2.2. Теоретико-множественные операции над нечеткими множествами

Пусть А и В - два нечетких множества, заданных на универсальном множестве Х с функциями принадлежности _А (x) и _B(x), а S_A , S_B  X.

О б ъ е д и н е н и е м нечетких множеств А и В называется D=AB={<_D(х)/x>}, где в соответствии с вероятностной интерпретацией

(х  S_A  S_B) _D(х) = Р (х  А  х  В).

В предположении о независимости и совместности событий х А и х В

D(х) = Р(х А) +Р( х В) — Р(х А & х В) = Р(х А) + + Р(х В) — Р(х А)Р(х В)= А (x)+ B(x) — А(x) B(x).

(2.5)

Используя меру неопределенности (1.3), получим:

(х  S_A  S_B) _D(х)  max(_А (x) _B(x)) .

В предельном случае, т.е. при использовании меры возможности (1.5)

D(х) = max (А (x), B(x)).

(2.6)

(x) (x)

_D(x) _А(x)

_А(x) _D(x)

_B(x) _B(x)

X X

a) б)

Рис.2.5. Функции принадлежности D = A B

в вероятностной (а) и возможностной (б) интерпретации

П е р е с е ч е н и е м нечетких множеств А и В называется множество Е = А  В = {<_Е(х)/x>}, где в соответствии с вероятностной интерпретацией (х  S_A  S_B) _Е(х ) = Р (х  Е ) = Р(х А & х В).

В предположении о независимости процессов отнесения х к множеству А и В получим

Е (x) = Р(х А)Р( х В) = А(x) B(x).

(2.7)

Используя меру неопределенности (1.4), будем иметь

(х  S_A  S_B) _Е (x)  min{_А(x), _В(x)}.

Тогда, принимая меру необходимости (1.9), получим равенство

Е (x) = min{А(x), В(x)}.

(2.8)

(x) (x)

_В(x) _А(x) _В(x) _А(x)

_Е(x)

_Е(x) Х Х

а) б)

Рис.2.6. Функции принадлежности Е = А  В

в вероятностной (а) и необходимостной (б) интерпретациях

Как видно из графиков, различные интерпретации дают различный результат в определении _А(х) и _А(x). В общем виде эти интерпретации записываются следующим образом:

вероятностная -

,	(2.9)
,	(2.10)

возможностно-необходимостная (минимаксная) -

,	(2.11)
.	(2.12)

Выражения (2.9) и (2.10) справедливы при достаточно ограниченных условиях, в связи, с чем их использование в различных задачах затруднительно. Минимаксные операции (2.11) и (2.12) наиболее широко используются в теории нечетких множеств и ее приложениях, так как не требуют дополнительной информации, однако при этом результат получается менее четкий. В последующих операциях будут даны интерпретации, наиболее часто используемые в практических задачах. В этом отношении однозначно определяется еще одна из основных операций - дополнение.

Д о п о л н е н и е м нечеткого множества А называется множество

А={</x>}, где

(х  SA) = 1- А(x).

(2.13)

(х)

1

_А(x)

x

Рис.2.7. Функция принадлежности

Р а з н о с т ь ю нечетких множеств А и В называется множество

F = A \ B={< _F(x)/x>}, где

F(x) = A(x) - B(x) = max[0, A(x) - B(x)]

(2.14)

или в иной интерпретации

F(x) = min{A(x),(1-B (x)}=min{A(x), (x)}.

(2.15)

(x) _A(x) _B(x) (x) _A(x) _B(x)

_F(x) x _F(x) x

a) б)

Рис.2.8. Функции принадлежности F=A \ B:

a) - (2.14); б) - (2.15)

С т е п е н ь ю  нечеткого множества А называется нечеткое множество , гдеx  X,  > 0 . Отсюда вытекают две важные операции над нечеткими множествами:

0. 1) операция концентрации, CON:

,

(2.16)

2) операция растяжения, DIL:

,

(2.17)

иллюстрированные на рис.2.9.

(x) 1

DIL(A)

_A(x)

CON(A)

Рис.2.9. Функция принадлежности _A(x)

с концентрацией (CON(A)) и растяжением (DIL(A))

В заключение данного раздела рассмотрим вариант представления включения нечетких множеств. Для двух нечетких множеств (подмножеств) А и В, A  B, т.е. А включает в себя В, если

x  X, A(x) B(x).

(2.18)

Когда _B(x) =_A(x), т.е. когда A  B и B  A, то А = В, а А и В - равные нечеткие множества. Когда имеется строгое неравенство _B(x) _A(x), то B A - строгое включение В в А.