4.6. Выборочное наблюдение

 Выборочное наблюдение - это такое несплошное наблюдение, при котором отбор подлежащих обследованию единиц осуществляется в случайном порядке, отобранная часть изучается, а результаты распространяются на всю исходную совокупность.

Наблюдение организуется таким образом, что эта часть отобранных единиц в уменьшенном масштабе репрезентирует (представляет) всю совокупность.

 Совокупность, из которой производится отбор, называется генеральной, и все ее обобщающие показатели - генеральными.

 Совокупность отобранных единиц именуют выборочной совокупностью, н все ее обобщающие показатели - выборочными.

 Принципы выборочного наблюдения:

 - обеспечение случайности (равной возможности попадания в выборку) отбора единиц

 - достаточное число единиц выборочной совокупности

 Основная задача выборочного наблюдения в экономике состоит в том, чтобы на основе характеристик выборочной совокупности (средней и доли) получить достоверные суждения о показателях средней и доли в генеральной совокупности.

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Они представляют собой расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и значениями показателей этих же величин, которые были бы получены при проведенном с одинаковой степенью точности сплошном наблюдении, т.е. между величинами выборных и соответствующих генеральных показателей.

 По методу отбора различают повторную и бесповторную выборки.

 При повторной выборке общая численность единиц генеральной совокупности в процессе выборки остается неизменной.

Ту или иную единицу, попавшую в выборку, после регистрации снова возвращают в генеральную совокупность, и она сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами при повторном отборе единиц вновь попасть в выборку ("отбор по схеме возвращенного шара"). Повторная выборка в социально-экономической жизни встречается редко. Обычно выборку организуют по схеме бесповторной выборки.

 При бесповторной выборке единица совокупности, попавшая в выборку, в генеральную совокупность не возвращается и в дальнейшем в выборке не участвует; т.е. последующую выборку делают из генеральной совокупности уже без отобранных ранее единиц ("отбор по схеме невозвращенного шара").

 По степени охвата единиц совокупности различают большие и малые (п<30) выборки.

Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупностей обозначаются символами:

N  - объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц); 

_ n  - объем выборки (число обследованных единиц);

х - генеральная средняя (среднее значение признака в 0  2генеральной совокупности);

 ~

 х - выборочная средняя;

 р - генеральная доля (доля единиц, обладающих данным значением признака в общем числе единиц генеральной совокупности);

w  - выборочная доля;

 ²- генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокупности); 

S²- выборочная дисперсия того же признака;

 - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокуп-

 ности; 

S - среднее квадратическое отклонение в выборке.

 При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам:

 для средней количественного признака

для доли (альтернативного признака)

Поскольку практически дисперсия признака в генеральной совокупности  ² точно неизвестна, на практике пользуются значением дисперсии S² , рассчитанным для выборочной совокупности на основании закона больших чисел, согласно которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности. В теории вероятностей доказано, что генеральная дисперсия выражается через выборную следующим соотношением:

Так как n/(n -1) при достаточно больших n - величина, близкая к единице, то можно принять, что  , а следовательно, в практических расчетах средних ошибок выборки можно использовать формулы (6.5) и (6.6).

При случайном бесповторном отборе в приведенные выше формулы расчета средних ошибок выборки необходимо подкоренное выражение умножить на (1 - (n/N)), поскольку в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности.

 Следовательно, для бесповторной выборки расчетные формулы средней ошибки выборки примут такой вид:

 для средней количественного признака

  для доли (альтернативного признака) 

Так как n всегда меньше N, то дополнительный множитель (1 -(n/N) всегда будет меньше единицы. Отсюда следует, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. В то же время при сравнительно небольшом проценте выборки этот множитель близок к единице ( например, при 5 %-ной выборке он равен 0,95; при 2 %-ной - 0,98 и т.д.). Поэтому иногда на практике пользуются для определения средней ошибки выборки формулами без указанного множителя, хотя выборку и организуют как бесповторную. Это имеет место в тех случаях, когда число единиц генеральной совокупности неизвестно или безгранично, или когда n очень мало по сравнению с N, и по существу, введение дополнительного множителя, близкого по значению к единице, практически не повлияет на значение средней ошибки выборки.

 Выборочные средние и относительные величины распространяют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки.

В каждой конкретной выборке расхождение между выборочной средней и генеральной может быть меньше средней ошибки выборки ц., равно ей или больше ее.

Причем каждое из этих расхождений имеет различную вероятность (объективную возможность появления события). Поэтому фактические расхождения между выборочной средней и генеральной можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней ошибкой и гарантируемую с определенной вероятностью Р.

 Предельную ошибку выборки для средней при повторном отборе можно рассчитать по формуле:

где t - нормированное отклонение - "коэффициент доверия", зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки;

  - средняя ошибка выборки.

 Аналогичным образом может быть записана формула предельной ошибки выборки для доли при повторном отборе:

При случайном бесповторном отборе в формулах расчета предельных ошибок выборки необходимо умножить подкоренное выражение на (1 - (n/N)).

Формула предельной ошибки выборки вытекает из основных положений теории выборочного метода, сформулированных в ряде теорем теории вероятностей, отражающих закон больших чисел.

 На основании теоремы П.Л.Чебышева (с уточнениями А.М.Ляпунова) с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной генеральной дисперсии выборочные обобщающие показатели (средняя, доля) будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих генеральных показателей.

Таким образом, величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью.

 Значения функции Ф(1) при различных значениях ( как коэффициента кратности средней ошибки выборки, определяются на основе специально составленных таблиц. Приведем некоторые значения*, применяемые наиболее часто для выборок достаточно большого объема ( n>= ЗО):

t 1,000 1,960 2,000 2,580 3,000

Ф(t) 0,683 0,950 0,954 0,990 0,997

 Предельная ошибка выборки отвечает на вопрос о точности выборки с определенной вероятностью, значение которой определяется коэффициентом (в практических расчетах, как правило, заданная вероятность не должна быть менее 0,95). Так при  t  = 1 предельная ошибка составит .

Следовательно, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превысит одной средней ошибки выборки. Другими словами, в 68,3% случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы  . При t=2 с вероятностью 0,954 она не выйдет за пределы2, при t = 3с вероятностью 0,997 - за пределы3и т.д.

Выборочное наблюдение проводится в целях распространения выводов, полученных по данным выборки, на генеральную совокупность.

Одной из основных задач является оценка по данным выборки исследуемых характеристик (параметров) генеральной совокупности.

 Предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы.

При проектировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки очень важно правильно определить численность ( объем ) выборочной совокупности, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения. Формулы для определения необходимой численности выборки п легко получить непосредственно из формул ошибок выборки:

 для средней количественного признака

для доли (альтернативного признака)

 Эти формулы показывают, что с увеличением предполагаемой ошибки выборки значительно уменьшается необходимый объем выборки.

Для расчета объема выборки нужно знать дисперсию. Она может быть заимствована из проводимых ранее обследований данной или аналогичной совокупности, а если таковых нет, тогда для определения дисперсии надо провести специальное выборочное обследование небольшого объема.