Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Ивановский государственный энергетический университет

имени В.И. Ленина»

Кафедра теоретических основ теплотехники

Расчётно-графическая работа по ТМО в ЯЭУ

Вариант №7

Цилиндр

Выполнил: студент гр. 3-11^х

Н.М. Попов

Принял: доцент

Ю.С. Солнышкова

Оценка ___________

Иваново 2014

Теоретическое введение

Дифференциальное уравнение теплопроводности в векторной форме:

.

При стационарном процессе теплопроводности температурное поле не изменяется во времени, следовательно, и дифференциальное уравнение Фурье принимает вид:

.

При допущении , дифференциальное уравнение теплопроводности упрощается:

.

Раскрывая значение для тел простейшей (классической) формы получаем:

;

или в дивергентной форме

.

Теплопроводность неограниченного однородного цилиндрического стержня

Температурное поле при охлаждении неограниченного цилиндра с внутренними источниками теплоты изображено на рис. 2.

Рис. 1. Температурное поле в неограниченном цилиндре при действии равномерно распределенных внутренних источников теплоты

Для определения температурного поля и теплового потока в цилиндре необходимо задать геометрию расчетной области (коэффициент формы тела k = 2 и размер расчетной области R=D/2, где D – диаметр цилиндра), коэффициент теплопроводности материала цилиндра , мощность внутренних источников теплоты q_v , температуру теплоносителя T_f и коэффициент теплоотдачи  от поверхности цилиндра к текучей среде. Краткая форма записи исходных и искомых величин имеет вид:

Дано:k = 2; ; ; q_v; ; T_f;

Найти: T(r); T_c; T_w; T; Q(r); q_l

где r_ц – радиус цилиндра; T_c и T_w – температура оси и поверхности цилиндра; T – перепад температур по сечению цилиндра; q_l – линейная плотность теплового потока.

Математическая формулировка задачи

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

;

или в дивергентной форме

(1)

Граничные условия:

; (2)

. (3)

Метод решения

Метод решения – аналитический метод разделения переменных. Предварительно умножим на «r» все члены дифференциального уравнения (II.1), записанного в дивергентной форме. Получим:

. (4)

Разделяем переменные и интегрируем первый раз:

.

Получаем:

. (5)

Делим на «r» все члены дифференциального уравнения (II.5):

или

. (6)

Разделяем переменные и, интегрируя второй раз, находим общий интеграл дифференциального уравнения теплопроводности (II.1):

;

(7)

Находим постоянные интегрирования С₁ и С₂. Для этого применим граничные условия (II.2) и (II.3). Из граничного условия на оси цилиндра и выражения (II.5) следует, что С₁ = 0. Тогда общее решение (II.7) примет вид:

. (8)

Из последнего выражения, записанного для поверхности цилиндра ( и ) имеем:

. (9)

Подставляя С₂ в общий интеграл (II.8), получаем решение дифференциального уравнения теплопроводности (II.1) при граничных условиях I рода:

. (10)

Из уравнения граничных условий III рода (II.3) выразим температуру на внешней границе цилиндра. Получим:

. (11)

Значение производной температуры на поверхности цилиндра () найдем из выражения (II.6) с учетом С₁ = 0:

. (12)

Подставляя (II.12) в (II.11), находим температуру на поверхности цилиндра:

. (13)

И, подставляя выражение (II.13) в формулу (II.10), окончательно получим решение дифференциального уравнения теплопроводности (II.1) при граничных условиях третьего рода:

(14)

Из уравнения (II.14) видно, что температура по сечению цилиндра изменяется по закону параболы. Температуру в тепловом центре цилиндра рассчитывают по формуле, полученной из выражения (II.14) при r = 0:

(15)

Перепад температур по сечению цилиндра равен:

(16)

Тепловой поток найдем, используя закон Фурье и уравнение температурного поля (II.14):

. (17)

Тепловой поток, уходящий с поверхности цилиндра равен:

, (18)

где V – объем, м³; – длина (высота) цилиндра, м.

Линейная плотность теплового потока на поверхности цилиндра равна:

. (19)

Плотность теплового потока на поверхности цилиндра равна:

. (20)

Температурное поле цилиндра при граничных условиях

I рода

Теплообмен при граничных условиях первого рода является частным случаем теплообмена при граничных условиях третьего рода. При и получаем:

. (21)

. (22)

. (23)

Задание

1) Рассчитать значение температур T_w ,T_c и в указанных точках сечения тела.

2) Построить графики зависимости T_w, T_c и указанных точках сечения тела в зависимости от изменяемой величины.

Табл. 1. Исходные данные

Заданная величина	Обозначение	Величина
Коэффициент формы тела	k	2
Координата, м	r	0,15
Радиус цилиндра, м	R	0,4
Коэффициент теплопроводности материала, Вт/(м·К)		50
Мощность внутренних источников теплоты, Вт	qv	300000
Температура теплоносителя, ºC	Tf	1160—1210 (с шагом 10)
Коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2·К)		20000

Решение

Найдём температуру на поверхности, в координате r = 0,15 м и в центре стержня по формулам (13)—(15) при T_f = 1160 ºC.

Аналогичным образом находятся температуры при других T_f.

Табл.2. Результаты расчётов

Tf , ºC	Tw , ºC	T(r=0,15 м) , ºC	Tc , ºC
1160	1163	1369,25	1403
1170	1173	1379,25	1413
1180	1183	1389,25	1423
1190	1193	1399,25	1433
1200	1203	1409,25	1443
1210	1213	1419,25	1453

Графическая зависимость от изменяемой величины

Рис. 2. Зависимости температуры поверхности, в координате и в центре стержня от температуры теплоносителя T=f(T_f).

Вывод

В результате расчёта температурного поля в неограниченном однородном цилиндрическом стержне при наличии внутренних источников теплоты графически подтверждена линейная зависимость температуры тела от температуры теплоносителя.

Содержание

Теоретическое введение……………………………………………………………2

Задание……………………………………………………………………………...6

Решение………………………………………………………………………………7

Графическая зависимость от изменяемой величины…………………………….8

Вывод…………………………………………………………………………………8

Библиографический список………………………………………………………..9

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бухмиров, Вячеслав Викторович. Теоретические основы теплотехники. Тепломассообмен. Лекции. / Бухмиров В.В.; Федеральное агентство по образованию, ФГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина». – Иваново, 2008.