4.4. Десезонализация данных при расчете тренда

Второй этап состоит в десезонализации исходных данных. Она заключается в вычитании соответствующих значений сезонной компоненты из фактических значений за каждый квартал, т.е. Y – V = U + E, что показано в табл.4.7.

Таблица 4.7 . Расчет десезонализированных данных

Дата	Номер квартала	Объем продаж тыс.шт., Y	Сезонная Компонента V	Десезонализированный объем продаж, тыс.шт. Y – V = U + E
Январь-март 1998	1	239	(+42,6)	196,4
Апрель-июнь	2	201	(-20,7)	221,7
Июль-сентябрь	3	182	(-62,0)	244,0
Октябрь-декабрь	4	297	(+40,1)	256,9
Январь-март 1999	5	324	(+42,6)	281,4
Апрель-июнь	6	278	(-20,7)	298,7
Июль-сентябрь	7	257	(-62,0)	319,0
Октябрь-декабрь	8	384	(+40,1)	343,9
Январь-март 2000	9	401	(+42,6)	358,6
Апрель-июнь	10	360	(-20,7)	380,7
Июль-сентябрь	11	335	(-62,0)	397,1
Октябрь-декабрь	12	462	(+40,1)	421,9
Январь-март 2001	13	481	(+42,6)	438,4

Новые оценки значений тренда, которые еще содержат ошибку, можно использовать для построения модели основного тренда. Если нанести эти значения на исходную диаграмму, можно сделать вывод о существовании явного линейного тренда (рис.4.2).

Рис. 4.2. Фактические и десезонализированные квартальные объемы продаж компании

4.5. Трендовые модели на основе кривых роста

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики – на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.

Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют следующий вид:

(полином первой степени),

(полином второй степени),

(полином третьей степени) и т.д.

Параметр а₁ называют линейным приростом, параметр а₂  ускорением роста, параметр а₃  изменением ускорения роста.

В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента представляется в виде функции

(4.10)

гдеа и b – положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы – функция убывает (рис.4.3).

b > 1 b < 1

Рис.4.3. График трендовой модели простой экспоненты

Модифицированная экспонента имеет вид

(4.11)

где a,b,k – постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k (рис.4.4).

Вэкономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно,gjnjv ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логическую кривую.

Рис. 4.4. График трендовой модели

модифицированной экспоненты

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

(4.12)

где а, b – положительные параметры, причем b меньше единицы; параметр k – асимптота функции.

Вкривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом– прирост функции незначителен, на втором – прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом – происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции – линейная функция времени.

Рассмотрим проблему пред-

варительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется времен-

Рис.4.5. График трендовой модели кривой Гомперца

ной ряд y₁, y₂, y₃ ,…, y_n.

Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространенным методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренда и случайной компоненты, и, во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

На первом этапе этого метода вычисляются разности (приросты) до k-гo порядка включительно.

Универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания m = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле

причем, чтобы не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по

формулам

.

Затем вычисляются первые средние приросты

вторые средние приросты

а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда,

,,,

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 4.8.

Таблица 4.8. Характеристика изменения показателей для различных кривых роста

Показатель	Характер изменения показателя во времени	Вид кривой роста
Первый средний прирост	Примерно одинаковы	Полином первого порядка (прямая)
Первый средний прирост	Изменяются линейно	Полином второго порядка (парабола)
Второй средний прирост	Изменяются линейно	Полином третьего порядка (кубическая парабола)
	Примерно одинаковы	Простая экспонента
	Изменяются линейно	Модифицированная экспонента
	Изменяются линейно	Кривая Гомперца
	Изменяются линейно	Логическая кривая

Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выравненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.

Для полинома первой степени

система нормальных уравнений имеет вид

(4.13)

где знак суммирования распространяется на все моменты наблюдения (все уровни) исходного временного ряда. Аналогичная система для полинома второй степени

имеет вид

(4.14)

Параметры экспоненциальных и S-образных кривых на­ходят более сложными методами. Для простой экспоненты

предварительно логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или натуральному):

т.е. для логарифма функции получают линейное выражение, а затем для неизвестных параметров log a и log b на основе метода наименьших квадратов составляют систему нормальных уравнений, аналогичную системе для полинома первой степени. Решая эту систему, находят логарифмы параметров, а затем и сами параметры модели.

Пример 4.5. Построить линейную модель временного ряда.

Уравнение линии тренда будет иметь вид

Y= a₀ + a₁ x,

где х – номер квартала,

a₀ и a₁ характеризуют точку пересечения с осью ординат и наклон линии тренда.

Для определения параметров прямой, наилучшим образом аппроксимирующей тренд, можно использовать метод наименьших квадратов. Таким образом, уравнения для расчета параметров a₀ и a₁ будут иметь вид

(4.15)

Отсуда получаем:

(4.16)

где х – порядковый номер квартала, y – значение (U + Е) в табл. 4.7. Подставляя данные из таблицы, подсчитаем

х= 91; х² = 819; у = 4158,7; ху = 32747,1; n = 13.

Подставив найденные значения в соответствующие формулы, получим

a₁ = 19,98; a₀ = 180,04.

Следовательно, уравнение модели тренда имеет следующий вид:

Трендовое значение объема продаж, тыс.шт.

= 180,0 + 20,0 ×

номер квартала

График полученной модели тренда представлен на рис.4.6.

Рис. 4.6. График и уравнение модели