3.7. Представление нечеткой и лингвистической переменных в эвм

Прикладные исследования, проводимые в различных направлениях творческой деятельности, показали неспособность обычных методов анализа систем и моделирования на ЭВМ, основанных на точной обработке численных данных, в должной мере отразить огромную сложность и многообразие реальных процессов, явлений и объектов. Одним из преткновений на пути использования нечетких и лингвистических переменных, позволяющих расширить представление о реальных процессах, явлениях и объектах, повысить их информационное содержание, является недостаточная приспособленность традиционных моделей и баз данных к восприятию таких переменных и их последующему анализу. Попытаемся найти пути реализации этой проблемы.

Как было указано ранее, нечеткая и лингвистическая переменные представляются в виде кортежей соответственно:

< , X, C>,	(3.35)
<, T , X>.	(3.36)

Рассмотрим отдельно эти переменные в зависимости от характера их базового множества, т.е. когда Х представляется дискретным конечным множеством и когда Х является непрерывным множеством, расположенным на оси действительных чисел R (континуум).

Для дискретного Х, когда S_A = {x_i}, целесообразно первое поле реляционной базы данных заполнить S_A = {x_i}, где хХ, а следующее поле с индексом  заполнить элементами _(х_i) с учетом связи C_=<_(х_i) /х_i>. Так как C_фактически отражает семантику, то можно утверждать, что в указанном виде нечеткая переменная будет полностью представлена. Более того, если на одном базовом множестве располагается несколько нечетких переменных х_k(часто встречающийся на практике случай), то такая форма представления (табл.3.8) и в этом случае окажется приемлемой при условии

Ck = <  k(хi) /хi > = <ik /хi>.

(3.37)

Последовательная группировка _k по терм-множествам

Т = {Т11 = 1, Т21 = 2, ... , Тs1 = s1 }, Т2 = {Т12 = k+1, ... , Тs2 = k+s2} . . . . . . . . . . . . . . .

(3.38)

дает возможность представления в указанной базе данных лингвистических переменных  (табл.3.8).

Таблица 3.8. Представление нечетких и лингвистических переменных при дискретном

базовом множестве

Х (SA)

1

2

3

4

5

6

…

k

…

m-1

m

x1

11

12

13

14

15

16

…

1k

…

1,m-1

1m

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

xi

i1

i2

i3

i4

i5

i6

…

ik

…

i,m-1

im

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

xn

n1

n2

n3

n4

n5

n6

…

nk

…

n,m-1

nm

Предлагаемая форма представления нечетких и лингвистических переменных не исключает комбинированного отображения состояния предметной области посредством реляционной модели базы данных. Такая возможность иллюстрируется примером (табл.3.9).

Таблица 3.9. Пример реляционной базы

Студ. группа	Факультет	Специальность	Кол-во студентов	Сильная	Слабая	Ровная	Дружная
1-51	ИФ	41.01	20	0,8	0,2	0,7	0,8
1-52	ИФ	41.02	18	0,4	0,7	0,6	0,5
…	…	…	…	…	…	…	…
1-61	МФ	18.01	25	0,3	0,8	0,5	0,3
…	…	…	…	…	…	…	…

Для непрерывного базового множества Х R степени принадлежности _ikмогут определяться через полученные тем или иным методом функции принадлежности _А(х)=_(х). При этом возникает задача, как хранения функции принадлежности, так и оперативного представления ее значений при изменении хR. Это может быть осуществлено при условии аппроксимации экспериментально полученной функции принадлежности. В общем случае функция принадлежности (рис.3.20) может быть аппроксимирована выражением (3.39).

(х)

а

а в

Рис.3.20.Общий случай представления функции принадлежности (х)

в

На рис.3.20 представлена (х) при  = 1. На рис.3.22 представлена (х) при  = 1 и   1.

(x)=

 при х  х1 (А - а sin 2А) при х1< х< х10 1 при x10  x  x20 (B - b sin 2B) при х20< х< х2  при х2< х,

(3.39)

где ;

а, в - аппроксимирующие коэффициенты;

sup (a, b) = 1/2, inf (a, b) = 0;

 - коэффициент концентрации ( >1) или растяжения ( < 1).

Из (3.39) следует, что любую, полученную экспериментальным путем функцию принадлежности (х), можно охарактеризовать кортежем

< x1, x10, x20, x2, a, b,  >.

(3.40)

Универсальность выражения (3.39) и кортежа (3.40) подтверждается иллюстрацией (рис.3.21).

(х )

х

а) б) в) г) д)

(х)

^х

е) ж) з) и) к) л)

Рис.3.21. Различные варианты представления функции принадлежности (х)

при следующих значениях характеристик кортежа (3.40):

а) (x₁₀ – x₁) = (x₂ - x₂₀), x₂₀ > x₁₀ , a > 0, b > 0,  = 1,

б) (x₁₀ - x₁) < (x₂ - x₂₀), x₂₀ = x₁₀ , a > 0, b > 0,  = 1,

в) (x₁₀ - x₁) = (x₂ - x₂₀), x₂₀ = x₁₀ , a > 0, b > 0,  = 1,

г)(x₁₀ - x₁) < (x₂ - x₂₀), x₂₀ > x₁₀ , a = 0, b = 0,  = 1,

д)(x₁₀ - x₁) = (x₂ - x₂₀), x₂₀ > x₁₀ , a = 0, b = 0,  = 1,

е) (x₁₀ - x₁) > (x₂ - x₂₀), x₂₀ = x₁₀ , a = 0, b = 0,  = 1,

ж) (x₁₀ - x₁) = (x₂ - x₂₀), x₂₀ = x₁₀ , a = 0, b = 0,  = 1,

з) x₁₀ = x₁ , x₂ > x₂₀ , x₂₀ > x₁₀ , a = 0, b > 0,  = 1,

и) x₁₀ > x₁ , x₂ = x₂₀ , x₂₀ > x₁₀ , a = 0, b = 0,  = 1,

к) (x₁₀ - x₁) = (x₂ - x₂₀), x₂₀ = x₁₀ , a = 0, b > 0,  = 1,

л) x₁₀ = x₁ , x₂ = x₂₀ , x₂₀ > x₁₀ , a = 0, b = 0,  = 1.

Влияние  на характер функции принадлежности представлено на рис.3.22.

(х)

 < 1

 =1

 > 1

х₁ х₁₀ х₂₀ х₂ х

Рис.3.22. Представление (х) при  =1 и  1

Это влияние можно использовать как при аппроксимации экспериментально полученной функции принадлежности, так и при изменении требований принадлежности х к понятию А, появляющихся при возникновении различных ситуаций. В таких случаях  представляется как функция от одного или нескольких факторов, определяющих суть ситуации, т.е.

 = (у1, у2, ..., уk).

(3.41)

В отдельных случаях  может изменяться путем переназначения.

Пример 3.9. При оценке стоимости продуктов в задачах экономического анализа и прогнозирования возможно использование лингвистической переменной  - “стоимость продуктов” с терм-множеством Т_ = <”низкая”, “средняя”, “высокая”>. Известно, что оценка стоимости продуктов зависит от темпов инфляции. Эта зависимость может быть выражена через функцию  = (у) вида

 = k( I’ / I”),

где  I’,  I” – темпы инфляции (предшествующий и рассматриваемый периоды). Данное выражение определяет семантическое правило М лингвистической переменной , при котором с увеличением темпов инфляции оценка стоимости продуктов становится более растяжимой (2.17), а с уменьшением – более стабильной, концентрированной (2.16).

Процесс определения, аппроксимации и машинной реализации функции принадлежности, а также ее модернизации представлены схемой (рис.3.23).

ЭВМ

Ввод МФ

; , Т_

, (y_i), y_i

 = (y_i)

Yi

(y_i)

х



Аппроксима-ция

_А^э(х)

х₂₀, х₂

а, в

РЛМ

(3.23)

(х)

БИП

_А^э(х)

х₁, х₁₀

 Т_ x₁ х₁₀ x₂₀ x₂ a b 

Рис.3.23. Схема формирования и представления функции принадлежности (х)

для непрерывного Х

Полученные экспериментальным путем функции принадлежности ^_A^э(х), характеризующие нечеткую переменную или термы множества Т_ лингвистической переменной , аппроксимируются кортежем (3.40). Значения величин, входящих в кортеж (3.39), заносятся в базу индексов и параметров нечетких и лингвистических переменных (БИП). Ввод коэффициента  осуществляется непосредственно или косвенно по значениям у_i через модуль функции (3.41) (МФ). По значению х для соответствующей  или  с помощью расчетно-логического модуля (РЛМ), реализующего (3.39), определяется степень принадлежности (х).