4.2. Нечеткозначная логика

Если многозначная логика описывается теорией нечетких множеств типа 1, то нечеткозначная логика - теорией нечетких множеств типа 2. Как было указано ранее (см. п.2.3), такая теория интерпретируется лингвистической переменной, значения которой определяются нечеткими переменными с соответствующим синтаксисом и семантикой. Определение истинности посредством лингвистической переменной приводит к нечеткой логике со значениями, подобными “истинно”, “не очень истинно”, “более менее истинно”, “очень истинно”, “совершенно истинно” и т.п. В связи с этим нечеткозначную логику иногда называют лингвистической логикой, а ее назначение тесно связывают с теорией приближенных рассуждений или приближенных решений, с поведенческой моделью принятия решений.

Для задания нечеткой истинности Заде предложил такие функции принадлежности термов "истинно" и "ложно":

истинно(x)=		0,
		,
		,
ложно(x) = истинно(1-x), х [0,1].

где а [0,1]  - параметр, определяющий носители нечетких множеств "истинно" и "ложно". Для нечеткого множества "истинно" носителем будет интервал (a,1], а для нечеткого множества "ложно"  - [0, а).

Функции принадлежности нечетких термов "истинно" и "ложно" изображены на рис. 4.1. Они построены при значении параметра а=0,4. Как видно, графики функций принадлежности термов "истинно" и "ложно" представляют собой зеркальные отображения.

Рис.4.1. Лингвистическая переменная "истинность" по Заде

Для задания нечеткой истинности Балдвин предложил такие функции принадлежности нечетких "истинно" и "ложно":

_{истинно}(x) =х;

_ложно(x) =1-х,

где х [0,1].

Квантификаторы "более-менее" и "очень" часто применяют к нечеткими множествами "истинно" и "ложно", получая таким образом термы "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "очень истинно", "очень, очень истинно", "очень, очень ложно" и т.п. Функции принадлежности новых термов получают, выполняя операции концентрации и растяжения нечетких множеств "истинно" и "ложно". Операция концентрации соответствует возведению функции принадлежности в квадрат, а операция растяжения - возведению в степень ½. Следовательно, функции принадлежности термов "очень, очень ложно", "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "истинно", "очень истинно" и "очень, очень истинно" задаются так:

 _{очень ложно} (х)=(  _ложно (х))²;

 _{очень, очень ложно} (х)=(  _{очень ложно} (х))²;

 _{более-менее ложно} (х)=(  _ложно (х))^1/2;

 _{более-менее истинно} (х)=(  _{истинно} (х))^1/2;

 _{очень истинно} (х)=(  _{истинно} (х))²;

 _{очень, очень истинно} (х)=(  _{очень истинно} (х))².

Графики функций принадлежности этих термов показаны на рис.4.2.

Рис.4.2. Лингвистическая переменная "истинность" по Балдвину

В нечеткозначной логике используются различные виды высказываний.

Основным является высказывание вида

 есть ,

(4.24)

где  - наименование лингвистической переменной, отражающей множество (класс) некоторых объектов и параметров реального мира и принимающей лингвистическое значение  в универсуме X;  - нечеткое подмножество X, которое индуцирует распределение возможности (x) =  . Другими словами, если x X   и _: x[0,1] - функция принадлежности , тогда возможность того, что X   = x, задаваемое высказыванием  есть , определяется как

П{X:=x   есть }= (x), xX.

(4.25)

В качестве примеров высказывания вида (4.24) можно привести: погода есть хорошая, температура есть высокая, девушка есть красивая. Из последнего примера может быть получена следующая интерпретация выражения (4.25): “возможность того, что некая особа x (объект x), относящаяся к множеству (классу), названному  девушка (путем измерения по шкале наименований или классификационной шкале), может получить значение красивая, равняется ее степени принадлежности _(x) к нечеткому подмножеству  (красивые девушки) множества X”.

Введение оценки истинности v означает, что

 есть  есть q   есть ,

(4.26)

где q - лингвистическое значение истинности, а    есть q. Здесь ,  и q связаны выражением

q = ().

(4.27)

Это уравнение утверждает, что q есть образ  при отображении _ . Из этого следует, что

(x) = q((x),

(4.28)

т.е. оценка истинности v определяется как функция принадлежности к заданному лингвистически значению истинности функции принадлежности _(x), определенной выражением (4.25). Так, при единичном значении истинности q =истинно

(x) = (x) =v, v[0,1].

(4.29)

При наличии _q

v= (x) =   (x),

(4.30)

где ⁺ - модификация , индуцированная q.

Кроме основного вида высказываний (4.26) в нечеткозначной логике используются выражения, содержащие модификаторы, кванторы и композицию.

Высказывания, содержащие модификаторы, имеют вид:

 есть m,

(4.31)

где m - модификатор такой, как “очень”, “примерно”, “более или менее”, “совсем”, “незначительно”, “не” и т.п. Определение истинности такого высказывания аналогично (4.30), где ⁺ - модификация , индуцированная m.

Введение модификатора преобразует нечеткое подмножество  в ⁺, изменяя синтаксис и семантику лингвистической переменной соответственно по правилам G и M.

Семантика ⁺ определяется функцией принадлежности _^, для описания которой можно использовать выражение (3.24). При этом происходит изменение значений составляющих кортежа лингвистической переменной.

В качестве примеров высказываний вида (4.31) можно отметить: погода есть более или менее хорошая, температура есть не высокая, девушка есть очень красивая и т.д.

Высказывания, содержащие кванторы, имеют вид

Q  есть ,

(4.32)

где Q - квантор такой, как “большинство”, “много”, “несколько”, “немного”, “некоторые” и т.п. Квантор Q определяет соответствующую пропорцию на множестве X. В отличие от кванторов  и , используемых в исчислении предикатов первого порядка и означающих соответственно или “все x” , или “существует один x”, квантор Q может устанавливать промежуточные пропорции значений выбора x на множествах x .

Примерами высказываний вида (4.32) являются много девушек есть красивые, некоторые дни есть хорошие, большинство студентов есть успевающие и т.д. Для сравнения можно привести смысл первого высказывания, квантифицированного с помощью  и  : в первом случае получится все девушки есть красивые, во втором есть такая девушка, которая красивая.

Возможно комплексное использование m и Q

Q  есть m.

(4.33)

Высказывания, содержащие композицию, состоят из различных сочетаний вышеприведенных высказываний, объединенных связками “И” (конъюнкция), “ИЛИ” (дизъюнкция), “ЕСЛИ ..., ТО ...” (импликация), “ЕСЛИ..., ТО..., ИНАЧЕ”. Например, ЕСЛИ небо голубое ,ТО погода хорошая, ЕСЛИ небо голубое ИЛИ солнце яркое И ветер слабый, ТО погода очень хорошая и т.д. Чтобы определить истинность таких сложных высказываний, необходимо привести их к виду (4.24), используя правила преобразования. Для этого представим два высказывания: _X есть _X и _Y есть _Y , где _X и _Y - лингвистические переменные, определенные на множествах X и Y, а _X и _Y - их значения с соответствующими нечеткими множествами

С_X = {_x(x)/x} и С_Y = {_Y(y)/y}.

Правило преобразования конъюнктивной формы имеет вид

X есть X И Y есть Y  (X , Y) есть X Y>.

(4.34)

Здесь выражение _X _Y можно рассматривать как значение лингвистической переменной (_X, _Y) с соответствующим нечетким множеством С_=_X _Y, где _X и _Y - цилиндрические продолжения нечетких множеств С_X и С_Y.

_X = {<_X(x,y)/x>}; _Y = {<_Y(x,y)/y>},

где (x,y) X  Y, причем (xX)( yY)[ _X (x,y) = _X(x)].

Пример 4.5. Имеем нечеткое высказывание: ”На неделе было много прохладных дней”. Это высказывание можно формализовать и привести к конъюнктивной форме:число дней есть близкое к 7 И температура воздуха есть невысокая, где _X – число дней; _X - близкое к 7; _Y - температура воздуха, _Y - невысокая, _X определяется на множестве X={3,5,6} в виде нечеткого множества С_X ={<0,3/3>,<0,7/5>,<1/6>}, _Y - на множестве Y ={10,15,20,25} в виде нечеткого множества С_Y = {<1/10>, <0,8/15>, <0,4/20>, <0,2/25>}.

Цилиндрические продолжения С_X и С_Y будут равны:

X =	{<0,3/3,10)>,<0,3/(3,15)>,<0,3/(3,20)>,<0,3/(3,25)>,<0,7/(5,10)>, <0,7/(5,15)>, <0,7/(5,20)>, <0,7/(5,25)>, <1/(6,10)>, <1/(6,15)>,
	<1/(6,20)>, <1/(6,25)>};
Y =	{<1/(3,10)>,<1/(5,10)>,<1/(6,10)>,<0,8/(3,15)>,<0,8/(5,15)>, <0,8/(6,15)>,<0,4/(3,20)>,<0,4/(5,20)>,<0,41/(6,20)>, <0,2/(3,25)>, <0,2/(5,25)>, <0,2/(6,25)>} .

Тогда истинность высказывания: “На неделе было много прохладных дней”, приведенного в конъюнктивной форме (4.34), будет определяться на указанных множествах X и Y нечетким множеством

C_ =_X  _Y = {<0,3/(3,10)>, <0, 3/(3,15)>, <0,3/(3,20)>, <0,2/(3,25)>, <0,7/(5,10)>,<0,7/(5,15)>,<0,4/(5,20)>,<0,2/(5,25)>,<1/(6,10)>, <0,8/(6,15)>, <0,4/(6,20)>, <0,2/(6,25)>}.

Очевидно, что наиболее истинным (v=1) приведенное высказывание будет при X=6 и Y=10, а наименее истинным (v =0,2) - при Y=25 и всех значениях X.

Следствием из правила (4.34) является преобразование

<X есть X1 и X2 ><(X, X) естьX1 X2>.

(4.35)

Правило преобразования дизъюнктивной формы имеет вид:

<X есть X ИЛИ y есть Y ><(X , Y) есть X Y>,

(4.36)

где _X _Y - значение лингвистической переменной (_X , _Y ) с соответствующим нечетким множеством

C_ =_X  _Y .

Это правило также имеет следствие

<X есть X1 ИЛИ есть X2><(X, X) есть X1 X2>.

(4.37)

Рассмотрим пример применения следствия.

Пример 4.6. Имеем высказывание: “Менее трудоспособными работниками являются дети и старики”, приведем данное высказывание к виду (4.37), где _{X ,} лингвистическая переменная <нетрудоспособные работники> на множестве X = {10,15,20,25,30,50,60} со значениями _X1 - <дети> и _X2 - <cтарики>, выраженными нечеткими множествами

С_X1 = {<1/10>, <0,8/15>,<0,4/20>, <0,2/25>},

С_X2 = {<0,3/30>, <0,7/50>, <1/60>},

где X₁ = {10,15,20,25}, X₂ = {30,50,60}.