Глава 2. Основы теории нечетких множеств

В реальных ситуациях принятия решений цели, свойства, ограничения, критерии выбора зачастую бывают, субъективны и неопределенны. При построении информационных моделей систем принятия решений необходимо учитывать нечеткость, размытость используемой информации, а также осуществлять анализ этой информации на базе нечеткой логики, нечетких алгоритмов, нечетких отношений. Для того, чтобы использовать компьютерные средства для активизации информационной деятельности, сталкивающейся с такими условиями, необходима формализация этих ситуаций. Способ формализации посредством теории нечетких множеств позволяет описывать поведение систем настолько сложных и плохо определенных (нечетких), что они не поддаются точному математическому анализу. В некоторых весьма распространенных случаях такое описание является единственно возможным. Не случайно с самого начала основная прагматическая цель одного из основоположников этой теории Л. Заде заключалась в создании аппарата, способного моделировать человеческие рассуждения и объяснять человеческие приемы принятия решений в ходе информационного анализа. Основная идея Л. Заде состояла в том, что человеческий способ рассуждений, опирающийся на естественный язык, не может быть описан в рамках традиционных математических формализмов. Этим формализмам присуща строгая однозначность интерпретации, а все, что связано с использованием естественного языка, имеет многозначную интерпретацию. Последовательно проводя идею нечеткости, по мнению Л. Заде, можно построить нечеткие аналоги всех основных математических понятий.

2.1. Понятие нечеткого множества

Представим произвольное непустое (универсальное) множество X = {x}.Если все элементы этого множества разложить по признакам, то получим ряд подмножествX_i, состоящих из этих элементов и характеризующихся соответствующимi-м признаком:X₁, X₂,...,X_i,.... При этом,^{т.е. каждый элемент x}_jвходит только в одно подмножество. Например, если всех людей (множествоX) разделить по половому признаку, то получим два подмножества:X_м иX_ж. Естественно,X_мX_ж=,аX_м  X_ж = X, гдеX_м  X_м, X_ж  X_ж. Теперь представим подмножества, характеризуемые возрастным признаком, например, “дети”, “подростки”, “взрослые” или, более того, “молодые” и “старые”. Подразделение людей по указанным признакам вряд ли удастся осуществить однозначно, т.е. четко. Более того, если решение этой задачи поручить различным специалистам, то вероятнее всего многие элементы множестваXмогут оказаться в различных подмножествах, т.е. принадлежность некоторыхXне окажется однозначной, а границы между подмножествами множестваXокажутся расплывчатыми, нечеткими. Такие подмножества называют нечеткими множествами.

Нечеткое множество (подмножество А в X) определяется совокупностью упорядоченных пар, составленных из элементов x множества X и соответственных степеней принадлежности _А(x_i). Степень принадлежности _А (x_i) принимает значения из замкнутого интервала [0;1]. Принадлежность нечеткому множеству А может быть описана функцией _А: X [0;1], имеющей различный характер (рис.2.1).

Рис.2.1. Виды функций принадлежности:

a) аммодальные; б) унимодальные; в) полимодальные

Функцией принадлежности _А(х)называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элементахуниверсального множестваХк нечеткому множествуА.

Нечеткие множества обозначаются различным образом, например:

А = {< x, А(x) >}

или

. . . A = x1	x2	x3
А(x1)	А(x2)	А(x3)

Однако наиболее распространенными являются следующие формы записи:

- для конечного Х

А = {< _А(x) / x >},

- для Х, имеющего мощность континуума

А = А(x) / x.

Множество Хназываетсяобластью определенияфункции принадлежности_А(x), или базовым множеством. В случае, когда базовое множество упорядочено (не слабее шкалы строгого порядка),Хназываютбазовой шкалой.

Носителем нечеткого множества Аявляется подмножество

S_A ={x | xX_А(x) >0}.

Элементы, для которых _А(x) = 0, не относятся к носителям нечеткого множестваА.

Если sup_А(x) = 1, то нечеткое множество называетсянормальным. Приsup_А(x) < 1илиsup_А(x) > 1 - нечеткое множество называетсясубнормальным.Нормализация субнормального множества осуществляется по формуле:

.

В последующем будем иметь дело с нормальными нечеткими множествами.

Пример 2.1. Базовая шкала Хсоответствует ряду значений температуры в летний период года, расположенных в интервале от 0 до 30°С с дискретным шагом 5°. Нечеткое множествоА, соответствующее нечеткому понятию “теплая погода”, может быть представлено в виде

А= {<0/0>,<5/0>,<10/0,1>;<15/0,5>,<20/0,9>,<25/1,0>,<30/0,7>}.

Графически данное нечеткое множество можно представить в виде отдельных точек на плоскости (рис.2.2), абсциссы которых соответствуют значениям х Х, а значение ординат - функции_А(x). Носителем нечеткого множестваАявляется конечное подмножество

S_A = {10, 15, 20, 25, 30}.

Пример 2.2. На универсальном множестве Х, включающем вседействительные числа, определим нечеткое множество А, соответствующее понятию “средний рост человека”. Графически это нечеткое множество можно представить кривой (рис.2.3), определяющей функцию принадлежности _А(x). Эту функцию можно также задать или определить аналитически в виде формулы, отражающей характер изменения _А в зависимости от х.

Пример 2.3. На множестве людей Х необходимо определить нечеткое множествоА, соответствующее понятию “красивый человек”. Здесь очевидны два характерных момента: во-первых, функция принадлежности, а точнее, степень принадлежности каждогохбудет иметь явно выраженный субъективный характер, во-вторых, как ни кстати подходит поговорка: “Все познается в сравнении”, т.е. принадлежность кАдля отдельныхх(и то с трудом!) можно определить лишь в сравнении, поскольку базовое множествоХне имеет количественной шкалы, т.е. не является базовой шкалой.

Рис.2.2. Функция принадлежности нечеткого множества с дискретным носителем		Рис.2.3. Функция принадлежности нечеткого множества с непрерывным носителем

В теории нечетких множеств существует понятие множество уровня или - срез нечеткого множества, через которое определяется связь с обычными теоретико-множественными представлениями.

Множеством уровня  ( - срезом) нечеткого множества А называется четкое подмножество универсального множества Х, определяемое из условия

Х={x  X | А(x) },

(2.1)

где выбирается из интервала значений функции принадлежности [0,1].

Пример 2.4. В примере 2.1 возьмем  = 0,7. Тогда в множество данного уровня среза войдут (четко, однозначно) те элементых, для которых_А(x)  0,7, а именноS_ ={20, 25, 30}.

Множество  - срезов образует семейство С(х) = {Х_ /  (0,1]}, представляющее монотонную последовательность, удовлетворяющую условию

0 < 1  2  ...  i  ...  m  1  X0  X1  X2  ...  Xi  ... Xm  X=1 .

(2.2)

Эта последовательность иллюстрирована на рис.2.4, из которого видно, что семейство С(х)образует гистограмму. Приm  эта гистограмма превращается в функцию принадлежности_А(x). Таким образом, условие (2.2) позволяет представить нечеткое множествоАс помощью четких подмножествX_следующим образом:

х, А(x) = sup { | x X}.

(2.3)

_А

_А(x)

Рис.2.4. Изображение  - срезов на плоскости _А(x)

В некоторых случаях нечеткое множество Ацелесообразно представлять совокупностьюстрогих - срезов (множество строгого уровня):

.

(2.4)

Среди семейства C(х),описывающего нечеткое множествоА, часто употребляются два множества:

1)множество уровня  = 1 (X=1), называемое ядром нечеткого множества А и обозначенное ; ядром нечеткого множества А называется четкое подмножество универсального множества Х, элементы которого имеют степени принадлежности равные единице: . Ядро субнормального нечеткого множества пустое.

2) множество строгого уровня  = 0 (X=0), называемое носителем нечеткого множестваА:Х_=0 = S_A ={ x X | _А(x) >0}, представленное выше.