III. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы.

1. Окружность.

Пусть . В этом случае в координатахиполучаем уравнение окружности

радиуса с центром в начале координат. Уравнение окружности того же радиуса с центром в точкеимеет вид

.

С геометрической точки зрения окружность – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от некоторой точки (центра окружности). Если , то окружность вырождается в точку. Наконец, если, то уравнениене определяет какой-либо кривой на плоскости (мнимая окружность).

2. Эллипс.

Запишем полученное уравнение центральной кривой в виде

.

Пусть , получим каноническое уравнение эллипса

.

Оси иназываютсяосями симметрии эллипса, а точки -вершинами эллипса. Пусть . Отрезокназываетсябольшой осью эллипса (-большой полуосью эллипса), а отрезок -малой осью эллипса (- малой полуосью эллипса). Эллипс имеет два фокуса , где. Расстояние между фокусами равно. Форма эллипса зависит от отношения. Приэллипс превращается в окружность. Отклонение от окружности (сплющенность) эллипса характеризуется параметром, который называетсяэксцентриситетом эллипса. Для окружности , для эллипса. Приэллипс вырождается в отрезок (). Справедливость этих утверждений легко увидеть из соотношения.

Рассмотрим точку , лежащую на эллипсе. Длиныисоответственно отрезковиназываютсяфокальными радиусами эллипса. Заметим, что . Приведем соотношения, связывающие фокальные радиусы с эксцентриситетом эллипса:.

Прямые иназываютсядиректрисами эллипса. Рассмотрим правую директрису и правый же фокус эллипса. Точка, лежащая на эллипсе, находится на расстоянииот рассматриваемой директрисы. Преобразуя это равенствои замечая, что, получим формулу(отношение фокального радиуса любой точки эллипса к расстоянию между этой точкой и соответствующей директрисой есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса). Аналогичное соотношение можно получить для другого фокуса и другой директрисы.

Приведем геометрическое определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами (,).

Заметим, что если , то мы имеем мнимый эллипс.

2. Гипербола.

Вернемся к тому же каноническому виду кривой второго порядка

,

но предположим, что знаменатели имеют разные знаки. Пусть для определенности .

Уравнение

называется каноническим уравнением гиперболы. Точки пересечения гиперболы с координатной осью иназываютсявершинами гиперболы, а отрезок -действительной осью гиперболы (-действительной полуосью гиперболы). Точки и, лежащие на координатной оси, можно назватьмнимыми вершинами гиперболы, а отрезок -мнимой осью гиперболы (-мнимой полуосью гиперболы). Прямоугольник со сторонами и, на которых лежат вершины гиперболы, называютосновным прямоугольником гиперболы. Прямые (частями которых являются диагонали прямоугольника гиперболы) носят названиеасимптот гиперболы. Построение гиперболы удобно начинать с построения прямоугольника и асимптот гиперболы. Если , то гипербола называетсяравносторонней, ее уравнение имеет вид . Различаютправую ветвь гиперболы (проходит через вершину ) илевую ветвь гиперболы (проходит через вершину ).

Гипербола имеет два фокуса , где. Отношениеназываетсяэксцентриситетом гиперболы и характеризует степень сжатости гиперболы. Заметим, что . Отношение полуосей гиперболы является функцией эксцентриситета. Пригипербола сжимается до двух лучей. При росте эксцентриситета гипербола «расправляется» и ее ветви стремятся к прямым.

Фокальные радиусы и для точек правой ветви гиперболы имеют вид и, а для левой -и.

Прямые называютсядиректрисами гиперболы. Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса.

Гиперболы и, имеющие разные действительные и мнимые оси, но одинаковые асимптоты, называютсясопряженными гиперболами.

Приведем геометрическое определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами (,).

3. Парабола.

Каноническим уравнением параболы называется уравнение вида

,

где -параметр параболы. Парабола не является центральной кривой. Вершина параболы находится в начале координат, а фокус – в точке .

Уравнение директрисы имеет вид . Осьявляется осью симметрии параболы. Фокальный радиус любой точки параболы равен ее расстоянию до директрисы, т.е.. Об этом равенстве говорит геометрическое определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Возможны три других случая расположения параболы на плоскости: .

Замечание 1. При выводе канонического уравнения параболы следует первым сделать поворот координатных осей. Поскольку для параболы или, новые коэффициенты можно записать в виде:

.

Выбирая угол из уравнения, можно обратить коэффициентв нуль (если взять угол, то обратится в нуль). В обоих случаях станет нулевым и коэффициент. Далее совершая параллельный перенос осей координат, можно найти координаты вершины параболы и ее уравнение.

Замечание 2. Если совершить поворот координатных осей до их параллельного переноса с выбором угла поворота, обращающего в нуль коэффициент , то общее уравнение кривой второго порядка примет вид

.

Это уравнение всегда определяет кривые:

1) окружность при ; 2) эллипс при;

3) гиперболу при ;

4) параболу при .

При этом возможны случаи вырождения:

1. окружности в точку или мнимую окружность;

2. эллипса в точку или в мнимый эллипс;

3. гиперболы в пару пересекающихся прямых ;

4. параболы в пару параллельных прямых .

Замечание 3. Кривые второго порядка имеют следующие «оптические» свойства:

1. луч света, испущенный из одного фокуса эллипса и отраженный эллипсом, попадает в его второй фокус;

2) луч света, испущенный из одного фокуса гиперболы и отраженный гиперболой, пойдет по прямой линии, проходящей через второй фокус гиперболы;

3) луч света, испущенный из фокуса параболы и отраженный параболой, пойдет по прямой линии, параллельной оси симметрии параболы.

Замечание 4. Четыре кривые: окружность, эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями, поскольку эти кривые являются сечениями кругового конуса плоскостями.

ЗАДАЧИ