2.6. Применение экспертных методов при выборе оптимального решения

Рассмотрим один из случаев использования экспертных методов [15-16]. Экспертам предлагается несколько вариантов решений той или иной проблемы, каждый из вариантов оценивается по n критериям. Требуется выбрать один из предложенных вариантов. Решение производится в два последовательных этапа.

Первый этап. Группа экспертов сравнивает между собой попарно критерии К_i(), по которым производится выбор решения, по шкале относительной важности, приведенной в табл.2.1.

Таблица 2.1. Шкала относительной важности

Интенсивность важности	Качественная оценка	Объяснение
0	Несравнимые	Нет смысла сравнивать элементы
1	Одинаково значимые	Элементы равны по значимости
3	Слабое превосходство одного над другим	Существуют показания о предпочтении одного элемента над другим
5	Заметное превосходство	Существуют некоторые доказательства того, что один из элементов более важен
7	Очевидное превосходство	Существуют убедительные доказательства того, что один элемент имеет большую значимость, чем другой
9	Важность несравнима	Убедительное превосходство по важности одного элемента над другим
2, 4, 6, 8	Промежуточные оценки между соседними оценками	Применяются в компромиссных случаях

Затем на основании проведенных сравнений составляется матрица попарных сравнений W.

		К1	К2	…	Кn
	К1	a11	a12	…	a1n
W=	К2	a21	a22	…	a2n
	…	…	…	…	…
	Кn	an1	an2	…	ann

Полученная матрица является квадратичной, ее размер n  n; a_ij = 1/a_ji, где n – число элементов в нечетком множестве, а a_ij – значение данной матрицы. Матрица W имеет собственный вектор  и собственное значение , которые вычисляются следующим образом:

1) собственный вектор матрицы :

 = (₁, ₂, . . ., _j, . . ., _n)^T,

где _j = 1/R_j ,

–сумма каждого столбца матрицы;

2) собственное значение матрицы :

.

Насколько точно определен собственный вектор , можно проверить по усредненному значению :

.

Тогда точность решения будет

.

Более определенно можно оценить точности, введя индекс согласованности (ИС):

.

(2.3)

Полученные данные нужно сравнивать со значениями случайной согласованности (СС), которые приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2.Значения случайной согласованности

Размер матрицы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Значение случайной согласованности	0	0	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

Оценка согласованности (ОС) определяется таким образом:

.

(2.4)

Величина ОС вычисляется в процентах и должна быть в диапазоне 10 – 20 %, т. е. если ОС < 20 %, то это означает, что суждения экспертов не противоречивы. Тогда на основании рассчитанных выше данных проставляются значения весов критериям в следующем порядке: тому критерию, у которого значение собственного вектора матрицы  наибольшее, присваивается вес, равный 1, остальным критериям присваивается вес, равный .

Второй этап. После того как определен вес каждого критерия, переходят к процедуре выбора оптимального варианта. При отборе вариантов эксперты по критериям проставляют оценки. На основании проставленных оценок формируется матрица вариантов. Процедура поиска предпочтительного объекта осуществляется методом «смещенного идеала».

На основании данных матрицы вариантов формируется «идеальный объект» по указанным критериям со значениями, равными максимальным значениям показателей, полезность по которым возрастает, и минимальным, полезность по которым убывает. В результате получаем «идеальный объект» Y⁺ (или «наилучший объект»), вектор значений которого составлен следующим образом:

Y⁺  {K⁺₁, K⁺₂, . . ., K⁺_n}.

Далее формируем модель «наихудшего объекта»:

Y^–  {K^–₁, K^–₂, . . ., K^–_n}.

Если критерии разнородные, то для сопоставления значений критериев необходимо перейти к нормированным единицам, преобразовав их значения по формуле

(2.5)

где К_j – текущее значение критерия сравниваемого объекта.

Значения критерия в относительных единицах d_j интерпретируются как расстояние j-го объекта по критерию K_j от «идеального объекта». «Идеальный объект» имеет расстояние d_j = 0, а «наихудший» – d_j = 1.

Для выявления «наилучших объектов» находят свертки (расстояния до «идеального объекта»), используя следующую обобщенную метрику:

(2.6)

где Р – степень концентрации, позволяющая переходить к различным метрикам. При P=2 обобщенная метрика L^P соответствует критерию евклидова расстояния. Чем больше значение L, тем ближе объект Y_i к «идеальному объекту» Y⁺.

Пример 2.1. С использованием экспертных методов подобрать на должность N одного из списка предложенных кандидатов. Пусть необходимо отобрать руководителя некоторого подразделения. Отбор кандидатов на должность осуществляется по следующим критериям:

К₁ – уровень профессиональной подготовки (обладает ли кандидат достаточными профессиональными знаниями и навыками, специфичными для данной должности);

K₂ – умение ориентироваться в сложной ситуации;

К₃ – умение работать с людьми (умеет ли кандидат четко и доходчиво разъяснить задание, своевременно проконтролировать его выполнение, ориентируется ли в деловых возможностях подчиненных или коллег);

К₄ – способность к деловому общению (умеет ли кандидат выслушать и понять собеседника, достичь взаимопонимания и убедительно высказать свои мысли в беседе);

К₅ – умение организовать эффективную работу отдела (насколько хорошо кандидат умеет ставить цели работы, распределять задания, планировать деятельность отдела);

К₆ – мера ответственности (всегда ли выполняет взятые на себя обязательства);

К₇ – умение доводить дело до конца;

К₈ –стаж работы по данной или близкой к ней специальности.

Первые семь критериев К₁ – К₇ являются оценками экспертов и измеряются по пятибалльной шкале, а критерий К₈ – берется из трудовой книжки.

1. Сравнивая между собой попарно критерии К_i, на основании которых принимается решение, по шкале относительной важности (см.табл.2.1), получим матрицу попарных сравнений (табл.2.3).

Таблица 2.3. Матрица попарных сравнений критериев

Критерии	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8
К1	1	1	3	5	1	5	3	1
К2	1	1	3	5	0,333	3	3	1
К3	0,333	0,333	1	5	1	3	3	3
К4	0,2	0,2	0,2	1	0,2	0,333	0,333	0,5
К5	1	3	1	5	1	3	2	1
К6	0,2	0,333	0,3333	3	0,333	1	0,5	0,333
К7	0,333	0,333	0,3333	3	0,5	2	1	3
К8	1	1	0,3333	2	1	3	0,333	1

2) Проведем расчет весовых коэффициентов для критериев:

	0,197			1,587			8,042		max	9,08958		1
	0,139			1,365			9,825			14%		0,704
	0,109			1,232			11,33					0,551
	0,034		W	0,249			7,21		ИС =	0,15565	Вес =	0,175
	0,186			1,473			7,906		СС =	1,41		0,944
	0,049			0,405			8,245		ОС =	11%		0,249
	0,076			0,796			10,48					0,385
	0,092			0,893			9,674					0,468

3) Введем экспертные оценки в таблицу (табл. 2.4).

Таблица 2.4. Экспертные оценки

Nп/п	Кандидаты	Критерии
		К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8
1	Иванов И. И	5	4	5	5	5	5	4	10
2	Петров А. А.	4	5	5	4	3	5	5	3
3	Сидоров К. К.	3	5	5	4	5	5	5	4
4	Соколов П. К.	3	4	4	3	4	4	4	5
5	Смирнов Е. В.	4	3	4	5	4	5	3	8
6	Козлов Н. К.	2	3	4	3	3	4	2	2

4) По этой таблице сформируем «идеальный» и «наихудший объекты»:

Y+ =	5	5	5	5	5	5	5	10
Y- =	2	3	4	3	3	4	2	2

5) Рассчитаем значения критериев в относительных единицах d_j (табл. 2.5).

Таблица 2.5. Приведенные оценки

Nп/п	Кандидаты	Критерии
		К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8
1	Иванов И. И.	0	0,5	0	0	0	0	0,3333	0
2	Петров А. А.	0,333	0	0	0,5	1	0	0	0,875
3	Сидоров К. К.	0,667	0	0	0,5	0	0	0	0,75
4	Соколов П. К.	0,667	0,5	1	1	0,5	1	0,333	0,625
5	Смирнов Е. В.	0,333	1	1	0	0,5	0	0,667	0,25
6	Козлов Н. К.	1	1	1	1	1	1	1	1

6) Для определения наилучшего кандидата вычислим метрику L^P при P=2 для каждого кандидата (табл.2.6).

Таблица 2.6. Значение метрики для каждого кандидата

L(Y1)	L(Y2)	L(Y3)	L(Y4)	L(Y5)	L(Y6)
1,642	1,21	1,426	0,745	0,948	0

7) Из полученных значений выберем наибольшее значение

.

Следовательно, оптимальным решением считается выбор первого кандидата.