Главы 1-4

Решение:

Проецирующие прямые: CD – фронтально-проецирующая, AB – горизонтально-проецирующая, EF –профильно-проецирущая.

Прямые уровня: MN – горизонталь, KL – фронталь, PQ – профильная.

Прямые общего положения: TU, RS.

31

3.4.ДЛИНА ОТРЕЗКА И УГЛЫ НАКЛОНА ПРЯМОЙ

КПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИИ

Отрезок прямой, параллельной какой-либо плоскости проекции (отрезок частного положения), проецируется на данную плоскость без искажения (в натуральную величину). Углы наклона отрезка к плоскостям проекций проецируются также в натуральную величину на эту плоскость (табл. 3.2, 3.3).

Если отрезок не параллелен плоскостям проекции (отрезок общего положения), то для определения натуральной величины его и угла наклона к плоскости проекции необходимо выполнить дополнительные построения.

Если построить вспомогательный прямоугольный треугольник, один катет которого равен проекции отрезка на плоскость П1 / П2 / П3 , а другой – разности уровней положения концов отрезка от той плоскости, на которой строится треугольник то гипотенуза данного прямоугольного треугольника равна натуральной величине данного отрезка, а угол между гипотенузой и катетом – проекцией отрезка, равен углу наклона отрезка к данной плоскости проекций (табл. 3.4).

Рассмотренный метод определения натуральной величины отрезка общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций называет-

ся методом прямоугольного треугольника.

Таблица 3.4. Метод прямоугольного треугольника

Определение н.в. отрезка АВ и угла наклона его к плоскости П3 (прямо-

угольный треугольник строится на П 3):

•отметить разность уровней точек A2 и B2 по ширине – Х;

• провести из точки А3 (В3) перпендикуляр и отложить на нем значениеХ, отметить точку А* (В*);

• соединить А* В3 (В*А3)

– н.в. отрезка АВ (гипотенуза треугольника);

• угол – н.в. угла наклона отрезка АВ к плоскости П3

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

33

Задача 1.

Определить натуральную величину и угол наклона отрезка АВ к

–на П1 отметить разность уровней по Y;

– на П2 построить прямоугольный треугольник;

– обозначить н.в. отрезка АВ и угол наклона отрезка к плоскости П2.

Задача 3.

Определить натуральную величину и угол наклона отрезка АВ к плоскости П2 .

–на П3 отметить разность уровней по Y;

– на П2 построить прямоугольный треугольник;

– обозначить н.в. отрезка АВ и угол наклона отрезка к плоскости П2.

34

–на П3 отметить разность уровней по Y;

– на П2 построить прямоугольный треугольник;

– обозначить н.в. отрезка АВ и угол наклона отрезка к плоскости П2.

Задача 5.

Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ, длина которого 40 мм (точка А ближе точки В).

– на П2 провести перпендикуляр аз точки А;

– провести дугу радиусом 40 мм и достроить прямоугольный треугольник;

– отметить на прямоугольном треугольнике разность уровней по Y;

– на П1 отметить разность уровней по Y и построить точку А1.

35

Задача 6.

От точки А є l отложить на прямой l отрезок AВ длиной 35 мм.

– на прямой l отметить произвольную точку 1;

– определить н.в. отрезка 1А методом прямоугольного треугольника;

– на н.в. А11* отложить 35 мм и отметить точку В*;

– построить точки В1 и В2.

3.5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДИМОСТИ

С ПОМОЩЬЮ КОНКУРИРУЮЩИХ ТОЧЕК

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай:

1. Параллельные прямые.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) – параллельны. Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций, то есть если ABCD то A1B1C1D1;

36

а) б) Рис. 3.3. Параллельные прямые: а – модель; б – эпюр

A2B2C2D2; A3B3C3D3 (рис.3.3). В общем случае справедливо и обратное утверждение.

Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны A1B1C1D1; A2B2C2D2 (рис.3.4, а), но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 3.4, б).

а) б)

Рис. 3.4. Взаимное расположение прямых: а – двухкартинный чертеж; б – трехкартинный чертеж

37

В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П3 пересекаются A3B3∩C3D3, следовательно, они не параллельны.

2. Пересекающиеся прямые.

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку. Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рис. 3.5).

а) б)

Рис. 3.5. Пересекающиеся прямые: а – модель; б – эпюр

В общем случае справедливо и обратное утверждение, но есть два частных случая:

I. Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, например профильной плоскости проекций (рис. 3.6), по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СD пересекаются и точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, профильные проекции этих отрезков тоже пересекаются, однако точка их пересечения не лежит на одной линии связи с точками пересечения горизонтальной и фронтальной проекций отрезков, следовательно, не пересекаются и сами отрезки.

II. Пересекающие прямые расположены в одной плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 3.7). О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной проекции, например, по проекции на горизонтальную плоскость проекций (А1В1∩С1D1АВ∩СD).

38

а) б)

Рис. 3.6. Взаимное расположение прямых: а – двухкартинный чертеж; б – трехкартинный чертеж

а) б) Рис. 3.7. Пересекающиеся прямые: а – модель; б – эпюр

3. Скрещивающиеся прямые.

Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости. Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Для определения видимости прямых относительно плоскостей проекции используются конкурирующие точки.

Рассмотрим комплексный чертеж скрещивающихся прямых а и b (рис. 3.8). Определим, какая из прямых расположена выше другой (относительно плоскости П1) или ближе другой к наблюдателю (относительно

39

плоскости П2). Для этого необходимо проанализировать положение конкурирующих точек А и В, С и D, принадлежащих этим прямым. В данном случае точки А и В – фронтально-конкурирующие, а точки С и D –

горизонтально-конкурирующие.

Определим видимость на плоскости проекций П2. Из двух конкурирующих точек В и А, принадлежащих скрещивающимся прямым а и b, видимой на плоскости П2 будет точка В, так как В 1 расположена ближе к наблюдателю, что видно при взгляде спереди по указанной стрелке. Точка А1 дальше от наблюдателя, следовательно точка А будет не видима на плоскости П2 (А2 обозначена второй в совпадающих проекциях).

Определим видимость на плоскости проекций П1. Из рис. 3.8 следует, что при взгляде сверху по указанной стрелке D2 выше С2 относительно П1. Следовательно, точка D, принадлежащая прямой а, будет видима, а точка С, принадлежащая прямой b будет не видима (D1 обозначена второй в совпадающих проекциях).

Понятие конкурирующих точек используется в решении позиционных задач, когда требуется определить видимость.

а) б)

Рис. 3.8. Скрещивающиеся прямые: а – модель; б – эпюр

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

40