
- •Оглавление
- •Глава 1. Нечеткость как вид неопределенности
- •1.2. Меры неопределенности суждений
- •Глава 2. Основы теории нечетких множеств
- •2.1. Понятие нечеткого множества
- •2.2. Теоретико-множественные операции над нечеткими множествами
- •2.3. Нечеткие отношения и отображения на нечетких множествах
- •2.4. Меры сходства и различия нечетких категорий
- •Алгоритм решения задачи нечеткой кластеризации методом нечетких -средних. Основные идеи алгоритма для решения сформулированной задачи нечеткой кластеризации были предложены д. К. Данном.
- •2.5. Четкость и нечеткость
- •2.6. Нечеткая и лингвистическая переменные
- •Глава 3. Методы построения функции принадлежности
- •3.1. Содержание функции принадлежности
- •3.2. Построение функции принадлежности нечеткого множества и оценка его вероятностных характеристик
- •3.3. Прямые методы построения функции принадлежности
- •3.4. Косвенные методы построения функции принадлежности
- •3.5. Метод построения функции принадлежности лингвистических термов с использованием статистических данных
- •3.7. Представление нечеткой и лингвистической переменных в эвм
- •Контрольные вопросы
- •4. Основы нечеткой логики
- •4.1. Многозначная логика
- •4.2. Нечеткозначная логика
- •Получим
- •4.3. Системы нечеткого вывода
- •Формирование базы правил систем нечеткого вывода.
- •Фаззификация
- •Агрегирование
- •Активизация
- •Аккумуляция
- •Дефаззификация
- •Заключение
- •Библиографический список
- •“Основы теории нечеткости” учебное пособие
- •153003 Иваново, Рабфаковская, 34
Получим
С
=
X1
Y2
=
{<1/(30,10)>,
<0,8/(30,15)>, <0,4/(30,20)>, <0,3/(30,25)>,
<1/(50,10)>,<0,8/(50,15)>,<0,7/(50,20)>,<0,7/(50,25)>,<1/(60,10)>,
<1/60/15>, 1/(60,20)>, <1/(60,25)>}.
На основании полученного результата можно определить наиболее трудоспособные и наиболее нетрудоспособные бригады, состоящие из двух человек.
Правило преобразования импликативной формы имеет вид:
-
<ЕСЛИ X есть X ТО Y есть Y ><(X, Y) есть
X
Y.
(4.38)
Здесь знак означает пороговую сумму, определяемую по выражению
-
(xX, yY)[(x,y) = 1&(1-
X (x,y)+
Y (x,y))],
(4.39)
где
X
и
Y
- функции принадлежности, определяющие
нечеткие множества
X
Y
.
Пример 4.7. Представим высказывание: “Чем больше масса груза, тем на меньшее расстояние можно его перенести” в виде (4.38)
<ЕСЛИ (масса груза) есть (большой) ТО (расстояние есть (маленькое)>, где X, - масса груза, Y - расстояние, X - большой, Y - маленькое. Если взять все числовые данные из примера 4.5 для X и Y, СX и СY, то на основании выражения (4.39) получим функцию принадлежности (x,y) на мнoжестве X и Y.
(3,10) = 1& (1-0,3+1)=1,
(3,15) = 1&(1-0,3+0,8)=1,
(3,20) = 1&(1-0,3+0,4)=1,
(3,25) = 1&(1-0,3+0,2)=0,9,
(5,10) = 1&(1-0,7+1)=1,
(5,15) = 1&(1-0,7+0,8)=1,
(5,20) = 1&(1-0,7+0,4)=0,7,
(5,25) = 1&(1-0,7+0,2)=0,5,
(6,10) = 1&(1-1+1)=1,
(6,15) = 1&(1-1+0,8)=0,8,
(6,20) = 1&(1-1+0,4)=0,4,
(6,25) = 1&(1-1+0,2)=0,2.
Нечеткая переменная X Y будет характеризоваться нечетким множеством
С
=X
Y{<1/(3,10)>,<1/(3,.15)>,<1/1/(3,20)>,<0,9/(3,25)>,
<1/(5,10)>, <1/(5,15)>,<0,7/(5,20)>,<0,5/(5,25)>,
<1/(6,10),
<0,8/(6,15)>, <0,4/(6,20)>, <0,2/(6,25)>}.
Рассмотрим еще одно, более сложное высказывание импликативной формы
-
<ЕСЛИ X, есть X , ТО Y есть Y1, ИНАЧЕ Y есть Y2>.
(4.40)
Это высказывание можно записать иным образом
<ЕСЛИ X ,есть X,ТО Y есть Y1, И ЕСЛИ X есть НЕX ,ТО Y есть Y2>.
Тогда правило преобразования данной условной формы будет иметь вид
-
<ЕСЛИ X , есть X , ТО Y есть Y1, ИНАЧЕ Y2 >
<(X , Y ) есть (
X
Y1)
Y2 ).
(4.41)
Правило (4.41) является примером того, как можно использовать преобразования (4.34), (4.35),(4.36),(4.37), (4,38) для определения истинности сложных высказываний, основанных на высказываниях типа(4.24), (4.31), (4.32).
Существует правило, позволяющее использовать лингвистическую степень истинности при оценке истинности одних нечетких высказываний относительно других. Пусть имеются два высказывания: А:< есть А> и В: < есть B>, где А и B нечеткие переменные, определяемые нечеткими множествами СА и СВ на множестве X={x}. Тогда истинность А относительно В определяется как степень соответствия А и B посредством функции
-
v(A,B) = v(A/B) = v()/ = {<v()/>},
(4.42)
[0,1]
где xX, = A(x), а v () = sup B(x), где X’{xX/ = A(x)}.
|
x x’ |
Или иначе v() = supB(x)/= A(x).
Здесь A и B - функции принадлежности нечетких переменных А и B; v()- функция принадлежности значения истинности, [0;1] - область ее определения.
Правило (4.42) утверждает, что истинностью нечеткого высказывания А относительно нечеткого высказывания В является нечеткое множество v(A,B), определенное на интервале [0;1], такое, что для любого [0;1] значение ее функции принадлежности равно наибольшему значению B(x) по всем x, при которых A(x)=.
Пример 4.8. Имеем два высказывания:
А: находится близко к 5,
В: имеет значение приблизительно 6.
Тогда А <близко к 5> и B <приблизительно 6> - это нечеткие переменные с нечеткими множествами:
СА={<0,1/2>,<0,3/3>,<0,7/4>,<1/5>, <0,8/6>, <0,6/7>, <0,3/8>, <0,1/9>},
CB={<0,1/3>,<0,4/4>,<0,8/5>,<1/6>, <0,7/7>, <0,4/8>, <0,3/9>,<0,1/10>}.
Истинность высказывания В относительно высказывания А на множестве X={2,3,4,5,6,7,8,9,10} будет
v(B/A)={<0,1/0>,<0,3/0,1>,<0,4/0,3>,<0,7/0,6>,<0,4/0,7>,<1/0,8>,<0,8/1>}.
Cуть правила (4.42) хорошо иллюстрируется двумя следствиями, вытекающими из него.
Следствие 1. Пусть А:< есть x1> - четкое высказывание. В этом случае значение x1 можно рассматривать как нечеткую переменную x1, характеризуемую нечетким множеством Сx1 = {<x1(x)/x>} с функцией принадлежности
.
Если имеется нечеткое высказывание В:< есть B>, тогда истинность высказывания А относительно нечеткого высказывания В полностью определяется одним значением B(x1)
-
V(A/B) = {<B(x1)/1>}.
(4.43)
Cтепень истинности V(A/B) фактически отражает объективность оценки вполне конкретной ситуации А нечетким высказыванием В того или иного эксперта.
Пример 4.9. Пусть А:< есть 5> - четкое высказывание суть ситуации, а описание ситуации нечеткое В: < есть приблизительно 6>. В таком случае (см. пр.4.8) СА={<1/5>}, а СВ={<0,8/5>}. Тогда v(A/B) = {<0,8/1>}, т.е. истинность высказывания В по отношению к конкретной ситуации (когда А абсолютная истина, т.е. v(A)=1 равна 0,8.
Следствие 2. Пусть А: < есть x1> и B:< есть x2> - четкие высказывания. Тогда истинность одного четкого высказывания относительно другого четкого высказывания будет
,
что вполне естественно.