Семинар 9

Операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

Вводная информация

I. Геометрический вектор.

Определение. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если - начало вектора, а- его конец, то вектор обозначается символомили. Вектор() называетсяпротивоположным вектору .

Длиной вектора или его модулем называется длина отрезка и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называетсянулевым вектором и обозначается . Вектор, длина которого равна единице, называетсяединичным вектором. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называетсяортом этого вектора и обозначается .

Векторы иназываютсяколлинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для коллинеарных векторов принято обозначение . Два вектора называютсяравными (), если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Три вектора в пространстве называютсякомпланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

II. Операции над векторами.

На множестве векторов вводится бинарная операция, которая называется сложением векторов. Эту операцию можно определить либо правилом параллелограмма (если векторы и, являются сторонами параллелограмма, то их суммой будет вектор, где- четвертая вершина параллелограмма), либо правиломтреугольника (если векторы иявляются сторонами треугольника, то их суммой называют вектор).

Легко убедиться в следующих свойствах этой бинарной операции на множестве векторов:

1) ;

2) ; 3);

4) .

Следовательно, относительно сложения множество векторов образует абелеву группу.

Произведением вектора на числоназывается вектор, который имеет длинуи направление вектора, если; направление противоположного вектора к, если. Отметим, что.

Произведение вектора на число обладает свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

Множество геометрических векторов с введенными на нем операциями называетсявекторным пространством.

III. Координаты вектора.

Рассмотрим пространство с введенной на нем декартовой системой координат. Пустьи- три единичных вектора, исходящих из начала координат в направлениях соответственно декартовых осейи. Эти векторы называютсяортами координатных осей. Пусть вектор имеет начало также в точке(начале координат). Спроектируем конец векторана координатные оси. Полученные проекции можно записать в видеи, гдеи- углы, которые образует векторсоответственно с координатными осямии. Числаиназываютсянаправляющими косинусами вектора . Вектори его проекции на координатные оси удовлетворяют равенству

.

Тройка векторов называетсябазисом векторного пространства , а написанное выше равенство – разложением вектора по базису. При этом числаносят названиекоординат вектора относительно базиса. Поскольку координаты вектораотносительно данного базиса являются проекциями этого вектора на координатные оси, длина вектора и его координаты связаны формулой

.

Подставляя в эту формулу координаты вектора, выраженные через направляющие косинусы, легко получить равенство

,

которому удовлетворяют направляющие косинусы любого вектора. Заметим, что направляющие косинусы являются координатами орта вектора .

Поскольку координаты вектора полностью его определяют, можно ввести обозначениеи заменить введенные операции над векторами операциями над их координатами. Так сложение векторовможно заменить сложением их координат:, т.е.,

а умножение вектора на число - умножением координат на это число:или.

Равенство векторов на координатном языке предполагает равенство их координат, а коллинеарность- пропорциональность их координат.

Пусть имеются две точки и. Тогда векторможно записать в видеили. В частности, длярадиус-вектора точки имеем формулыили.