признакам.

1. По характеру взаимосвязи между переменными:

а) линейные;

б) нелинейные.

В случае "а" все функциональные связи в системе ограничений и функция цели – линейные функции; наличие нелинейности хотя бы в одном из упомянутых элементов приводит к случаю "б".

2. По характеру изменения переменных:

а) непрерывные;

б) дискретные.

В случае "а" значения каждой из управляющих переменных могут заполнять сплошь некоторую область действительных чисел; в случае "б" все или хотя бы одна переменная могут принимать только целочисленные значения.

3. По учету фактора времени:

а) статические;

б) динамические.

В задачах "а" моделирование и принятие решений осуществляются в предположении о независимости от времени элементов модели в течение периода времени, на который принимается планово-управленческое решение. В случае "б" такое предположение не может быть принято достаточно аргументированно, и необходимо учитывать фактор времени.

4. По наличию информации о переменных:

а) задачи в условиях полной определенности (детерминированные);

б) задачи в условиях неполной информации (стохастические);

в) задачи в условиях неопределенности.

В задачах "б" отдельные элементы являются вероятностными величинами, однако известны или дополнительными статистическими исследованиями могут быть установлены их законы распределения. В случае "в" можно сделать предположение о возможных исходах случайных элементов, но нет возможности сделать вывод о вероятностях исходов.

5. По числу критериев оценки альтернатив:

а) простые, однокритериальные;

б) сложные, многокритериальные.

В задачах "а" экономически приемлемо использование одного критерия оптимальности или удается специальными процедурами (например, «взвешиванием приоритетов») свести многокритериальный поиск к однокритериальному; примеры многокритериальных задач рассмотрены в литературе [17].

3.3. Задачи линейного программирования

В задаче линейного программирования (ЗЛП) требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции f(X^*):

max(min) f(X*)=c1x1+c2x2+…+cnxn,	(3.9)
…….	(3.10)
,	(3.11)

где – заданные постоянные величины.

Так записывается общая задача линейного программирования в развернутой форме; знак {} означает, что в конкретной ЗЛП возможно ограничение типа равенства или неравенства (в ту или иную сторону).

Систему ограничений (3.10) называют функциональными ограничениями ЗЛП, а ограничения (3.11) – прямыми.

Вектор X^* = (x₁, х₂, ..., х_п), удовлетворяющий системе ограничений (3.10), (3.11), называется допустимым решением или планом ЗЛП, т.е. ограничения (3.10), (3.11) определяют область допустимых решений, или планов, задачи линейного программирования (область определения ЗЛП).

План (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции (3.9), называется оптимальным планом (оптимальным решением) ЗЛП.

Канонической формой записи задачи линейного программирования (КЗЛП) называют задачу такого вида (запись с использованием знаков суммирования).

Найти

	(3.12)
при ограничениях	(3.13)
.	(3.14)

Матричная форма записи КЗЛП:

,

(3.15)

Здесь C={c₁,c₂,…,c_n} – вектор-строка;

A={a_ij } – матрица размера m×n, столбцами которой являются вектор-столбцы А_j.

–вектор-столбец, – вектор-столбец.

Иногда используется стандартная форма записи ЗЛП:

(3.16)

При этом запись X≥0 понимают как вектор, у которого все компоненты неотрицательные.

Задача линейного программирования является достаточно распространенной задачей при принятии оптимальных решений, особенно в экономике (например, распределение ресурсов). Рассмотрим несколько примеров постановок задач линейного программирования.

1. Планирование товарооборота предприятия, выпускающего товары нескольких групп А_j(j=1,n).

Необходимо построить оптимальный план товарооборота по критерию максимума дохода f (или минимума издержек) при известных нормах расходов каждого вида ресурсов на реализацию j-й группы товаров – a_ij и ограничении на ресурсы (b₁ – рабочее время, b₂ – площадь залов, b₃ – издержки обращения). Так как известно, что доходы линейно связаны с объемом продаж товаров x_j, то целевую функцию (ЦФ) можно записать следующим образом:

f(X*)=c1x1+c2x2+…+cnxn,→ max.

(3.17)

Объем продаж не будет отрицательным, поэтому имеем

.

(3.18)

Учитывая нормы расходов затрат ресурсов и их объемы, запишем ограничения

…… .

(3.19)

2. Производственная задача.

Предприятие изготовляет n видов продукции, расходуя на это различные виды сырья (m). Запасы сырья ограничены. Доход, получаемый от реализации каждого вида продукции, D_j (j=1,n), различен. Необходимо составить такой план выпуска продукции, при котором доход от предприятия был бы максимальным. Запасы сырья составляют b_i (i=1,m). Нормативный расход сырья на реализацию j-й группы продукции – a_ij.

Целевая функция имеет вид	(3.20)
при ограничениях .	(3.21)

3. Перевозка грузов.

Необходимо решать задачи оптимального планирования перевозок грузов при коммерческой деятельности из пунктов отправления (баз, станций, фабрик, предприятий) в пункты назначения (магазины, склады) методами, позволяющими оптимизировать план по какому-либо экономическому показателю, например по финансовым затратам или времени перевозки грузов. Это транспортная задача.

Имеется m пунктов отправления (поставщиков) грузов: А₁, А₂, …, А_m , на которых сосредоточены запасы какого-либо однородного груза в объемах соответственно а₁, а₂, …, а_m, где а_i определяет максимально возможные размеры поставки груза из пунктов назначения.

Имеется n пунктов назначения: В₁, В₂, …, В_n, которые подали заявки на грузы в объемах соответственно b₁, b₂, …, b_m. Стоимость перевозки от поставщика А_i к потребителю B_j обозначим с_ij (транспортный тариф). Необходимо составить оптимальный план, т.е. найти такие значения объема перевозок грузов от поставщиковА_i к потребителю B_j, чтобы вывести все грузы от поставщиков; удовлетворить заявки каждого потребителя; обеспечить минимальные транспортные расходы на перевозку груза.

Модель задачи имеет вид

,
	(3.22)

Задачу линейного программирования можно решить графическим и аналитическим методом. Графические методы наглядны, но они применяются для задач с небольшим числом переменных (n=2). Аналитические методы – это последовательность вычислений по некоторым правилам (например, симплекс-метод). Их недостаток – сложность и не наглядность интерпретации, но они реализуются на компьютере. Главный успех в решении задач – это правильная постановка задачи, которая дает замкнутую область допустимых решений.

Неправильные математические модели таковы.

Пусть имеем целевую функцию f=x₁+x₂→ max.

Если заданы ограничения:

1) x1+x2≤1, x1≥2 и x2≤0, то решения нет (рис.3.1);

2) x1+x2≥1 (ЦФ не ограничена сверху), x1≥0 и x2≥0, то решения нет (рис.3.2).

Рис.3.1. График для функции x₁+x₂≤1 при ограниченияхx₁≥2 и x₂≤0

Рис.3.2. График для функции x₁+x₂≥1 при ограничениях x₁≥0 и x₂≥0

То есть при поиске максимума f→ max должны быть ограничения сверху (f ≤ b_i), при поиске минимума f→ min должны быть ограничения снизу (f ≥ b_i).

Правильная математическая модель следующая.

Целевая функция f=x₁+x₂→ max.

Ограничения x₁+x₂≤1,

x₁≥0 и x₂≥0 (рис.3.3).

Рис.3.3. График для функции x₁+x₂≤1 при ограниченияхx₁≥0 и x₂≥0

Аналитический метод решения задачи линейного программирования включает следующие этапы:

1. поиск вершин области допустимых ограничений (ОДР), как точки пересечения ограничений;

2. определение значений целевой функции (ЦФ) f в этих вершинах;

3. выбор вершины, в которой ЦФ приобретает оптимальное значение. Это оптимальная вершина, а координаты этой вершины являются оптимальными значениями переменных;

4. анализ оптимального решения.

Эти этапы справедливы для двухмерной, трехмерной и более сложной задач. Областью ОДР является многогранник. Координаты каждой вершины – это допустимые решения. Координаты той вершины, в которой целевая функция имеет максимальное (или минимальное) значение, являются оптимальным решением задачи. Идея аналитического метода решения задачи ЛП заключается в последовательном (итерационном) переборе вершин, в одной из которых находится оптимальное решение. Разработан специальный алгоритм направленного перебора вершин, который обеспечивает переход от одной вершины к другой в таком направлении, при котором значение ЦФ от вершины к вершине увеличивается (уменьшается).

Один из аналитических методов решения задачи ЛП является симплекс-методом, который реализован в Microsoft Office Excel. В результате поиска решений находят модель

f(X^*)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n→ max(min).

Ее можно проанализировать: если f→ max, то переменная х_i, имеющая положительные коэффициенты с_i, при ее увеличении на Δх_i будет увеличивать ЦФ. Если f→ min, то переменная х_i, имеющая отрицательные коэффициенты с_i, при ее увеличении на Δх_i будет уменьшать ЦФ.