
- •Оглавление
- •Глава 1. Нечеткость как вид неопределенности
- •1.2. Меры неопределенности суждений
- •Глава 2. Основы теории нечетких множеств
- •2.1. Понятие нечеткого множества
- •2.2. Теоретико-множественные операции над нечеткими множествами
- •2.3. Нечеткие отношения и отображения на нечетких множествах
- •2.4. Меры сходства и различия нечетких категорий
- •Алгоритм решения задачи нечеткой кластеризации методом нечетких -средних. Основные идеи алгоритма для решения сформулированной задачи нечеткой кластеризации были предложены д. К. Данном.
- •2.5. Четкость и нечеткость
- •2.6. Нечеткая и лингвистическая переменные
- •Глава 3. Методы построения функции принадлежности
- •3.1. Содержание функции принадлежности
- •3.2. Построение функции принадлежности нечеткого множества и оценка его вероятностных характеристик
- •3.3. Прямые методы построения функции принадлежности
- •3.4. Косвенные методы построения функции принадлежности
- •3.5. Метод построения функции принадлежности лингвистических термов с использованием статистических данных
- •3.7. Представление нечеткой и лингвистической переменных в эвм
- •Контрольные вопросы
- •4. Основы нечеткой логики
- •4.1. Многозначная логика
- •4.2. Нечеткозначная логика
- •Получим
- •4.3. Системы нечеткого вывода
- •Формирование базы правил систем нечеткого вывода.
- •Фаззификация
- •Агрегирование
- •Активизация
- •Аккумуляция
- •Дефаззификация
- •Заключение
- •Библиографический список
- •“Основы теории нечеткости” учебное пособие
- •153003 Иваново, Рабфаковская, 34
Глава 3. Методы построения функции принадлежности
3.1. Содержание функции принадлежности
Прежде чем остановиться на конкретном рассмотрении известных методов построения функций принадлежности, отметим некоторое толкование сущности этих функций, а также обозначим основные направления, связанные с различными толкованиями и вытекающими из этого подходами к определению степени принадлежности и построению функции принадлежности.
Существует несколько точек зрения на содержательную интерпретацию функций принадлежности, при которых преобладающей оценкой степени принадлежности является фиксирование конкретных значений в интервале [0,1]. Такое фиксирование носит субъективный характер и производится в результате экспертного опроса.
Для методов, основанных на экспертных оценках, важным является характер измерений: первичный, т.е. непосредственный, или производный, т.е. косвенный, а также тип шкалы, которой пользуется эксперт и которая затем определяет вид операций по обработке экспертной информации. Другой особенностью можно назвать то, что оцениваемые объекты обладают двумя типами свойств:
свойства, которые можно непосредственно измерить, например: длину, высоту, рост, вес, объем и т.п.,
свойства, которые не имеют количественной меры, а являются качественными, например: красота, удобство, полезность и т.п.
Во втором случае, как правило, прибегают к попарному сравнению объектов, обладающих качественными свойствами и определяющих место (ранг) по отношению к рассматриваемому понятию А.
В некоторых работах на основании формального определения функции принадлежности и операции дополнения нечеткого множества дается следующая интерпретация: величина А(х) есть условная вероятность наблюдения события А при наблюдении х. При этом предпочтение отдается субъективной вероятности, суть которой заключается в следующем. Пусть х – некоторое событие реального мира, а Ах – некоторое другое событие, которое дает некоторый выигрыш Q1, если х произойдет, и Q2, если х не произойдет. Имеется также событие Ар, которое дает выигрыш Q1 с объективной, в частности, частотной вероятностью р, и выигрыш Q2 - с вероятностью (1-р). В этом случае величина р называется субъективной вероятностью события х при условии, что субъекту безразлично, какое из событий Ах или Ар произойдет. Значение вероятности при этом понимается как число, пропорциональное сумме, которую субъект согласен заплатить в том случае, если высказывание, являющееся по его утверждению истинным, в действительности окажется ложным. В большинстве известных работ по исследованию и применению нечетких множеств считается, что функция принадлежности - это некоторое невероятностное субъективное измерение нечеткости и что она отличается от вероятностной меры и интерпретируется как субъективная мера того, насколько элемент (событие) х Х соответствует понятию А.
При этом степень соответствия оценивается не вероятностной, а возможностной мерой, т.е. не условной вероятностью наблюдения события А при возникновение события х, а возможностью (или необходимостью) интерпретации х событием А.
Существующие методы построения функции принадлежности можно разделить на группы: прямые и косвенные.
Рис.3.1. Классификация методов построения функции принадлежности
Прямые методы заключаются в том, что эксперт непосредственно задает степень принадлежности каждого х Х понятию А или определяет вид функции А(х). При этом значения функции согласуются с предпочтениями эксперта по отношению хi на множестве Х следующим образом:
- для любых х1, х2 Х А(х1)<А(х2) тогда и только тогда, когда х2 предпочтительнее х1 т.е. в большей степени (с большей вероятностью, с большей возможностью, с большей необходимостью) характеризуется понятием А;
- для любых х1 , х2 Х А(х1)=А(х1) тогда и только тогда, когда х1 и х2 безразличны относительно понятия А.
Как правило, прямые методы используются для описания объектов, свойства которых можно непосредственно измерить. В этом случае осуществляют непосредственное задание значений степени принадлежности. К прямым методам можно отнести методы, основанные на вероятностной трактовке функции принадлежности А(х) = р(x/A), т.е. вероятность того, что объект х Х будет отнесен к нечеткому множеству А.
При использовании вероятностной меры в прямых методах была обнаружена субъективная тенденция сдвигать оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы. Эта тенденция может быть объяснена выражением (1.23), в связи с чем предлагается непосредственное определение принадлежности осуществлять по возможностной мере
-
А(х) = (x).
В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются исходя из заранее сформулированных условий. Информация, поступающая от экспертов, является лишь исходной для реализации установленного в данном методе алгоритма обработки этой информации в целях получения А(х). Косвенные методы являются единственно возможными в тех случаях, когда свойства, через которые определяется понятие А, не имеют количественной меры, например, “красота”. В таких случаях используют ранговые измерения при попарном сравнении объектов. Косвенные методы более трудоемки, чем прямые, но их преимущество - в стойкости по отношению к искажениям в ответе, а следовательно, в большей объективности получаемой функции принадлежности.
В целях повышения объективности функции принадлежности для ее построения учитывают мнение как одного (индивидуального) эксперта, так и группы экспертов. Групповая процедура построения функции принадлежности используется как в прямых, так и в косвенных методах.